全等三角形习题选(含答案)

经典三角形证明题选讲（含答案）

三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验

1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

1. 证明：延长AD 到E,使DE=AD, 则△ADC ≌△EBD ∴BE=AC=2 在△ABE 中,AB-BE

又AD 是整数,则AD=5

思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。

2.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

2.证明：连接BF 和EF.

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ △BCF ≌△EDF(边角边). ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF. 连接BE.

在△BEF 中,BF=EF ，∴∠EBF=∠BEF 又∵ ∠ABC=∠AED ，∴ ∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE

在△ABF 和△AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. ∴ △ABF ≌△AEF ∴∠1=∠2. 思路点拨：解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB 、AE 在同一个△ABE 中，可利用∠ABE=∠AEB 来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边 3.已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC

证明：

过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G

则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2

又∵CD=DE ∴△ADC ≌△GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF ∥AB ∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。

4.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

证明： 延长AC 到E 使CE=CD ，连接 ED ，则∠CDE=∠E

∵ AB=AC+CD ∴AB=AC+CE=AE

又∵∠BAD=∠EAD ，AD=AD ∴△BAD ≌△EAD ∴∠B=∠E ∵∠ACB=∠E+∠CDE ，∴∠ACB=2∠B

A

D

B

C

A C

D F 2

1 E

方法二

在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）

∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD ，AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短

5.已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：过C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于F.在△CFA 和△CEA 中

∴∠CFA ＝∠CEA ＝90°又∵∠CAF ＝∠CAE ， AC=AC ∴△CFA ≌△CEA ， ∴AE ＝AF ＝AD ＋DF ， CE=CF ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠FDC ＋∠ADC ＝180° ∴∠B ＝∠FDCE

在△CEB 和△CFD 中 ，

CE=CF,∠CEB ＝∠CFD ＝90°, ∠B ＝∠FDCE ∴△CEB ≌△CFD

∴BE ＝DF ∴ AE ＝AD ＋BE

思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现

6. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF. ∵∠ABE=∠FBE,BE=BE, ∴ ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS), ∠EFB=∠A;

∵AB ∥CD, ∴∠A+∠D=180°; 又∵∠EFB+∠EFC=180°, ∴∠EFC=∠D;

又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE, ∴⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD. ∴BC=BF+FC=AB+CD.

思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短

法二：延长BE 交CD 的延长线于点F ，易证BC=FC=FD+DC 又∵∠BCE=∠FCE ∴BE=FE; 易证⊿ABE ≌ΔDFE ∴AB=FD ∴ BC=AB+DC

法三：易证∠BEC=90°,取BC 中点F ，连接EF,则BF BC EF ==2

1

； ∴∠FEB=∠FBE=∠ABE ∴AB ∥EF 同理DC ∥EF

又∵F 为BC 中点 ∴E 为BC 中点 ∴)(2

1DC AB EF +=

∴BC=AB+DC

思路点拨：三角形两边有中点，连接可得中位线。

D

C

B A

梯形一腰有中点，亦可尝试中位线

法四：过E 作EF //AB 交BC 于点F,则∠F EB=∠A BE=∠F BE

∴EF=BF,同理EF=CF, ∴BF=CF, EF=BC 21

又∵EF //AB//DC ∴AE=ED ∴)

(2

1

DC AB EF += ∴ BC=AB+DC

思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。

7. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C

证明：连接BE ∵AB ∥ED, ∴∠ABE=∠DEB

又∵∠EAB=∠BDE ,BE=EB

∴△ABE ≌△DEB ， ∴AE=DB

又∵AF=CD,EF=BC ∴△AFE ≌△DCB ， ∴∠C=∠F

8．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 证明：延长AD 至H 交BC 于H;

∵BD=DC ， ∴∠DBC=∠DCB

∵∠1=∠2， ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2; 即∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC

∴△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD=∠CAD ∴AD ⊥BC

思路点拨：中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。 9．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．

求证：∠OAB =∠OBA 证明：∵OM 平分∠POQ ，

MA ⊥OP,MB ⊥OQ ∴MA=MB

∴∠MAB=∠MBA

∵∠OAM=∠OBM=90度 ∴∠OAB=90-∠MAB ， ∠OBA=90-∠MBA ∴∠OAB=∠OBA

思路点拨：同一三角形中角相等，可用等边对等角

D

C B A F

E

10已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：AF ⊥CD

证明：同2先证出AB=AE,然后连接AC 、AD,再证明

△ABC ≌△AED ，从而AC=AD, 又∵F 是CD 的中点，∴AF ⊥CD

11.如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠1=∠2，求证：BD=DC ．

证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB

又∵ ∠1=∠2 ∴∠DBC=∠DCB ∴BD=DC ． 12（改编）如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠ADB=∠ADC ，求证：BD=DC ．

提示：将△ADB 绕点A 逆时针旋转∠BAC 得△AEC ，连接DE,可证出∠CDE=∠CED 从而CD=CE=BD

思路点拨：当题中出现等腰三角形时，可以考虑用旋转的方法打开思路，添加辅助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时 ，更是如此

13．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，

AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF

（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）证明：连接BE ，DF ． ∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ， 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中， ∵AF=CE ，AB=CD ，

∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ， ∴DE=BF ．

∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD ，ME=MF ；

（2）解：上述结论仍然成立证明如下： 连接BE ，DF ．

∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ， 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中， ∵AF=CE ，AB=CD ，

∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ， ∴DE=BF ．

∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD ，ME=MF ．

本题也可以用证明两次三角形全等的方法

14．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，

（1）求证：△AED ≌△EBC ．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再

写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

(1) 证明：∵DC ∥AE ，且DC=AE ，∴四边形AECD 是平行四边形。于是知AD=EC ，且∠EAD=∠BEC 。由AE=BE ， ∴△AED ≌△EBC 。

（2）解：△AEC 、△ACD 、△ECD 都与△AED 面积相等。

O

E

D C

B

A

15．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．

求证：BD =2CE ．

证明： ∵BE ⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF 和△BEC 中

∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF ≌△BEC(ASA)

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD 和△ACF 中

∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE

思路点拨：如何发现哪两个三角形全等？可以通过旋转来发现

16、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。

证明：∵BE ∥CF

∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线.

17、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

证明：在△ABD 与△ACD 中 AB=AC ，BD=CD ， AD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BDF=∠FDC

在△ABF 与△ACF 中

AB=AC,∠BAD=∠CAD,AF=AF △ABF ≌△ACF,∴BF=CF

本题也可利用线段的垂直平分线定理来证，该证法更简洁

F

E

D

C B A

M

F

E

C

B

A

F

D

C

B

A

18、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。

证明：∵AB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE ≌△CDF ∵ ∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE ∴△ABF ≌△CDE ∴AF=DE

本题亦可用平行四边形的知识来证明

19. .公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.

证明：∵AB 平行CD （已知）

∴∠B=∠C （两直线平行，内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴BM=CM （中点定义） 在△BME 和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） BM=CM （已证）

∴△BME ≌△CMF （SAS ）

∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上

思路点拨：要证明E 、M 、F 三点在同一条直线上，只需证明∠EMF=180°

20．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．

证明： ∵AF=CE

∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF

∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF

∴△ABE ≌△CDF （SAS ）

F

E D

C

B

A

21．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ， 求证：BE =CD ．

证明：连接BC ∵ AB=AC ，∴ ∠EBC=∠DCB ∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴ ∠BEC=∠CDB

∵ BC=CB (公共边) ∴△EBC ≌△DCB

∴ BE ＝CD

也可证△CEA ≌△BDA ，从而AE=AD,又AB=AC ， ∴AB-AE=AC- AD ，∴ BE ＝CD

22 . 已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,

求AD 的长？

解：∵∠C=∠E=90度

∠B=∠EAD=90度-∠BAC

BC=AE ∴△ABC ≌△DAE ∴AD=AB=5

23．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：

MB=MC

证明∵AB=AC ,∴∠B=∠C

∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ∴∠MEB=∠MFC=90° 又∵ME=MF ，

∴△BEM ≌△CFM ∴MB=MC

24．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，

MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，

求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；

若不成立，说明理由.

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

C

D

E

F

C A

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE ． ∵AC=BC ，

∴△ADC ≌△CEB ． ②∵△ADC ≌△CEB ， ∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE+CD=AD+BE ．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE ． 又∵AC=BC ，

∴△ACD ≌△CBE ． ∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE

25．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ， 即∠EAC=∠BAF ， 在△ABF 和△AEC 中，

∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， ∴EC=BF ；

（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ， ∴∠AEC=∠ABF ， ∵AE ⊥AB ， ∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC ⊥BF ．

A

E B

M C

F

26．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

证明：（1） ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NCA

∴AM=AN

（2）

∵△ABM ≌△NAC ，∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN 也可先证明△BFM ≌△CFA 得BF=CF,FM=FA 又

∵CN=AB ∴AB- BF= CN- CF ∴FA= FN,

∴FM=FA= FN, 又∵∠AFM=∠AFN=90°∴AM=AN,∠3=∠4=45°∴AM ⊥AN

27．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC ∥EF

证明：在△ABF 和△CDE 中, AB=DE ，∠A=∠D ， AF=CD ∴△ABF ≡△CDE （边角边），∴FB=CE 在四边形BCEF 中，FB=CE ，BC=EF

∴四边形BCEF 是平行四边形， ∴BC ‖EF

29、 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．

证明：∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD=CD ∵DF=DE （已知），∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC ∴∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）

28、已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ．

求证：AB CD ∥．

证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEC=∠BFA=90°，

在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，DE=BF ，AB=CD ，

∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ， ∴∠C=∠A ，∴AB ∥CD ．

29、 如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE

＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明

A A

C

E

D

B

A D E C

B F

30、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.

证明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC

∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB

又∵BE=CE，AB=DC ∴△ABE≌△DCE

∴AE=DE

*31如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于G

∵∠ACB=90°

∴∠ACG= ∠DCG=45°

∵∠ACB=90° AC=BC

∴∠B=∠BAC=45°

∴∠B=∠DCG=∠ACG

∵CF⊥AD

∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠CAF=∠DCF

∵ AC=CB ∠ACG=∠B

∴△ACG≌△CBE

∴CG=BE

∵∠DCG=∠B CD=BD

∴△CDG ≌△BDE

∴∠ADC=∠BDE

32、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

1

2 CD AB

A

B E C

D

A B

C

D

E

F

图9

延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB

33.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当ADBC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。则： △AED 是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD

∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C.

34.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

在AC 上取点E ， 使AE ＝AB 。 ∵AE

＝AB AP ＝AP ∠EAP ＝∠BAE ， ∴△EAP ≌△BAP ∴PE ＝PB 。 PC ＜EC ＋PE

∴PC ＜（AC －AE ）＋PB

P D A

C

B

∴PC －PB ＜AC －AB 。

35.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC 上取一点D ，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴

AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD 中，AE 是角BAD 的角平分线， ∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE

∴点E 一定在直线BD 上，

在等腰三角形ABD 中，AB=AD ，AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE

36.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF ∽CDF AF=AG=5

F

A

E

D C B

∴DC=CF=2

37.（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．

求证：BD =2CE ．

证明：

∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE 四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC

取线段BD 的中点G ，连接AG ，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC ≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE

38、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。

证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ， 即DE=CF ，

F

E

D

C

B

A F E D

C

B A

在△AED 和△BFC 中，

∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ）

39、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

证明： ∵BE ‖CF

∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线.

40.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

连接BD ； ∵AB=AD BC=D

∴∠ADB=∠

ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加，∠ADC=∠ABC ； ∵BC=DC E\F 是中点

M

F

E

C

B

A

∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF 。

41．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

证明：

在△ADC ，△ABC 中

∵AC=AC ，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA ∴△ADC ≌△ABC （两角加一边） ∵AB=AD ，BC=CD 在△DEC 与△BEC 中 ∠BCA=∠DCA ，CE=CE ，BC=CD ∴△DEC ≌△BEC （两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC

42．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．

∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB //DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC //

EF

C

A

∴△ABC ≌△DEF （ASA ）

43.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ．

证明：

∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED 与∠AFD=90° 在△AED 与△AFD 中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD

∴△AED ≌△AFD （AAS ） ∴AE=AF

在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF

∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD ⊥EF

44.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠

⑤

DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论

（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：①AD=BC ，⑤∠DAB=∠CBA 求证：△DAB ≌△CBA

证明：∵AD=BC ，∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB

∴△DAB ≌△CBA

45、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

∵,∠3=∠4 ∴OB=OC

在△AOB 和△DOC 中 ∠1=∠2 OB=OC

∠AOB=∠DOC △AOB ≌△DOC

∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB 和△DBC 中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB

△ACB ≌△DBC ∴AB=CD

结论：CE>DE 。当∠AEB 越小，则DE 越小。 证明：

过D 作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB

由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ， 且△DFB 为等腰三角形。

RT △BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT △AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45°

.

3

4

21

D

C

B

A

∴AB>AF

∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE