2015年湖北武汉中考数学真题及解析word完整版

2015年湖北武汉中考数学真题卷

一、选择题.

1．在实数－3、0、5、3中，最小的实数是（ ） A ．－3 B ．0 C ．5 D ．3

【考查内容】有理数大小的比较. 【答案】A

【解析】有理数中，负数小于0，零小于正数，所以最小的－3.

2．若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）

A ．x ≥－2

B ．x ＞－2

C ．x ≥2

D ．x ≤2 【考查内容】代数式有意义的条件. 【答案】C

【解析】二次根式有意义，被开方数是非负数，故x －2≥0，x 大于等于2. 3．把a 2－2a 分解因式，正确的是（ ） A ．a (a －2) B ．a (a ＋2) C ．a (a 2－2) D ．a (2－a ) 【考查内容】因式分解. 【答案】A

【解析】考查提取公因式法分解因式．原式=a (a -2). 4．一组数据3、8、12、17、40的中位数为（ ） A ．3 B ．8 C ．12 D ．17 【考查内容】中位数的考察. 【答案】C

【解析】本题共5个数据，已经从小到大排列好，第3个数据12就是这组数据的中位数． 5．下列计算正确的是（ ） A ．2x 2－4x 2＝－2 B ．3x ＋x ＝3x 2 C ．3x ·x ＝3x 2 D ．4x 6÷2x 2＝2x 3 【考查内容】本题考查整式的基本运算. 【答案】C

【解析】 本题考查整式的基本运算，对选项进行逐项分析. 选项 逐项分析

正误 A 2x 2－4x 2=－2x 2≠-2 × B 3x +x =4x ≠3 x 2 × C 3x·x =3 x 2 √ D

4x 6÷2x 2=2x 4≠2x 3

×

6．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为3

1

，

在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）

第6题图

A ．(2，1)

B ．(2，0)

C ．(3，3)

D ．(3，1) 【考查内容】相似图形. 【答案】A

【解析】∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴△ODC ∽△OBA ，∴

1

3

OD CD OB AB ==，即3

1

36==CD OD ，∴CD =1，OD =2，∴C （2,1）. 7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是（ ）

第7题图

A B C D 【考查内容】组合体的三视图. 【答案】B

【解析】圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，因此这个几何体的主视图是两个长方形组成,下面长方形的长大于上面长方形的长，且上面长方形位于下面长方形的中间，所以选择B 8．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信息，下列说法错误的是（ ）

第8题图 A ．4:00气温最低 B ．6:00气温为24℃ C ．14:00气温最高 D ．气温是30℃的为16:00

【考查内容】结合图形回答问题. 【答案】D

【解析】从图像可以看出最低点对应点时间是4:00时,即4:00时温度最低，故A 正确；6:00对应的温度为24℃，故B 正确；图形最高点对应14:00时，即14:00时温度最高，故C 正确；气温是30℃时对应两个时间12:00时和16时，故D 错误. 9．在反比例函数x m

y 31-=

图象上有两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，x 1＜0＜y 1，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞3

1

B ．m ＜3

1

C ．m ≥3

1

D ．m ≤3

1

【考查内容】反比例函数. 【答案】D

【解析】x 1＜0＜x 2时，y 1＜y 2,说明反比例函数图像位于一三象限，故1－3m ＞0，所以m ≤

3

1

. 10．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）

第10题图

A ．32-

B ．13+

C ．2

D ．13-

【考查内容】有关旋转的问题. 【答案】D

【解析】先考虑让△EFG 和△BCA 重合，然后把△EFG 绕点D 顺时针旋转，连结AG 、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG =∠FDC ,DA=DG ，DF=DC ，故∠DFC =∠DCF =∠DAG =∠DGA .又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG =90°，所以∠DFG +∠DGF =90°，即∠DFC +∠CFG +∠DGF =90°. 所以∠AMC =∠MGF +∠CFG =∠AGD +∠DGF +∠CFG =∠DFC +∠DGF +∠CFG =90°.故点M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O ，连结BO 与⊙O 相交于点P ，线段BP 的长即为线段BM 长的最小值.BP=AO －OP =3－1，故选D. 二、填空题.

11．计算：－10＋(＋6)＝_________. 【考查内容】有理数的运算. 【答案】4-

【解析】原式=－10＋(＋6)= 4-.

12．中国的领水面积约为370 0002

km ，将数370 000用科学记数法表示为_________. 【考查内容】科学记数法. 【答案】3.7×5

10

【解析】∵370 000的整数数位有6位，∴a =3.7，n =6－1=5，即370 000=3.7×5

10． 13．一组数据2、3、6、8、11的平均数是_________. 【考查内容】平均数. 【答案】6 【解析】

65

11

8632=++++．

14．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y （元）与购买量x （千克）之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省_________元.

第14题图 【考查内容】分段函数. 【答案】2

【解析】当每次买苹果少于2千克时，每千克20÷2=10元/千克，故3千克分三次且每次买

1千克时需10×3=30元；设AB 表达式为y =kx +b ,把（2,20）、（36,4）代入上式202364k b k b =+??=+?

，

解得k =8,b =4,所以y =8x +4,当x =3时，y =28，故可节省30－28=2元.

15．定义运算“※”，规定x ※y ＝a 2

x ＋by ，其中a 、b 为常数，且1※2＝5，2※1＝6，则2※3＝_________.

【考查内容】新定义下的运算. 【答案】10

【解析】由题意知，2546

a b a b +=??

+=?，所以12a b =??=?，所以x ※y =2

x +2y ,所以2※3=22+2×3=10.

16．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q

分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________.

第16题图 【考查内容】线段和的最小值问题. 【答案】10

【解析】作M 关于ON 对称点1

M ，点N 关于OA 的对称点1N ，连接11

M N 分别交OA 、ON 于Q ，P ，此时MP+PQ+NQ 的值最小.由对称性质知，1

M P=MP ，1

N Q=NQ ，所以

MP+PQ+NQ = 11M N .连接O 1N 、O 1

M ，则∠M 1OP =∠POM =∠1

N OM =30°，所以

∠N 1OM 1=90°.又O 1

N =ON =3，OM 1 =OM =1,所以1

1

M N =11OM ON =10.

第16题图（答案)

三、解答题

17．已知一次函数y ＝kx ＋3的图象经过点(1，4) (1)求这个一次函数的解析式

(2)求关于x 的不等式kx ＋3≤6的解集 【考查内容】确定函数解析式，解不等式. 【解】（1）把（1,4）代入y=kx +3得， 4=k +3 k =1

∴一次函数解析式为y=x +3; (2) kx ＋3≤6

x +3≤6

∴x ≤3.

18．如图，点B 、C 、E 、F 在同一直线上，BC ＝EF ，AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F ，AC ＝DF

求证：(1) △ABC ≌△DEF (2) AB ∥DE

第18题图 【考查内容】平面几何. 【解】证明：（1）∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ， ∴∠ACB =∠DFE ，

∵AC ＝DF ， BC ＝EF ， ∴△ABC ≌△DEF ；

（2）∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠ACB =∠DFE ， ∴AB ∥DE.

19．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4 (1) 随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率

(2) 随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果： ① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率

② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率 【考查内容】概率. 【解】（1）P 摸出的小球标号是3=4

1

（2）列表如下： 1 2 3 4 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) 4

(4，1)

(4，2)

(4，3)

(4，4)

①由列表可知：共有16种等可能的结果，其中一个标号是1，另一个标号是2结果共有2种，

∴P (一个标号是1，另一个标号是2)=

8

1162 ； ②共有16种等可能的结果，其中第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的结果共有1种，

∴P (第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2)=

16

1. 20．如图，已知点A (－4，2)、B (－1，－2)，平行四边形ABCD 的对角线交于坐标原点O (1) 请直接写出点C 、D 的坐标

(2) 写出从线段AB 到线段CD 的变换过程 (3) 直接写出平行四边形ABCD 的面积

第20题图

【考查内容】平行四边形与直角坐标系. 【解】（1）C （4, -2）、D （1,2）； （2）AB 绕点O 旋转180°得到线段CD ，或作AB 关于原点O 的中心对称图形得到线段CD ;

(3) 20.

21．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT ＝45°，AT ＝AB (1) 求证：AT 是⊙O 的切线

(2) 连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC 的值.

第21题图 【考查内容】圆的切线的判定和角的三角函数. 【解】证明：（1）∵AB =AT ， ∴∠ATB =∠B =45°， ∴∠BAT =90°，

∴AT 是⊙O 的切线；

（2）设⊙O 半径为r ，延长TO 交⊙O 于D ，连接AD . ∵CD 是直径，

∴∠CAD =∠BAT =90°， ∴∠TAC =∠OAD =∠D . 又∠ATC =∠DTA ， ∴△TAC ∽△TDA ， ∴

TA TC

TD AT

=， ∴TA 2=TC ·TD ，即4r 2= TC (TC +2r ), 解得TA =51r -（）,

∴tan ∠TAC = tan ∠D =

AC TC AD AT ==(51)2r r －=51

2

－. 22．已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8

(1) 如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K ① 求

AK

EF

的值 ② 设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值

(2) 若AB=AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长

第22题图 【考查内容】相似三角形和最值问题. 【解】（1）∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，

∴

EF AK BC AD =，即128EF AK

= ∴

3

2

EF AK =； （2）由题意知EH =KD =x ，AK =8－x .

∵

3

2EF AK =， ∴

3

82

EF x =-， ∴EF =)8(2

3

x -,

∴S =EF ×EH =)8(23x -x =2

34242

x --+（）,

∴S 的最大值是24；

（3）①两顶点在底边BC 上时，由（1）知3

2

PQ AK =，∵PQMN 是正方形， ∴AK=AD －DK=AD －PQ=8－PQ ， ∴

3

82

PQ PQ =-，

∴PQ =4.8；

第22题图（答案） ②正方形两顶点M 、N 在腰AB 上时如图时,作CH ⊥AB 于H ，交PQ 于G ，则CG=CH －HG=CH －PQ=9.6－PQ ， 如图：

第22题图（答案）

∵AB =AC ，AD ⊥BC ， ∴BD =6 又AD =8， ∴AB =10， ∴AB ×CH =BC ×AD ， ∴CH =9.6. 由（1）知

2524PQ AB CG CH ==，即25

9.624

PQ PQ =-， ∴PQ =

49

240， 综上，正方形PQMN 的边长为4.8或

49

240

. 23．如图，△ABC 中，点E 、P 在边AB 上，且AE ＝BP ，过点E 、P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F 、Q ．记△AEF 的面积为S 1，四边形EFQP 的面积为S 2，四边形PQCB 的面积为S 3

(1) 求证：EF ＋PQ ＝BC (2) 若S 1＋S 3＝S 2，求

AE

PE

的值 (3) 若S 3－S 1＝S 2，直接写出

AE

PE

的值

第23题图 【考查内容】全等三角形与相似三角形. 【解】证明：（1）作QN ∥AB ，交BC 于N ，则∠NQP =∠A ，∠QNC =∠B . ∵EF ∥BC ， ∴∠AEF =∠B ， ∴∠AEF =∠QNC . ∵PQ ∥BC ，

∴四边形PQNB 是平行四边形， ∴BN =PQ ，QN =PB =AE ， ∴△AEF ≌△QNC ， ∴EF =NC ，

∴BC=BN+NC=EF +PQ ； （2）∵EF ∥PQ ∥BC ， ∴△AEF ∽△APQ ∽△ABC

∴22

122

12S AE AE S S AP AE PE ==++（）

整理得S 2=

2

12

2AE PE PE S AE ?+①； 同理22

122

123S AE AE S S S AB AE PE PB ==++++（）

=222AE AE PE +（）， ∵S 1＋S 3＝S 2，

∴1123S S S S =++1

22S S =22

2AE AE PE +（）

， 整理得S 2=2

12

22AE PE S AE

+（）

②， ①=②即

2122AE PE PE S AE ?+=2

12

22AE PE S AE +（）

整理得PE 2=4AE 2，

PE =2AE ， ∴

AE

PE

=2；

第23题图（答案） (3) ∵△AEF ∽△ABC ，

∴22

122

123S AE AE S S S AB AE PE PB ==++++（）=222AE AE PE +（）

， ∵S 3－ S 1＝S 2，

∴1123S S S S =++1

32S S =22

2AE AE PE +（）

， 整理得S 3=

2

12

22AE PE S AE +（）

， ∴2

1222AE PE S AE +（）－S 1=2

12

2AE PE PE S AE

?+ 整理得PE 2=2AE 2， ∴PE =2AE ， AE

PE

=2. K25

24．已知抛物线y ＝x 2＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B 两点，交y 轴于点C (1) 求抛物线的解析式

(2) 点E (m ，n )是第二象限内一点，过点E 作EF ⊥x 轴交抛物线于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接CE 、CF ，若∠CEF ＝∠CFG ，求n 的值并直接写出m 的取值范围（利用图1完成你的探究） (3) 如图2，点P 是线段OB 上一动点（不包括点O 、B ），PM ⊥x 轴交抛物线于点M ，∠OBQ ＝∠OMP ，BQ 交直线PM 于点Q ，设点P 的横坐标为t ，求△PBQ 的周长

图1 图2

第24题图

【考查内容】二次函数与相似三角形. 【解】（1）把（1,0）代入y =

c x +221,得c=-1,所以抛物线解析式为y =2

1

212-x ；

（2）作CH ⊥EF 于点H ，则，△EHC ∽△FGC . ∵E （m ,n ）,

∴F （m,

21122m -）, 又C （0，-21

），

∴EH =n +21,CH =-m ,FG =-m ,CG =2

1

m 2,

∵△EHC ∽△FGC ，

∴EH FG CH CG =，即

21212

n m m m +

-=-， ∴n +21=2,

∴n =2

3

(－2＜m ＜0)；

第24题（答案）

（3）由题意知点P （t ，0）的横坐标为，M （t ，21122

t -），△OPM ∽△QPB ， ∴

PB

PQ

PM OP =， 其中，OP =t ,PM =21122t -,PB =1－t ,PQ =t t +12,BQ =2

2PQ PB +=t t ++112,

∴PQ+BQ+PB =t t +12+t

t ++11

2+1－t =2.