对数与对数函数(教师版)
对数与对数函数
1．对数
a >1
0 定义域：(0，＋∞) 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． [做一做] 1．计算：2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案：C 2．(2014·高考天津卷改编)函数f (x )＝log 12 x 2的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 解析：选B.因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 t ＝x 2 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，0)． 3．f (x )＝1－lg （x －2）的定义域为________． 解析：∵1－lg(x －2)≥0，∴lg(x －2)≤1，∴0 1．辨明三个易误点 (1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1； (2)对公式要熟记，防止混用； (3)对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按01分类讨论，否则易出错． 2．对数函数图象的两个基本点 (1)当a >1时，对数函数的图象“上升”； 当0 (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，????1a ，－1，函数 图象只在第一、四象限． [做一做] 4．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.????0，23 B.????23，0 C ．(1，0) D ．(0，1) 答案：C 5．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是??? ?2 3，＋∞，则a ＝________． 答案：2 ,[学生用书P 30～P 31]) 考点一__对数式的化简与求值________________ 计算下列各式： (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 3 7 ＋lg 70－lg 3－（lg 3）2－lg 9＋1； (3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． [解] (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝lg 37 ×703 －（lg 3）2－2lg 3＋1 ＝lg 10－（lg 3－1）2 ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (3)原式＝????lg 2lg 3＋lg 2lg 9???? lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝????lg 2lg 3＋lg 22lg 3????lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54 . [规律方法] 对数运算的一般思路： (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． [注意] 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化． 1.(1)计算： （1－log 63）2＋log 62·log 618 log 64 ； (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋ n . 解：(1)原式 ＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 66 3 ·log 6（6×3） log 64 ＝1－2log 63＋（log 63）2＋（1－log 63）（1＋log 63）log 64 ＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64 ＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1. (2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋ n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 考点二__对数函数的图象及应用______________ (1)(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的 图象可能是( ) (2)若不等式(x －1)2 当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ； 当0 D. 法二：幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0，1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知01，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错． (2)设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 当01时，如图所示， 要使x ∈(1，2)时f 1(x )＝(x －1)2 的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)， 即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1 若本例(2)变为：已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈??? ?0，1 2时恒成立，求实数a 的取值范围． 解： 由x 2 －log a x <0， 得x 2 设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x . 由题意知，当x ∈??? ?0，1 2时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方， 如图，可知? ??? ?0 即?????0 解得1 16 ≤a <1. ∴实数a 的取值范围是??? ?1 16，1. [规律方法] (1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平 移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1或0＜a ＜1的两种不同情况． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 2.(1)(2014·高考福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下 列函数图象正确的是( ) (2)不等式log a x >(x －1)2 恰有三个整数解，则a 的取值范围为________． 解析：(1)由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝????13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3 ＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B. (2)不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{2，3，4}， 则应满足?????log a 4>（4－1）2 ，log a 5≤（5－1）2， 得165≤a <94，则a 的取值范围为[165，9 4)． 答案：(1)B (2)[165，9 4) 考点三__对数函数的性质及应用(高频考点) 对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、 中、高档都有． 高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)考查对数函数的定义域； (2)考查对数函数的单调性、奇偶性； (3)比较对数值的大小； (4)解简单的对数不等式． (1)(2014·高考辽宁卷)已知a ＝2－ 1 3，b ＝log 213，c ＝log 12 13，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a (2)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. ①求f (x )的定义域； ②判断f (x )的奇偶性并予以证明； ③当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解析] (1)0 1 3<20＝1，b ＝log 213 [答案] C (2)解：①f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则? ????x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}． ②f (x )为奇函数．证明如下： 由①知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且 f (－x )＝lo g a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数． ③由f (x )＞0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )＞0， ∴log a (x ＋1)＞log a (1－x )，又a ＞1， ∴???? ?x ＋1＞0 1－x ＞0x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1. 所以使f (x )＞0的x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}． [规律方法] 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 3.(1)(2015·辽宁省五校第一协作体高三联考)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上 单调递增，则f (a ＋1)与f (2) 的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 (2)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 (3)已知函数f (x )＝ln(1－a 2 x )的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． 解析：(1)由已知得0f (2)． (2)显然函数y ＝a x 与y ＝log a x 在[1，2]上的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1， 2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝(a ＋log a 1)＋(a 2＋log a 2)＝a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，故a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故选C. (3)由题意得，不等式1－a 2x ＞0的解集是(1，＋∞)，由1－a 2 x ＞0，可得2x ＞a ，故x ＞log 2a ， 由log 2a ＝1，得a ＝2. 答案：(1)A (2)C (3)2 ,[学生用书P 31～P 32]) 方法思想——求解不等关系中的参数问题(一题多解) (2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝? ????－x 2＋2x ，x ≤0， ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则 a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0] [解析] 法一：(推理计算法)若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变形为a ≥x －2， 而x －2<－2，可得a ≥－2； 若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)， 由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1） x 恒成立， 令h (x )＝ln （x ＋1） x ，则h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2 ， 再令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则g ′(x )＝－x （x ＋1）2 <0， 故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x ) 可得h ′(x )＝x x ＋1 －ln （x ＋1）x 2 <0， 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0， 所以h (x )>0，a ≤0，综上可知，－2≤a ≤0，故选D. 法二：(数形结合法) 由y ＝|f (x )|的图象知： ①当x >0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax ，得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立． 当x <0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2<－2， ∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2，0]． 法三：(分离参数法) ∵|f (x )|＝? ????x 2－2x ，x ≤0， ln （x ＋1），x >0， ∴由|f (x )|≥ax 分两种情况： ①? ????x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2，排除选项A ，B ； ②由? ????x >0，ln （x ＋1）≥ax 恒成立，根据函数图象可知a ≤0. 综合①②得－2≤a ≤0，故选D. 法四：(特值法) 作出函数y ＝|f (x )|的图象(如法二中图)，取a 的特殊值进行检验，如取a ＝1不满足不等式，可排除选项B 、C ，取a ＝－5，不满足不等式，可排除选项A ，故选D. [答案] D [名师点评] 本题给出四种解法，方法二、三、四都利用了数形结合思想，而方法一是推理计算，在方法三中又利用了分离参数，所以当x ≤0时，把x 2－2x ≥ax 化为x [(x －2)－a ]≥0，得到(x －2)－a ≤0，就达到了参变分离的效果；当x >0时，采取画图，数形结合就可以看出a 的范围． 高考试题大多数具有多种解决方法，选择不同的方法可能出现简与繁的较大差异，在高考复习中要注意试题(特别是选择题)的一些特殊解法． 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝????15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b 解析：选C.c ＝????15log 3 0.3＝5－log 30.3＝5log 3 103. 法一：在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 310 3 >log 43.6. 由于y ＝5x 为增函数， ∴5log 23.4>5log 310 3>5log 43.6，∴a >c >b . 法二：∵log 3103>log 33＝1，且10 3 <3.4， ∴log 310 3 ∵log 43.6 3 >1， ∴log 43.6 3. ∴log 23.4>log 310 3>log 43.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5log 23.4>5log 3 10 3.>5log 43.6. 即 5log 23.4> ??? ?15log 3 0.3 >5log 43.6，故a >c >b . 1．(2014·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝ln （x ＋3） 1－2x 的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0] C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3，0) 解析：选A.∵f (x )＝ln （x ＋3） 1－2x ，∴要使函数f (x )有意义，需使? ????x ＋3>01－2x >0，即－3 (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.1 2 x C ．log 12 x D ．2x － 2 解析：选A.f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a >1，c >1 B ．a >1，0 C ．01 D ．0 解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0 4．(2014·高考天津卷)设a ＝log 2π，b ＝log 12 π，c ＝π－ 2，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >b >a 解析：选C.因为π>2，所以a ＝log 2π>1.因为π>1，所以b ＝log 12 π<0.因为π>1，所以0< π－2 <1，即0 5．已知函数f (x )＝ln e x －e － x 2 ，则f (x )是( ) A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，且在R 上单调递增 C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数，且在R 上单调递减 解析：选A.要使函数有意义，则e x >e － x ，解得x >0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数 是非奇非偶函数．又y ＝e x －e － x 2 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A. 6．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x (u ＞0)的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 7．(2014·高考重庆卷)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 解析：f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝1 2 log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则 原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝????t ＋122 －14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14 . 答案：－1 4 8．计算下列各题： (1)12lg 3249－4 3 lg 8＋lg 245； (2)log 34 273·log 5[41 2log 210－(33)2 3－7log 72]． 解：(1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1 2(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋1 2lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)原式＝log 33 34 3 ·log 5[2log 210－(332)2 3－7log 72] ＝????34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝????34－1·log 55＝－14 . 9．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)由a x －1>0，得a x >1，当a >1时，x >0； 当0 ∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当01时，设0 ∴log a (a x 1－1) 故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0 1．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( ) 解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1， ∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a ＞1，则0＜b ＜1， 此时f (x )＝a x 是增函数， g (x )＝－log b x 是增函数， 结合图象知选B. 2．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间???? 12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.????13，1 B.????13，1 C.????23，1 D.??? ?23，1 解析：选A.当00，即0<43 －a <1，解得13 3 1时，函数f (x )在区间????12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是???? 13，1. 3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m ＝________． 解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m ＝2， ∴1lg m ＝2，即m ＝10. 答案：10 4．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m 解析：根据已知函数f (x )＝|log 2x |的图象知，0 知，当x ＝m 2时取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0 2 .再结合f (m )＝f (n ) 求得n ＝2，所以n ＋m ＝5 2 . 答案：52 5．(2015·辽宁沈阳模拟)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0 (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ??? ? a ＋ b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. 解：(1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或1 10 . (2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)， 从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b 2 ， 令φ(b )＝1 b ＋b (b ∈(1，＋∞))， 任取1 ∵φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)·??? ?1－1b 1b 2<0， ∴φ(b 1)<φ(b 2)， ∴φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． ∴φ(b )>φ(1)＝2.∴a ＋b 2 >1. 6．(选做题)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)∵f (1)＝1， ∴log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1 则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有???? ?a >0，3a －1a ＝1， 解得a ＝1 2 . 故存在实数a ＝1 2使f (x )的最小值为0. 对数函数及其性质 尤溪五中 开课班级：高一（3）开课时间：2019.10.24 一、教材分析 本节教材的地位和作用：基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 二、三维目标 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 四、教学过程： 然后由学生讨论完成下表：（空白表，由学生填） 函数 log a y x = 的图象 特征函数 log a y x = 的性质 图象都位于y轴的右方 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 1．log 5b ＝2，化为指数式是 ( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案：C 2．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．a >5或a <2 B ．20a －2≠1 5－a >0 即20，a 2＝4 9 ，则log 23 a ＝________. 解析：∵a >0，且a 2＝49，∴a ＝2 3 . ∴log 23 23 ＝1. 答案：1 6．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) πx ＝8；(2)log x 64＝－6； (3)lg1 000＝3. 解：(1)由πx ＝8，得x ＝log π8； (2)由log x 64＝－6，得x －6＝64； (3)由lg1 000＝3，得103＝1 000. j 一、选择题 1．已知log x 8＝3，则x 的值为 ( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 答案：B 2．方程2log 3x ＝14的解是 ( ) A ．9 B.33 C. 3 D.19 解析：∵2 log 3x ＝14＝2－2. 《对数函数及其性质》说课稿 一、教材分析 本节课选自人教版高一数学（必修一）第二单元2.2.2《对数函数及其性质》第一课时。对数函数是重要的基本初等函数之一，是指数函数知识的拓展和延伸. 它的教学过程，体现了“数形结合”的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨论证的思维能力有重要作用．本节课也为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。 二、学情分析 学生前面已经学习了指数函数，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图像和性质以及初步应用，启发引导学生进一步完善初等函数的知识的系统性，加深对函数的思想方法的理解。 教学过程中，发挥大多数学生动手能力较强的特点，让学生自己通过列表、描点、连线画对数函数图像。这样也利于对对数函数性质的理解。 三、教学目标 / 1.知识目标：让学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，掌握对数函数的性质. 2.能力目标：通过对对数函数的学习，培养学生观察，思考，分析，归纳的思维能力. 3.情感目标：培养学生勇于探索的精神，让学生主动融入学习． 四、教学重点和难点 重点：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。 难点：对数函数性质的应用。 五、教法与学法 说教法 : 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,教师主导,学生为主体,根据这样的原则和所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法： (1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。 (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。 (3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。 (4)多媒体演示法。 说学法 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照。 < (2)探究式学习法：学生通过分析、探索、得出对数函数的定义。 (3)自主性学习法：通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质。 (4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。 这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力。 对数与对数函数试题 一.选择题 1.函数y= 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y x = 3、已知03.1()2a =，20.3b -=， 12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是 （） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c b a >> D ．b a c >> 4、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如 [2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-,这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ的值为() A ．21 B ．76 C ．264 D ．642 5、已知{}a b 2,3,4,5,6,7,8,9∈、，则log a b 的不同取值个数为（ ） A. 53 B. 56 C. 55 D. 57 6、若， ，则（ ） A. B. C. D. 7、函数 的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8、函数()2log (2)a f x x =+-(01)a a >≠且的图像必经过点（） A ．(0,1)B ．(2,1)C ．(3,1)D ．(3,2) 9、三个数03770.30.3.，，，㏑，从小到大排列（） A.0.37.73.0㏑0.3 B.0.37，㏑0.3,0.37 C.7,0.3 0.3, 70.3,，㏑ D.70.3ln 3,0.3,7 10、当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（） A ． B ． C.D ． 11、设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有（） A ．11f() 第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示． 对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 《对数函数及其性质》 说课稿 https://www.360docs.net/doc/bd7662774.html,work Information Technology Company.2020YEAR 对数函数及其性质 各位老师大家好！我说课的内容是高中数学新人教（A版）必修1第二章第二节《指数函数及其性质》第一课时，我将从教材分析、教学目标设计、重难点分析、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课进行说明。 一、教材分析 1、学习任务分析 本节课主要学习对数函数的概念、图像和性质，求对数函数的定义域。对数函数是学生学习高中数学新教材引进的第二个基本初等函数，是学生学习指数函数和对数的运算后学习，本节课通过实际问题，引入对数函数，学生利用学习指数的方法来探索和研究对数函数的图像，性质，体会数形结合概括归纳的数学思想和方法，发展学生的数学思维能力。对数函数是本章一类重要函数，蕴含着很重要的数学思想。 2、学情分析 学生的基础较好，大多数学生的动手能力较好，因此可以通过描点，让学生动手画图像，观察图像的特征，进一步理解性质。 二、教学目标分析 《课程标准》指出本节课的学习目标是：通过具体实例理解对数函数的概念，借助计算机或计算器画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的性质。所以本节课的教学目标为： 1、知识目标：理解指数函数的定义，掌握对数函数的图性质及其简单应用。 2、能力目标：通过教学培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。 3、情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、重难点分析 重点：对数函数的概念、图像性质； 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质。 四、教学媒体设计 课时跟踪检测(十)对数与对数函数[高考基础题型得分练] 1．[2018·四川泸州一诊]2lg 2－lg 1 25的值为() A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：2lg 2－lg 1 25 ＝lg ? ? ? ? ? 22÷ 1 25 ＝lg 100＝2.故选B. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝() A．log2x B.1 2x C．log1 2 x D．2x－2答案：A 解析：由题意知f(x)＝log a x， ∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x. 3．[2018·河北衡水中学调研卷]若0 A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案：B 解析：由已知得b ＝5a ，b ＝10c,5d ＝10， ∴5a ＝10c,5d ＝10， 同时取以10为底的对数可得， a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1 d ，即a ＝cd . 5．[2018·福建朋口中学高三上期末]已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 答案：B 解析：因为f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，所以f (0)>f (1)， 即log a 2>log a (2－a )，所以?? ? a >1，0<2－a <2， 所以10， 3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1)) ＋f ? ? ? ??log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.7 2 答案：A 解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0， 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 对数函数基础运算法则 及例题,答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x =49 时，不等式log a (x 2–x –2)＞log a (–x 2+2x +3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立.∴log a [249)49(2--]＞log a )34 92)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639.而1613＜1639.所以y =log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为???????++-<-->++->--3220 32022222x x x x x x x x ，解得??? ????<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25, 2( 例2．求证：函数f (x )=x x -1log 2 在(0,1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1)=212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1).故函数f (x )在(0,1)上是增函数 例3．已知f (x )=log a (a –a x )(a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1.故f (x )的定义域为(-∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1.则log a (a –a x )＜lg a a =1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞,1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1,+∞)上为减函数. 《对数函数及其性质》说课稿 1、教材的地位、作用及编写意图 函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他很多学科中有着广泛的应用；学生已经学习了指数函数及对数的内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。这部分的内容也是高考的必考内容。 2、教学目标 (1) 知识目标：理解对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质。 (2) 水平目标：培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的水平。 (3) 德育目标：培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神。 (4) 情感目标：在民主、和谐的教学气氛中，促动师生的情感交流。 3、教学重点、难点 重点：对数函数的概念、图象和性质。 难点：利用对数函数的图象归纳出对数函数的性质。 二说教法 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提升学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法： (1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。 (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。 (3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。 (4)投影仪演示法。 三说学法 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我实行了以下学法指导： (1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照。 (2)探究式学习法：学生通过度析、探索，得出对数函数的定义。 (3)自主性学习法：通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质。 (4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差别。 这样可发挥学生的主观能动性，有利于提升学生的各种水平。 四说教学程序 1、引出课题 以课本67页的例6 “半衰期”为背景引入对数函数，以表明对数函数来源于实践。 2、导学达标 按"教师为主导,学生为主体,训练为主线”的原则，安排师生互动活动。 (1)学生自学 何为对数函数?如何画对数函数的图象?对数函数有哪些性质? 设计意图：以学生为主体，让学生主动参与。 (2) 对数函数的概念. 设计意图：对数函数的概念比较抽象，利用已经学过的知识逐步分析，这样引出对数函数的概念过渡自然，学生易于接受。 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 例1．已知x =49时，不等式log a (x 2–x –2)＞log a (–x 2+2x +3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立.∴log a [249)49(2--]＞log a )34 92)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639.而1613＜1639.所以y =log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为???????++-<-->++->--3220 32022222x x x x x x x x ，解得??? ????<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25, 2( 例2．求证：函数f (x )=x x -1log 2 在(0,1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1)=212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1).故函数f (x )在(0,1)上是增函数 例3．已知f (x )=log a (a –a x )(a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1.故f (x )的定义域为(-∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1.则log a (a –a x )＜lg a a =1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞,1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1,+∞)上为减函数. 2.2.2对数函数及其性质（一） 隆湖中学教师 李江华 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞． 学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 2014年河南省中学数学 优质课评选及观摩活动说课稿对数函数及其性质 鹤壁市外国语中学岳春霞 2014 年4月 各位专家、评委，各位老师大家好： 我是来自鹤壁市外国语中学的岳春霞．今天我说课的课题是人教A版数学必修1第2章第2节第1课时《对数函数及其性质》，下面我将以下六个方面来谈谈我对这节课的教学设想： 一、背景分析 (1)、教材的地位和作用：对数函数是高中数学继指数函数之后的重要初等函数之一，无论从知识角度还是从思想方法的角度对数函数都与指数函数有类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。而且学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际中的应用奠定良好的基础。 (2)、学情分析：学生已经上到高中，有一定的形象思维和抽象思维能力，在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数三种基本函数，具有一定的函数基础知识，并且在高中阶段刚刚学习了指数函数，具备了类比指数函数学习对数函数的基础。我所教班级的学生思维比较活跃，但对知识的深度理解，对问题从感性到理性的认识还有待提高。在教学中我将本节课的教学重点确定为理解对数函数的定义，掌握对数函数图象和性质；教学难点确定为底数a对函数值变化的影响及对数函数性质的应用。 二、教学目标设计 课程标准对本节课的要求为：理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数的图象通过特殊点，依据学生的学习基础及自身特点结合上述课标要求，我确定了本节课的教学目标：知识目标：1、理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质； 2、会求和对数函数有关的函数的定义域； 3、会利用对数函数单调性比较两个对数的大小。 能力目标：1、通过对底的讨论，使学生对分类讨论的思想有进一步的认识，体会由特殊到一般的数学思想； 2、通过例题、习题的解决，使学生领悟化归思想在解决问题中的作用。 情感目标：学生在参与中感受数学，探索数学，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。 三、课堂结构设计： 本节课是概念、图象及性质的新授课，为了使学生更好的达成学习目标我设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的课堂结构。这是我的课堂结构设计： 基本初等函数知识点 (1)(2)(3) 知识点一：指数及指数幂的运算 知识点二：指数函数及其性质 1. 根式的概念 1. 指数函数概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数中 的定义域为. 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为 2. 指数函数函数性质： ；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 函数名称 指数函数 为. 定义函数且叫做指数函数负数没有偶次方根， 0的任何次方根都是 0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质： 图象 (1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3. 分数指数幂的意义： 定义域 ；值域 注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义 . 过定点图象过定点，即当时，. 4.有理数指数幂的运算性质： 奇偶性非奇非偶 4. 对数的运算性质 单调性在上是增函数在上是减函数 如果，那么①加法： 函数值的 变化情况②减法：③数乘： 变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 象的影响看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 ④⑤ 1.对数的定义 (1) 若，则叫做以为底的对数，记作⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 ，其中叫做底数，叫做真数. 1. 对数函数定义 (2) 负数和零没有对数. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 (3) 对数式与指数式的互化：. 数的定义域. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 2. 对数函数性质： 函数名称对数函数 3. 常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即 定义函数且叫做对数函数( 其中 图象 ?). 《对数函数及其性质》说课稿 银川市第二中学教师马哲 教材选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修1 “2.2.2 对数函数及其性质”第一课时 下面，我将从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课进行说明。 一、背景分析： 1、学习任务分析 本节课主要学习对数函数的概念、图像和性质，求对数函数的定义域。对数函数是学生学习高中数学新教材引进的第二个基本初等函数，是学生继学习了指数函数和对数的运算后学习的。本节课通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题，引入对数函数，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受。学生利用学习指数的方法来探索和研究对数函数的图像，性质，体会数形结合概括归纳的数学思想和方法，发展学生的数学思维能力。对数函数是本章一类重要函数，蕴含着很重要的数学思想。根据课程标准我将本节课的重点确定为对数函数的概念、图像性质。 2、学生情况分析 课前先让学生复习学习指数函数的过程以及指数函数的性质，从而能为本节课的学习奠定基础。学生的基础相对较好，大多数学生的动手能力较好，因此可以通过列表、描点、连线，让学生亲自动手画图像，教师在学生动手操作的过程中加以指导。然后让学生观察图像的特征，分别从定义域、值域、单调性、奇偶性四个方面分组讨论对数函数的性质。因此我将本课的难点确定为：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质。 % 二、教学目标设计: 《课程标准》指出本节课的学习目标是：通过具体实例理解对数函数的概念，能借助计算机（几何画板软件）画出对数函数的图像，探索并理解对数函数的性质。 所以本节课的教学目标为： 1、知识目标：理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际 中的简单应用。 2、能力目标：通过学习，使学生掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对 数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数的性质的理解，深化公开课教案《对数函数及其性质》
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