必修4大题：三角综合和向量综合含答案word

高一必修4 三角函数和向量大题训练（晓出）

一、 三角函数的化简和求值问题：学习要求：①这是基本功，也是高考的第一大道题目，

务必要拿分；②公式要默写记忆，特别是“奇变偶不变，符号看象限”；③解题方法要把握“高次降低次（用二陪角公式）、不同名化同名”（和差公式的逆向使用、构造法求值、平方法求值）、解方程思想（知一求二）；④指定范围和不指定范围求值问题。 1．(本题12分)x x x x x f 22sin cos cos sin 2)(-+=，求(1))(x f 最小正周期；

(2))(x f 最大值以及相应的x 值； 1．解答：（1）T=π； （2） x =k π+

8

π

时，f (x )|max =2. 2．（本小题满分12分）已知函数.1cos sin 32sin 2)(2++=x x x x f 求： （1）)(x f 的最小正周期；（2）)(x f 的单调递增区间；（3）)(x f 在]2

,

0[π

上的最值.

2．解：（Ⅰ）因为1cos sin 32sin 2)(2++=x x x x f

1cos sin 322cos 1++-=x x x 22cos 2sin 3+-=x x

,2)6

2sin(2+-

=π

x

所以)(x f 的最小正周期.2

2ππ

==

T （Ⅱ）因为,2)6

2sin(2)(+-

=π

x x f

所以由),(2

26

22

2Z k k x k ∈+

≤-

≤-π

ππ

π

π

得)Z k (3

k x 6k ∈π

+π≤≤π-

π 所以)(x f 的单调增区间是).](3

,6

[Z k k k ∈+

-π

ππ

π （Ⅲ）因为.6

56

26

,2

0π

π

π

π

≤

-

≤-

≤

≤x x 所以 所以.1)6

2sin(21≤-≤-

π

x 所以].4,1[2)6

2sin(2)(∈+-

=π

x x f

即)(x f 的最小值为1，最大值为4.

（2010年）3．（本小题满分14分）

设函数()3sin 6f x x πω?

?

=+

??

?

，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以

2π

为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9

4125

f απ??+= ???，求sin α的值．

3.解：（1）由已知可得：2

3

6sin 3)0(==πf

（2）∵)(x f 的周期为2

π，即22πωπ= ∴4=ω 故)64sin(3)(π

+=x x f （3）∵]6)124(4sin[3)124(πππ++?=+a a f )2

sin(3π

+=a a cos 3=

∴由已知得：59cos 3=a 即5

3

cos =a

∴5

4)5

3

(1cos 1sin 2

2

±=-±=-±=a a 故a sin 的值为54或54-

4．(本题12分)

已知向量a =()[]cos ,sin ,0,,θθθπ∈向量b =

)

1-

(1) 当a ∥b 时，求θ； (2) 当a ⊥b 时，求θ；

(3) 求︱2a －b ︱的最大值和最小值 4．解答：（1）

6

5π； （2）3π

； （3）最大值为4；最小值为2(3－1).

（2009年）5．(本小题满分12分）

已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中)2

,0(π

θ∈．

（1）求θsin 和θcos 的值；

（2）若??θcos 53)cos(5=-，<

π

，求?cos 的值．

5. 【解】（1）a b ⊥v v Q ,sin 2cos 0a b θθ∴=-=v

v g

，即sin 2cos θθ= 又∵2sin cos 1θθ+=, ∴22

4cos cos 1θθ+=，即21cos 5=

，∴2

4sin 5

θ=

又 (0,

)sin 2

π

θθ∈∴=

，cos θ=

（2）∵5cos()5(cos cos sin sin )θ?θ?θ?-=+??=+θ= cos sin ??∴= , 2

22cos

sin 1cos ???∴==- ，即21

cos 2

?=

又 <

?=

6．(本题满分10分)已知向量 a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），|b a

-

（Ⅰ）求cos （α－β）的值；

（Ⅱ）若０＜α＜

2π，－2

π＜β＜０，且sin β＝－5

13，求sin α的值．

6解：（Ⅰ）（5分） ()()c o s s i n c o s s i n a b ααββ==

，，

，， ()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--

，． ---------------------------------------1分

a b -=

5

=

．---------------------------------2分 即 ()4

22c o s 5

α

β--=． ---------------------------------------------------1分 ()3

cos 5

αβ∴-=． ------------------------------------------------------------------1分

（Ⅱ）（5分）∵0,02

2

π

π

αβ<<-

<<， ∴ 0.αβπ<-<---------------------1分

∵ ()3cos 5αβ-=

，∴ ()4

sin .5αβ-= ----------------------------------1分 ∵ 5sin 13β=-，∴ 12

cos .13

β=

-----------------------------------------------------1分 ∴ ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-????

4123533

51351365

??=?+?-=

???．-----------------------------------------------------------2分 二．三角函数的图象问题：（学习要求：①做到能会识图、画图、关键是用图来把握性质，

要默出三个基本三角函数图；②把握图象的平移（方法是只“对x ”进行移或伸），要区别“先移动后伸缩”与“先伸缩后平移”一般选择前者做题好点；③按向量平移是难点，要作图理解移动方向；④学会五点法作图（有时包括边界点不止五点），关键是指定范围的作图问题，要用整体思想。）

7．已知函数y=21cos 2x+2

3sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 7．解：（1）y=2

1cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+4

3（2sinx ·cosx ）+1

=41cos2x+43sin2x+45=21 (cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45

=21sin(2x+6π)+4

5．

所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）．

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6

π+k π,k ∈Z}

（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：

（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6

π，得到函数y=sin(x+6

π)的图像；

（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2

1倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6

π)

的图像；

（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2

1倍（横坐标不变），得到函数

y=2

1sin(2x+6

π)的图像；

（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像． 综上得到y=2

1cos 2x+2

3sinxcosx+1的图像．

**8．设函数f (x )=a ·b ,其中a =(2cos x ,1), b =(cos x x ), x ∈R .

（1）若f (x )=1且x ∈[3π-,3

π

],求x ；

（2）若函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n )(|m |<2

π

)平移后得到函数y = f (x )的图象,求实数m 、n 的值.

8解答．(1) f (x )=a ·b =1+2sin(2x +

6π),由1+2sin(2x +6π)=1,得sin(2x +6π

)= ∵x ∈[3π-,3π]，∴2π-≤2x +6π≤56π.∴2x +6

π=3π

-，即x =4π-.

(2)函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n ) 平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象,即函数y = f (x )的图象.由(1)得f (x )= 2sin2(x +12

π)+ 1, ∵|m |<

2π,∴m = －12

π

,n =1.（可以作图理解）

9．设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8

π

=x 。

（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。

9解：（Ⅰ）)(8

x f y x ==

是函数π

的图像的对称轴， ,1)8

2sin(±=+?∴?π

.,2

4

Z k k ∈+

=+∴

π

πππ

.4

3,0π

??π-

=∴<<- 又 （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππ?-=-

=x y 因此 由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-

≤-π

ππππ 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)32sin(π-=x y

故函数上图像是在区间

],0[)(πx f y =

三．平面向量与解析几何综合（学习要求：要把图形和向量结合分析；重点是综合求平行、

垂直、长度（即模长）、角度（角度）问题；把握数形结合、解方程思想；估计出现中等题以上。）

1．(本题满分10分)已知)2,3(),2,1(-==b a

，当k 为何值时，平行？与b a b a k 3-+

平行时它们是同向还是反向？

1解: 因为)22,3(+-=+k k b a k ，)4,10(3-=-b a

--------------------------------2分

当平行与b a b a k

3-+时，

则010)22()4()3(=?+--?-k k -------------------------------------------------2分 解得：3

1

-

=k --------------------------------------------------------------------------2分 此时)4,10(3-=-b a

，

)22,3(+-=+k k b a k

=)2)31(2,331(+-?--=)34,310(-

=)3(3

1)4,10(31b a

--=--．-----------------------------------------------------------2分

所以b a b a k

3-+与反向．---------------------------------------------------------------2分

［另解：当平行与b a b a k 3-+，存在唯一实数λ，使)3(b a b a k

-=+λ

即)4,10()22,3(-=+-λk k 得：??

?-=+=-λ

λ

422103k k

解得：31,31-=-=λk ， 即当3

1

-=k ，平行与b a b a k 3-+

这时因为3

1

-=λ，所以b a b a k 3-+与反向．］

2、(本题满分14分)四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。 2．解：),(y x =

∴ )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x （1）// 则有0)4()2(=--?-+-?x y y x

化简得：02=+y x '2 （2）)1,6(++=+=y x BC AB AC )3,2(--=+=y x

又⊥ 则 0)3()1()2()6(=-?++-?+y y x x

化简有：015242

2=--++y x y x '4

联立?

?

?=--++=+015240

22

2y x y x y x 解得??

?=-=36y x 或???-==1

2

y x '6

// ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形

当??

?=-=3

6

y x )0,8()4,0(-==BD AC

此时162

1

==

S ABCD 当?

??-==12y x )4,0()0,8(-==BD AC

此时162

1

==S ABCD '8

3、已知平面上一个定点C （－1，0）和一条定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一

动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，（PQ ＋2PC ）（PQ －2PC

）＝0.

（1）求点P 的轨迹方程； （2）求PQ

·PC

的取值范围．

3、解：（1）由（PQ ＋2PC ）（PQ －2PC ）＝0，∴｜PQ ｜2＝4｜PC ｜2

．

设P （x ，y ），得｜x ＋4｜2＝4［（x ＋1）2＋y 2］，∴3x 2＋4y 2＝12.

∴点P 的轨迹方程为24x ＋2

3y ＝１；

（2）设P （x ，y ），∴PQ ＝（－4－x ，0），PC

＝（－1－x ，－y ）．

PQ ·PC

＝（－4－x ，0）·（－1－x ，－y ）

＝x 2

＋5x ＋4＝2

52x ?

?+

??

?－9

4

． 由x ∈［－2，2］，故有PQ ·PC

∈［－2，18］．

4． 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X 为直线

OP 上的一个动点.

（1）当·取最小值时，求的坐标；

（2）当点X 满足（1）的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值. 4．解：（1）设=（x ，y ），

∵点X 在直线OP 上，∴向量与OP 共线. 又OP =（2，1），∴x －2y =0，即x =2y .

∴OX =（2y ，y ）.又XA =OA －OX ，OA =（1，7）， ∴XA =（1－2y ，7－y ）.

同样=－=（5－2y ，1－y ）.

于是·=（1－2y ）（5－2y ）+（7－y ）（1－y ）=5y 2－20y +12=5（y －2）

2

－8.

∴当y =2时，XA ·XB 有最小值－8，此时=（4，2）.

（2）当OX =（4，2），即y =2时，有=（－3，5），=（1，－1）. ∴||=34，||=2. ∴cos ∠AXB |

|||XB XA =－

17

17

4. 评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而（2）中即为数量积定义的应用.

5．（本小题满分13分）如图4，已知点)1 , 1(A 和单位圆上半部分上的动点B ．

⑵ 若⊥，求向量； ⑵求||+的最大值．

1．⑴依题意，)sin , (cos θθB ，πθ≤≤0（不含1个或2个端点也对）----------2分

)1 , 1(=，)sin , (cos θθ= （写出1个即可）---------3分

因为⊥，所以0=? ---------4分，即0sin cos =+θθ---------5分

解得43πθ=

---------7分，所以)2

2 , 22(-=OB ----------------------------------8分 ⑵)sin 1 , cos 1(θθ++=+OB OA --------9分，

22)sin 1(cos 1(||θ+++=+θ)

------10分 )c o s (s i n 23θθ++=------11分 )4

sin(223π

θ++=------12分

当4

π

θ=

时，||OB OA +取得最大值，12223||max +=+=

+---13分