2009年高考全国卷1数学试题答案(理数)

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）答案

第Ⅰ卷

一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I

中的元

素共有（A ）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个

解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。也可用摩根律：

()()()U U U C A B C A C B =

（2）已知

＋=2+i,则复数z=（B ）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+?+=+∴=- 故选B 。(3) 不等式

X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }

{}011x x x ??? (B){}01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){

}0x x ?

解：验x=-1即可。(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心率

等于( C )

（A （B ）2 （C （D

解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'

0|2x x y

x ==.由题意有

2y x x =又2001y x =+

解得

: 2

01,2,b x e a =∴

===

(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种（B ）180种（C ）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112

536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则

()()a c b c -?-的最小值为 ( D )

（A ）2- （B

2 （C ）1-

(D)1解:,,a b c

是单位向量()()

2()a c b c a b a b c c ∴-?-=-++

|||1,11|a b c a b c +=-<=-+>≥- 故选

D.（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ D ）（A

）

4 （B

）4 （C

）4

(D)

解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线

AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4

os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=

?=.故选D （8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么||?的最小值为（A ）（A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称

4232k ππφπ∴?

+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6

φ=.故选A B

(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B )

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0

|1x x y x a

===+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B

（10）已知二面角α-l-β为60

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β

Q 到

的距离为则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A)

(B)2

解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于

PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则

AQ BP ==2AC PD ∴==

又PQ =

= 当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数解: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，

∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函

数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D

12.已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF =

解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =

故

2||3BM =

.又由椭圆的第二定义,

得2||233

BF =

=||AF =故选A

第II 卷

二、填空题：

13. ()10

x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于。

解: 373

101010()2240

C C C -+-=-=-

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。解: {}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =

∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.

15.

直三棱柱

111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,

可得BC =由正弦定理,可得ABC ?外接

圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?

中，易得球半径R ，故此球的表面积为2

420R ππ=.

16. 若

x π

，则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为。

解:令tan ,x t =14

x t π

∴>

443

2224222tan 2222tan 2tan 8

111111

1tan 1()244

x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------

17在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2

2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已

经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc +-+-=

化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2

2cos a c b bc A -=-.又2

2a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①

又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高

自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

18如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面A B C D ，

AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，

连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,

在RT MEB ?中， 60MBE ∠=?ME ∴=。在RT MNE ?中由2

ME NE MN =+2

32x x ∴=+ 解得1x =，从而1

MN SD =

∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线.

解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案.

（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三

垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面

SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角

的补角.

分析二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.

分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM 垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 20．在数列{}n a 中，111

1,(1)2n n n

n a a a n ++==++

（I ）设n

n a b n

，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有

1112n n n a a n n +=++11

n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1

122

n n b -=-

n N ∈)

（II ）由（I ）知1

22n n n a n -=-

, ∴n S =11(2)2n

k k k k -=-∑111(2)2n n

k k k k

k -===-∑∑

而

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型，易得

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21 如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标

分析：（I ）这一问学生易下手。将抛物线2:E y x =与圆222

:(4)(0)M x y r r -+=>的方程

联立，消去2

y ，整理得2

7160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线2

:E y x =与圆2

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充

要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.

易得4)r ∈.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的

方法处理本小题是一个较好的切入点．

设四个交点的坐标分别为1(A x

、1(,B x

、2(,C x

、2(D x 。则由（I ）根据韦达定理有212127,16x x x x r +==-

，4)r ∈

则21211

2||||2

S x x x x =

??-=-

222121212[()4]((715)S x x x x x x r ∴=+-++=+-

令t =，则22(72)(72)S t t =+- 下面求2

S 的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时

很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

221

(72)(72)(72)(72)(144)2

S t t t t t =+-=++-

17272144128(

)()2323

t t t ++++-≤=? 当且仅当72144t t +=-，即76t =

时取最大值。经检验此时(4)2

r ∈满足题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点P 的坐标。设点P 的坐标为：(,0)p P x

由A P C 、、

121p =

得76

p x t ===。

以下略。

22.设函数()3

33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且

12[10],[1,2].x x ∈-∈，

（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域；

(II)证明：()21102

f x -≤≤-

分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。

()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、

1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，

()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标

()32222233f x x bx cx =++中的b ，

（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。

解：由题意有()2

2223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．①

又()3

222233f x x bx cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

消去b 可得()32221322

f x x x =-

+．又2[1,2]x ∈ ，且[2,0]c ∈- 21

10()2

f x

∴-≤≤-