北航数值分析期末考题
北京航空航天大学数值分析历年部分期末试题整理
(2001
2002
2003
2006
2008
2009)
2010年3月16日
北航数值分析2001年试题
北航数值分析2001年试题（带答案）
北航数值分析2002年试题
北航数值分析2003年试题
北航数值分析2003年试题（带答案）
北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
北航数值分析报告第三次大作业
数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求（1）解非线性方程组。将给定的(,) i i
得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 （2）分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y 。 （3）曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表，再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 （4）观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 （二）具体算法设计： （1）解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： 1）在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2）对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <，则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息，并停止计算。 （2）分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y ： 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-，插值节点对应取1i =或1i n =-，
北航数值分析大作业第二题
数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327
一、 方案 （1）利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的 矩阵A ； （2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A (n-1)，具体算法如下： 记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 （3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下： 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(，令n m k ==,1。
北航数值分析报告大作业第八题
北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日
一．题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表（见表A-1）确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D （上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值，以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果，其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。
数值分析
习 题 1. 指出有效数49×102，0.0490，490.00的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数． 2. 将 3.142作为π的近似值，它有几位有效数字，相对误差限和绝对误差限各为多少？ 3. 要使101的近似值x * 的相对误差限不超过4102 1?×，问查开方表时x * 需要保留几位有效数字？ 4. 已知近似数x * 有两位有效数字，试估计其相对误差限． 5. 设x * 为x 的近似数, 证明n x * 的相对误差大约为x * 相对误差的n 1倍． 6. 某矩形的长和宽大约为100cm 和50cm, 应该选用最小刻度为多少cm 的测量工具, 才能保证计算出的面积误差（绝对值）不超过0.15cm 2． 7. 已知三角形面积c ab S sin 2 1=，测量a , b , c 时产生的相对误差为)(*a e r ，)(*b e r ，)(*c e r ，其中2 ,0*π<
北航数值分析大作业第二次
《数值分析》计算实习作业 （第二题）
算法设计方案： 1、对矩阵A 赋值，取计算精度ε=1×10-12； 2、对矩阵A 进行拟上三角化，得到A (n-1)，并输出A (n-1)； 对矩阵A 的拟上三角化，通过直接调用子函数inftrianglize(A)来实现；拟上三角化得到的矩阵A (n-1)输出至文件solution.txt 中。 3、对A (n-1)进行QR 分解并输出Q 、R 及RQ 矩阵； QR 分解通过直接调用子函数QRdescom(A,Q,R, n)实现。 4、运用QR 方法求所有的特征值，并输出； (1)初始时令m=n ，在m>2的条件下执行； (2)判断如果|A mm-1|<ε，则得到一个特征值，m=m-1，转(4)；否则转(3)； (3)判断如果|A m-1m-2|<ε，则得到两个特征值，m=m-2，转(4)； (4)判断如果m ≤2，转(6)；否则转(5)； (5)执行相似迭代，转(2)； k k T k k k k k k k k k k Q A Q A R Q M I D A D tr A M ==+-=+1)2)det(( (6)求出最后的一个或两个特征值； (7)输出全部的特征值至文件solution.txt 中。 5、输出QR 分解法迭代结束之后的A (n-1)至文件solution.txt 中； 6、通过反幂法求出所有实特征值的特征向量并输出。 首先令B=(A-λi I)，其中λi 是实特征值；反幂法通过调用子函数Bpowmethod(B,x1)实现，最终λi 对应的特征向量就是x1；最后将所有的实特征值的特征向量输出。
北航数值分析作业第一题题解
北航数值分析作业第一题： 一、算法设计方案 1.要求计算矩阵的最大最小特征值，通过幂法求得模最大的特征值，进行一定 判断即得所求结果； 2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝 对值满足反幂法的要求，故通过反幂法即可求得； 3.反幂法计算时需要方程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解； 4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对角线相 乘即为矩阵的Det。 算法编译环境：vlsual c++6.0 需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及方程的求解 二、源程序如下： #include 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案 1、求解非线性方程组 将题目中给出的(,)i i x y 当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求出与 (,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，此处采用的是牛顿法解非线性方程组，其 算法如书上91页所示。 2、分片二次代数插值 对所求出的数组te[i][j]，ue[i][j]，通过分片二次代数插值运算，得到与数组te[11][21]，ue[11][21]对应的数组ze[11][21]，从而得到二元函数z=(,)i i f x y ，此处采用如书上101页例2中所示的分片二次代数插值。 3、曲面插值 利用x[11]，y[21]，ze[11][21]建立二维函数表，进行曲面插值计算，逐步提高k 值，计算其精度，看其是否满足要求，以此来确定循环结束的时刻，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]，此处的算法如书142页所示，只需将所需矩阵给出，然后按公式进行计算即可。 4、比较 观察和),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果。观察逼近效果只需要利用新给的点列 (,)i i x y 重复上面（1）和（2）的过程，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,) i i f x y ， 再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解(,)i i p x y 可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 。 5、几点说明 分片二次插值的结果x[i]，y[j]，ze[i][j]输出到一个文件shubiao.txt 中，方便结果的复制与粘贴。 曲面插值的结果输出到一个文件xishu.txt 中，包括循环中每一次的k 值以及误差平方和sigma 的值，还有最后满足误差要求时曲面插值的系数C[r][s]。 观察逼近效果的结果输出到一个文件shubiao1.txt 中，方便结果的复制与粘贴。 数值分析 一、单项选择题（共20分,每小题2分） 1-1 10= 11= 12=，则Lagranage 二次插值多项式为（ ） A. 2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()10 1112 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ B ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()111012 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100) x x x x x x L x ------=++------ C ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()121110 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ D ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121) ()10 1211 (100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100) x x x x x x L x ------=++------ 1-2 10= 11= 12=，用Lagranage 值为（ ）精确到小数点后4位。 A.9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.7227 1-3、已知(1 2 3 4)T X =，则向量X 的21, , X x x ∞ 的值分别是： （ ） ，212,7 C. 4,5,6 D. 9,4,7 1-4、设 2121A --?? = ? ??，则21,, , F A A A x ∞的值分别为（ ） 4 B. -9 ， 4,5,6 D. 9,4,7 1-5、设节点00 (=0,1,2,...,n), (0),k x x kh k x x th t =+=+>则Newton 向前插值公式为（ ） 交流邮箱：dsp_suwenhao@https://www.360docs.net/doc/b97591654.html, 2012-11-25 1.矩阵的谱半径的定义是什么？（34页）加没有加绝对值符号？？ 2.矩阵的三种范数分别是怎样定义的？（10页）注意，第二种特别容易记错（注意没有加绝对值符号）！还有特别要注意绝对值符号是在哪个位置~ 3.矩阵的条件数是怎么定义的？与什么有关？（30页） 4.亲手写下三阶差商的公式！掌握差商的求法。（96页） 5.再顺便写下一阶差商怎么求吧！（95页） 6.可见计算结果与h，n并无关系，故取h=1，n=0,计算第二小空（作业本） 7.正交多项式的定义是什么？（119页） 8.由施密特产生正交化方法产生正交多项式系的方法？（121页） 2012-11-26 9.矩阵能进行LU分解的充要条件是什么？（19页） 10．Hermite插值的具体步骤是什么？（102页）要把其中的每一个表达式的具体表达式都能写出来哦~ 11.Newtow插值多项式是怎样的？（103页例3） 12. Hermite插值多项式的余项是怎样的（103页） 2012-12-23 看到这里 13.余项是开区间还是闭区间？开区间! 14.非线性方程组不动点迭代法的收敛性判据是什么？（68页） 15.非线性方程组在迭代过程中如何根据所给的精度来确定迭代次数？（68页）（注意没有括号，全是绝对值符号） 16.怎样判断简单迭代法是线性收敛的?(71页) 17.高斯型求积公式中n从哪个值开始取？（164页） 18.高斯型求积公式怎样求？（168页） 19.高斯型求积公式求得积点后，怎么求积系数呢？（168页） 20.高斯型求积公求的求积系数满足怎样的方程关系（168页） 一、算法设计方案 1、解非线性方程组 将各拟合节点（x i ，y j ）分别带入非线性方程组，求出与 (,)i i x y 相对应的数组 te[i][j]，ue[i][j]，求解非线性方程组选择 Newton 迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle 分解法。 2、二元二次分偏插值 对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij ，u ij ）处的值，即为),(j i y x f 的值。根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域，故先判断t ij , u ij 所在，的区域，再作此区域的插值，计算 z ij ，相应的Lagrange 形式的插值多项式为： °11 2211 (,)()()(,)m n k r k r k m r n p t u l t l u f t u ++=-=-= ∑∑ 其中 1 1()m w k w m k w w k t t l t t t +=-≠-= -∏ (k=m-1, m, m+1) °1 1()n w r w n r w w r y y l u y y +=-≠-= -∏ (r=n-1, n, n+1) 3、曲面拟合 从k=1开始逐渐增大k 的值，使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，当710-<σ时结束计算。拟合基函数φr (x)ψs (y)选择为φr (x)=x r ，ψs (y)=y s 。拟合系数矩阵c 通过 连续两次解线性方程组求得。[]rs c * =C ，11()()T T T --=C B B B UG G G 其中 01 110101 1 [()]1 k k r i k x x x x x x x ?????? ?==?? ??????B L L M M M M L ，0 01 1101011 [()]1 k k s j k y y y y G y y y ψ????? ? ==???????? L L M M M M L [(,)]i j f x y =U 4、观察比较 计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(****???=???=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。 二、全部源程序 // hean.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include "stdafx.h" #include 北航数值分析复习试题 数值分析 1-1、已知 100 =10，厢=11 , 414^=12，贝 V Lagranage 二次插值多项式为（ ） L (x) _10 (x-121)(x-144).简(x —100)(x — 144).仁(x-100)(x -121) 2( - 0 (100-121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)144-100) L (x)_12 (x-121)(x-144) 11 (x-100)(x-144) (x-100)(x-121) 2 (100 -121)(100-144) (121-100)(121-144) (144-121)(144-100) 次插值多项式计算?帀的值为（ ）精确到小数 点后4位 B . 11.7227 D . 13.7227 B . LAE 晟步） 10 (x-100)(x-144) 0 (121 -100)(121-144) 12 (x-100)(x-121) (144-121)(144-100) 一、单项选择题（共20分海小 题2分） A. ?2桁10卅冷） 12 (x -100)(x -144) (121-100)(121-144) (x-100)(x-121) (144—121)(144— 1-2已知硕 =10 , 121 =11 , 面 12，用 Lagranage 二 A. 9.7227 C . 10.7227 」2治 4 X 2 2X 3 6X 4 =9 1-3、已知X=(1 2 3 4)T ，则向量X 的X ； x 2 , X ! 的值分 别 是：( ) A. 4, 30,10 B. -9, 2 21,7 C. 4,5,6 D. 9,4,7 _ (-2 -1 、 1-4、设 一、2 1 丿,则I A F ML ，||A 2 ,叽的值分别为 ( ) A. .10,3八10,4 B. -9, 2 ,习,7 C. 10, 4,5,6 D. 9,4,7, 10 1-5、设节点 X k=x ° kh(k=o,1,2,…,n), x = x ° th (t ■ o), 则 Newton 向前插值公式为( ) A. n A k f k 」 N n (X o th) 二 f o 丨【(t B. N n (X n k! k 4 IT (t - j) C. N n (X o th) f 0 冷和(t — j) 出 D. N n (X n n th) 7 ' k=1 k! k 4 ［【( t-j) 数值分析模拟卷A 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则 b=________,c=________. 4 设∞ =0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2x q ________. 5 设 ?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当 ∈ a ________时，必有分解式 ，其中L 为下三角阵，当其对角线元素 )3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有?∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 ，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 北航数值分析第三次大作业 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案： （一）、总体方案设计： x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组,求得(1）解非线性方程组。将给定的(,) i i 与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],ｕ［i][j ］。 (２)分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算，得到与数组ｔ[1１][21],u[１１][21］]对应的数组ｚ[11］［2１],得到二元函数z ＝(,)i i f x y 。 (３）曲面拟合。利用ｘ[i ］,y ［j],z[1１］[21］建立二维函数表,再根据精度的要求选择适当k 值，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r ］[s]。 （4)观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面(1)和(2）的过程,得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ,再与对应的(,)i i p x y 比较即可，这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用(３）中的C[r][s]和ｋ。 （二)具体算法设计： (1)解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ，可采用如下算法： １)在* x 附近选取(0) x D ∈，给定精度水平0ε>和最大迭代次数Ｍ。 ２)对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤，则取*()k x x ≈，并停止计算；否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <,则继续，否则，输出M 次迭代不成功的信息,并停止计算。 (２)分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点，进行分片二次插值的算法： 设已知数表中的点为： 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ，需要插值的节点为 (,)x y 。 １) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y : 数值分析第二次大作业 姓名：路子威 学号： S201451401 题目：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中 的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)()1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 要求： 1. 用幂法、反幂法和QR 方法求矩阵的特征值时，要求迭代精度水平为e=10-12。 2. 打印以下内容： (1) 全部源程序； (2) 矩阵A 经过拟上三角化后所得的矩阵A (n-1)； (3) 对矩阵A (n-1)实行QR 方法迭代结束后所得的矩阵； (4) 矩阵A 的全部特征值λi =(R I ,I i );(i=1,2, (10) (5) A 的相应于实特征值的特征向量。 3. 采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 算法： 1）输入需要求解的矩阵A 2）对上述生成的矩阵进行拟上三角化 3）对拟上三角化后的矩阵进行QR 分解（带双步位移）。 4）用函数characteristic （）求解矩阵A （n-1）即A 的所有特征值。 5）用函数characteristicvector （）求解矩阵A （n-1）即A 的所有特征向量。 6）输出A 的所有特征值λ、A 的所有实特征值对应的特征向量、拟上三角矩阵A （n-1）、及其Q 、R 和R*Q 说明： 为了减少求特征值和特征向量过程中的计算量，在对矩阵进行QR 分解前先进行拟上三角化。拟上三角化之后矩阵中包含有大量的0元素，在进行QR 迭代时可以减少大量的0元素乘法运算，节省计算时间。且上三角矩阵进行QR 分解之后，通过RQ 得到新的矩阵A 仍然是上三角矩阵，因此可以在整个迭代过程中使用。而带双步位移的QR 分解法可以加快收敛速度，使矩阵在更短的迭代次数下完成收敛。北航数值分析第三次大作业
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