求平面图形的形心坐标

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

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惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为

∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 11 11 S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑===n i i n i i i A x A x 11 ， ∑∑===n i i n i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。

专题：平面直角坐标系内图形面积的计算

专题：平面直角坐标系内图形面积的计算 一．本节目标： 1．复习平面直角坐标系的相关内容，学会在平面直角坐标系中计算简单的图形的面积； 2．学会作适当的辅助线，利用“割补法”计算较为复杂的图形面积，体会转化思想和数形结合思想的应用． 二．复习巩固： 1．坐标轴上两点间距离： 1）x轴上有 A、 B两点， A点坐标为（4， 0）， B点坐标为（-2，0），则AB = 2）平面内有 A、B两点，A点坐标为（4，-1），B点坐标为（-2，-1），则 A AB = ．3）平面内有 A、 B两点， A点坐标为（a， c）， B点坐标为（b， c），则AB = ． 2．点到坐标轴的距离： （1）点（ 2，3）到 x 轴的距离是，到 y 轴的距离是． （2）点 P（x，y）到 x轴的距离是 6，到 y轴的距离是 3,则 P点坐标为 （3）点 P（x，y）到 x 轴的距离是，到 y轴的距离是． 三．合作探究：

（一）求三角形的面积： 例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（2， 3），B（4，0），C（-2，0），求△ ABC的面积．

变式：若△ABC的的三个顶点的坐标分别是 A（2，3），B（m， 0）， C（-2，0），且面积等于9，则 m 的值为． 练习：若△ABC的三个顶点的坐标分别是 A（2， 3）， B（4， -1）， C（-2， -1），则△ABC的面积为． 总结： 1.三角形的哪条边落在（或平行于），就选哪条边作为底边； 2.由于距离计算中带有，要关注问题的多解性 . 例2 已知△ABC三个顶点的坐标分别是 A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3）．求△ABC的面积．

浙江省慈溪市横河初级中学八年级数学上册 6.3.2坐标平面内的图形变换教案 新人教版

教学内容分析： 本节开头是让学生动手画图，通过列表比较，，找出关于点平移时的坐标变化的规律，学会求已知点左右，上下平移后所得像的坐标，并能根据平移后对应点之间的坐标关系，分析已知点的平移关系。在此基础之上，研究线段经平移后所得的像，最后上升到一个图形的多种平移的组合。 教学目标： 1、 感受坐标平面内图形变换时的坐标变换； 2、 了解坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系； 3、会求与已知点左、右或上、下平移后的像的坐标； 4、利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关系； 5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想及空间想象能力。 教学重点与难点： 教学重点：坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系。 教学难点：利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关 系。 教学准备：刻度尺、方格纸 教学过程： 教学设计 设计说明 一、合作交流，寻找规律 让每人任选一点，赋予学生充分的自主性，通过观察、填表、比较，小组内各成员的合作交流，共同发现规律。 O 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 x y A

（1）如图，在方格纸上任画点A，写出它的坐标；（2）分别把A点向左、向右平移5个单位，并写出它们的坐标。 （3）分别把A点向上、向下平移3个单位，并写出它们的坐标。 （4）与同伴交流，比较点A与它的像坐标，你发现什么规律？ 二、总结规律，灵活运用 a)从上面的合作学习中得到：坐标平面内的点与平移 h(h 0)个单位后所得的像的坐标的关系如下： （a,b+h） 向上 向左向右 （a+h ,b）（a,b）用字母表示有一定的难度，这里特别指出这个规律的记忆方法：左右对应加减，上下对应加减。

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意 直线．

（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有

著名的15个平面几何定理

1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 证明：利用向量，简单明了 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。 ∵向量OH=向量OA+向量AH =向量OA+2向量OD (1) =向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD =向量OA+向量OB+向量OC； 而向量OG=向量OA+向量AG =向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2) =1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）] =1/3（向量OA+向量OB+向量OC）. ∴向量OG=1/3向量OH， ∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 2、九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

证明：如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。 连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。 显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。 又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。 综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。 接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。 位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V 的半径是⊙O的一半。 这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。 3、费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 证明：如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF， 连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。 证明：在△ACD、△ABF中， AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF ∴△ACD≌△ABF(SAS)

必修二数学空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理 2005-09-29 09:57:05 一、教学目标 1．使学生学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念. 2．掌握平面的基本性质，即公理1，2，3. 3. 掌握公理4和等角定理，并会应用它们解决问题. 4. 培养和发展学生的空间想像能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力. 5．通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的思想方法. 二、设计思路 1．本节先给出两幅实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体――长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察，具有很强的可读性. 2．本节设计了一些实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的. 3．设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信. 三、教学建议 本节第一小节的主要内容：空间点与直线的位置关系的分类，空间点与平面的位置关系的分类，空间两条直线的位置关系的分类，空间直线与平面的位置关系的分类，空间平面与平面的位置关系的分类. 本节第二小节的主要内容：四个公理，等角定理. 1．本节第一小节的重点是五类位置关系的分类及其有关概念，难点是“异面直线”的理解.本节第二小节的重点是四个公理和等角定理的理解与应用，难点是四个公理和等角定理的与应用. 2．在教学空间图形基本关系的认识时，应先引导学生对“实例分析”中的长方体进行详细地观察，然后讨论8个顶点、12条棱、6个表面之间的关系.在此基础上，再进入“抽象概括”这一栏目. 3．空间点与直线、空间点与平面的位置关系，结合长方体模型和生活中的实物，学生容易理解. 4.本书中的空间两条直线指的是不重合直线. 若从两条直线是否共面的角度看，可以分为两类： （1）同一平面内：平行直线、相交直线； （2）不在同一平面内：异面直线. 若从有无公共点的角度看，也可以分为两类： （1）有只有一个公共点：相交直线； （2）没有公共点：平行直线、异面直线. 5．异面直线的理解是本节的难点，教学中应该结合正反两方面的例子，深刻理解“两条直线不同在任何一个平面内”的含义.这两条直线构成一个空间图形，绝不是平面图形.在学习了下一小节的公理2后，教师可以结合“思考交流”栏目的三个问题，向学生指出：能够同在一个平面内的两条直线有且只有平行和相交这两种情况，所以，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交. 6．在画异面直线时，一般要以平面为衬托，这样显示得更直观和清楚（如图1）.不然，就容易画成

平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)

平面几何新思索 【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。G是△ABC的重心。求证：△GEF∽△OPQ。 P C M N F 上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。 当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。 【020527】黄路川问如下题： “已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。求 证：DI垂直于EF。” 经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等 于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。 EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。 【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。 结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。 B C

注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°； 其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。 结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。 I I 2 1 注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。AD，BE，CF所共之点称为Gergonne点，在图中标为Ge。则P，Q都在重心G和Gergonne点的连线上，而且P，Q关于△ABC恰好等角共轭！

25、基本图形及其位置关系26、三角形

25、基本图形及其位置关系 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的 端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角， 那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠ l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3． ⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果 ∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正 确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等， 同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条 平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行． 10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错 角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三 个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的， 因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错 角或同旁内角． 11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（）

中考数学培优复习 第16讲 基本图形及其位置关系

2019-2020年中考数学培优复习 第16讲 基本图形及其位置关系 一、【课标要求】 1、线段的定义、中点。 2、线段的比较、度量 3、线段公理。 4、直线公理，垂线性质 5、对顶角的性质。 6、平行线的性质、判定 7、射线的定义。8、射线的性质 9、等角的余角(补角)相等、对顶角相等 10、垂线、垂线段等概念、垂线段最短的性质 11、用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线 12、线段的垂直平分线及其性质 13、探索平行线性质 14、用三角尺和直尺过已知直线外一点作这直线的平行线 15、度量两平行线间的距离 二：【知识梳理】 1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________． 3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果 _____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. 对顶角的性质： ． 5. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 6. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 7. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 三、【典型例题】 1. 如图,AD=DB, E 是BC 的中点,BE=AC=2cm,线段DE 的长,求线段DE 的长. 2.如图所示，AC 为一条直线，O 是AC 上一点，∠AOB ＝120° OE 、OF 分别平分∠AOB 和∠BOC ，． （1）求∠EOF 的大小； （2）当OB 绕O 旋转时，OE 、OF 仍为∠AOB 和∠BOC 平分线， 问：OF 、OF 有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 E D B A

叶中豪平面几何讲座1.

高中平面几何 (上海教育出版社叶中豪知识要点 三角形的特殊点 重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker 点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点，Napoleon 点，Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线 特殊直线、圆 Euler 线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius 圆，Schoute圆系，第一Lemoine 圆，第二Lemoine 圆，Taylor圆，Fuhrmann圆 特殊三角形 中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard 三角形，第二Brocard 三角形，D-三角形，协共轭中线三角形 相关直线及相关三角形 Simson 线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva 三角形 重心坐标和三线坐标 四边形和四点形 质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线 完全四边形

Miquel 点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理 重要轨迹 平方差，平方和，Apollonius圆 三角形和四边形中的共轭关系 等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线 几何变换及相似理论 平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel 定理 内接三角形，外接三角形，Miquel点 根轴 圆幂，根轴，共轴圆系，极限点 反演 反演，分式线性变换（正定向和反定向） 配极 极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点 射影几何 点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理 著名定理

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y ==整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1）2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为

∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 1 1 11S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑=== n i i n i i i A x A x 1 1 ， ∑∑=== n i i n i i i A y A y 1 1 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐

坐标平面内图形变换教案

坐标平面内图形变换教 案 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

6.3坐标平面内的图形变换 背景介绍及教学资料 七年级下册第2章图形和变换中已从几何的角度了解了轴对称变换与几何变换，本章从坐标的角度来研究这两种变换,并利用图形变换与坐标之间的关系来作图。虽然但就作图而言，可能不如几何画法方便，但这种画法在计算机制图等方面有着广泛的实际应用。此外对这两种变换的学习，为下一章函数当中的相关应用奠定了基础。 第1课时 教学内容分析： 本节开头是让学生通过动手画图，自己探索，找出关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，得出一般规律，再依据这种关系，求作已知点关于坐标轴的对称点。因为两个端点可以确定一条线段，所以只要作出各个转折点关于对称轴的对称点，依此连接就得到一个多边形关于对称轴的对称图形。最后，与同伴合作学习，在方格纸上，按自己认为合适的比例，建立适当的坐标系，利用轴对称特点画出一个零件的主视图。 教学目标： 1、感受坐标平面内图形变换的坐标变换； 2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标变换； 3、会求与已知点关于坐标轴对称点的坐标； 4、利用图形变换与坐标之间的关系来作图； 5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想。 教学重点与难点： 教学重点：关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。 教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在平面直角坐标系内作轴对称图形。 教学准备：刻度尺、方格纸

1．教学改革主要是学习方式的改革，过去习惯于用灌输法，整堂课都由老师告诉学生该怎么做，学生只是被动接受，老师讲得累死，学生学习效果却不好。这节课安排了两处的合作学习，充分调动学生的积极性，让学生主动探索，经历思维的发生过程。 2．本课给出一些非常美丽的图案以及在生活中能碰到的实物的图案，在数学课中实施美育，在数学课上融入生活。 3．图形变换是培养数形结合思想发展空间观念的有效载体，很多题目可以让学生发挥想象力，而不一定借助于图形。

AutoCAD计算截面面积、惯性矩

AUTOCAD计算功能简介及应用 用AUTOCAD求面积、几何质（形）心、质心惯性矩等部分计算功能，并举例说明这些计算功能与EXCEL等软件相结合，能够快速而精确地完成水工建筑物稳定性等的计算。 1前言 在水利水电工程设计中，时常要对水电站厂房、大坝的结构稳定性及其地基面垂直应力等进行计算，然而计算时必须要知道结构自身的重心、重量，以及外力的作用点、基础接触面惯性矩等。如果截面为规则的几何图形，这些量的计算就比较容易；若为不规则，则计算比较烦琐，以前常用的方法是分块求和或积分，既不方便，又耗时。上述这些量值若在Auto cad中，用Auto cad的面积、几何质（形）心、质心惯性矩等计算功能计算是非常容易的。 2 Auto cad计算功能和操作技巧 2．1 计算功能介绍 对于规则的几何多边形，如图1（a）所示一个4m×2m的长方形，其面积A、形心O（X，Y）、形心轴惯性矩I，很容易算出，有的甚至口算也可算出，即面 积A＝8m2，形心O（1，2），形心惯性矩I x1＝10．67m4，I y1 ＝2．67m4，但对如图 1（b）所示的不规则多边形，就不可能套用现成的计算公式来计算。过去通常的方法是，面积可分块求和，形心和形心轴惯性矩则分别按式（1）和式（2）［1］来求。 式中X、Y———分别为多边形形心O的x和y坐标； x、y———分别为多边形中某点距形心x 1轴和y 1 轴的距离； A i ———不规则多边形中第i个规则多边形的面积；n———组合成不规则多边形中规则多边形的总个数；i———某个规则多边形； I x1、I y1 ———分别是形心x 1 轴和y 1 轴的惯性矩。

惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式

设平面图形形心 C 的坐标为y c ,z c (1-2) y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为 A 1,A 2,A3……A n 的简单图形组成 直各族图形的形心坐标分别为x.|, y 1 ； x 2, y 2； x 3,y 3"…:,则图形对y 惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一 ?重点及难点： （一）.截面静矩和形心 1?静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴 的一次矩为它对该轴的静矩，即 dS y = xdA dSx = ydA 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 S y 二 A xdA (1-1) X Sx 二 A ydA 2.形心与静矩关系 图1-1 推论1 如果y 轴通过形心（即X = ，则静矩Sy = 0 ；同理， 如果X 轴通过形心 （即y = 0），则静矩Sx= 0 ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心 ；如果 ，且一 轴和x

轴的静矩分别为 n S y 二％ S yi 二' A i X i i 2 i =1 S x = ' S xi = 、A i y i i 4 i 4 截面图形的形心坐标为 4.静矩的特征 （1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的 ，故静矩与坐标轴有 关。 ⑵静矩有的单位为m 3 。 （3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形 心。 ⑷ 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静 矩。若已 知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐 标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐 标系的静矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。 （二）?惯性矩惯性积惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的 极惯性矩定义为 (1-3) ' A i X i ' A i y i (1-4) 、A i -1

基本图形及其位置关系

基本图形及其位置关系 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是的一部分。线段是的一部分，也是的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线 绕着它的端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°= ′，1′= ″（2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等， 如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3． ⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相 等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是： 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正 确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”．

6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内 角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么，． 10.两条直线被第三条直线所截，如果相等，那么这两条直线平行；如果 相等．那么这两条直线平行；如果互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角． 11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定 2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度分秒． ⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____ 3.下列说法中正确的个数有（） ①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线；③直 线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在射线AB 上． A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________ 二：【经典考题剖析】 1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则 CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，． （1）求∠EOF的大小； （2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线， 问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 ． 3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD 的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．95°

TSSD小技巧

[转载]探索者公司内部资料]TSSD小技巧（转） 1）让TSSD对话框的数据恢复到默认值。方法：找到TSSD的安装目录，删掉prg目录下的Gcgdata.Tsz即可。这个对钢结构特别有用。 2）直接添加系统的附注。方法：找到TSSD的安装目录，打开sys目录下的XFZ.TXT，添加即可。 一点心得： 利用柱子形心命令快速求不规则图形的形心，比如伐板、多柱基础 将该图形的线条所在图层转化为柱子图层，用pedit编辑成封闭的复合线后，执行柱子形心命令可快速找到形心！执行ddptype命令可以选择形心点的标记样式 在柱子和梁平面中的虚实变换命令，只对相应图层上的图素有效。而实体工具中的虚实变换对所有图素均有效。 另外建议TSSD在墙和基础中增加相应的虚实变换工具！ 我的心得： 1 tssd的图库管理器现在做的非常棒。 如果在图库管理器的工具里的路径选择为允许浏览本地驱动器和允许浏览网上邻居，则重新启动后就可以不用打开就能看其他目录或邻近计算机的dwg图了。这样就使得看图非常方便，尤其是和他人共享图时。 2 在用pm接口转pkpm的图时，如果设定为放大百倍时，转后图中的字高默认为250mm，如果图纸较大时打印出的字会因较小而看不清楚，这时采用文字工具中的统一字高命令，可

以方便的将字高设定为想要的值，感觉比scaletext又进了一步。 在绘制钢筋图时，有时会因标注负筋长度的尺寸太多而使图面显得很乱，这时采用尺寸变字命令会非常方便的把尺寸线去掉，而使得图面显得整洁许多。 要想不给别人提供dwg文件，又要将电子资料给别人时，可以在CAD上将dwg文件输出为dwf文件！ 探索者结构TSSD使用技巧 摘要：PKPM系列软件是一套自主平台的结构计算类软件，其中最常用的是结构上部计算程序SATWE、TAT、PK。由于其自成一体，所以它的计算数据格式也是独特的?.T文件格式。虽然?.T可以转换为?.dwg并在AutoCAD中打开，但在编辑却存在着很大的障碍...... 关键词：结构设计软件探索者 PKPM系列软件是一套自主平台的结构计算类软件，其中最常用的是结构上部计算程序SATWE、TAT、PK。由于其自成一体，所以它的计算数据格式也是独特的?.T文件格式。虽然?.T可以转换为?.dwg并在AutoCAD中打开，但在编辑却存在着很大的障碍。 首先，PKPM形成的DWG文件存在着文字问题：

1基本图形及其位置关系

章节第四章课题基本图形及其位置关系课型复习课教法讲练结合 教学目标（知识、能力、教育）1.了解线段、射线、直线、角等简单平面图形，了解平面上两条直线的平行和垂直关系．了解线段、平行、垂直的有关性质 2.会进行有关角度的换算．了解补角、余角J顶角，知道等角的余角相等，等角的补角相等、对顶角相等．掌握直线平行的条件以及平行线的特征. 教学重点线段、平行、垂直的有关性质 教学难点直线平行的判定方法 教学媒体 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由 一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90° ∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3．

⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ ∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行． 10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错 角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定 2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度分秒． ⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____ 3.下列说法中正确的个数有（） ①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线； ③直线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在 射线AB上．A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________ 二：【经典考题剖析】 1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝， 则CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°