随机需求条件下闭环供应链网络均衡

文章编号:1001-4098(2008)08-0011-06

随机需求条件下闭环供应链网络均衡X

刘　诚1,李　伟1,瞿　攀2

(1.中南大学数学科学与计算技术学院,湖南长沙　410075;

2.中南大学信息科学与工程学院,湖南长沙　410083)

摘　要:立足于闭环供应链,以循环视点在随机需求条件下,对基于两层的闭环供应链网络均衡问题进行研究,得到了制造商、消费者市场以及整个闭环供应链的均衡条件。针对所建模型,利用拟牛顿算法进行了算例分析,结果表明:废旧产品的回收再制在供应链均衡管理中是双赢的。

关键词:闭环供应链网络均衡;制造商;消费者市场;拟牛顿算法

中图分类号:F274 文献标识码:A

闭环供应链是为了适应循环经济地发展,对传统供应链的变革,有机的整合了逆向供应链和正向供应链。闭环供应链的出现是环境(可持续性发展)和非环境因素(企业自身发展和竞争优势)共同造就的,使“资源—生产—消费—废弃”的开环过程变成了“资源—生产—消费—再生资源”的闭环反馈式循环过程,是基于正/逆向供应链整合而成的网状供应链。供应链均衡管理是指链上各节点企业通过相互之间的责任分担、利益共享等机制来获得收益,强化合作关系,从而实现供应链整体最优,借助网络技术,把供应链看作一个完整的运作过程,对其进行集成化管理,从而减少浪费,以更低的成本实现价值的增值。

现在,闭环供应链模型问题在实践和研究中成为热点,其原因归功于它在供应链网络经济中的重要性[2-5]。

A.N ag ur ney等研究了一类竞争的供应链网络模型,分析了供应链各层次均衡的条件,得到了整个供应链网络均衡的条件[6],在A.N agurney等的基础上,H.D avid等进行了闭环供应链网络的均衡问题的研究,得到了闭环供应链网络均衡解成立的条件并进行了数据分析[10]。A.N agurney 等与H.Dav id等的研究充分考虑了供应商、分销商、消费者各节点企业之间的竞争关系,分散决策,并得到集中决策的均衡条件,比很多现行研究中的串行链式供应链更具有实际意义,但欠缺的是均衡条件都是在确定性需求条件下建立的,J.Dong等第一次提出了在随机需求下的供应链均衡模型[9],本文在此基础上进一步建立了随机需求条件下的闭环供应链网络均衡模型。

1模型结构及其相关假设与符号说明本文中研究的闭环供应链基本结构如图1所示。在这个网络中有两个层次:制造商和消费者市场。在每一个层次的成员中存在竞争,且层次之间有

相互合作。

图1　闭环供应链模型

制造商为各消费者市场制造和提供产品而获取利润,产品可以直接用新的原材料制造,也可以用回收品进行再制造。我们假设各制造商所制造的产品没有区别,且不考虑用回收产品再制造的产品的贬值,即再制品和用新的原材料制造的产品(称之为新品)没有区别且在同一流通渠道中销售。在生产过程中,制造商发生的成本包括生产新品的原材料成本,回收旧品的成本和运输成本等。

第26卷第8期(总第176期) 系　统　工　程V ol.26,No.8 2008年8月 Systems Engineering A ug.,2008

X收稿日期:2008-06-04

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571046);中南大学“大学生创业创新启航行动”重点资助创新项目(ZRA13)

作者简介:刘诚(1966-),女,江西永新人,中南大学副教授,博士,研究方向:组合优化,物流管理;李伟(1981-),男,湖南益阳人,中南大学研究生,研究方向:规划理论及其应用,物流管理。

假设有m 个制造商(制造商序号用i 表示)和n 个消费

者市场(消费者市场用序号j 表示);不考虑商品退货的问题,而以产品的残值进行分析,且回收产品100%被利用再制造;模型中采用V M I,即供应商管理消费者市场的库存,但其中库存持有成本由消费者市场支付,因此制造商没有有库存,生产出来的产品全部分配到消费者市场,即消费者市场的产品数量(或订货量)就等于制造商的分配量。下面给出有关的符号说明。

q r ij :制造商i 从消费者市场j 回收产品的数量;q r i :制造商i 的再制品生产量,q r i =∑

n

j =1

q r ij ;

q v i

:制造商i 的新品生产量;

q f ij :制造商i 提供给消费者市场j 的产品(包括再制品和新品)数量;

q f i :制造商i 总的产品生产量,q f i =

∑n

j =1

q

f

ij

;q f

j

:消费者市场j 所持有的产品数量,q f j

=∑m

i =1

q f

ij

;

Q f :产品数量矩阵,Q f =(q f ij )mn ∈R mn +;

Q r :回收品数量矩阵,Q r =(q r ij )mn ∈R m n +;Q v :列向量,Q v =(q v 1,q v 2,…,q v m )T ∈R m +;

f i :制造商i 生产新品的生产成本;r i :制造商i 的再制造成本;

c f ij

:从制造商i 到市场j 之间产品的运输费用;c r ij :制造商与i 市场j 之间回收品的运输费用;A :制造商回收品数量占总产品数量的最小比率;h j :消费者市场j 的持有成本;b j :消费者市场j 的回收成本;

p f ij :制造商i 给消费者市市场j 的产品批发价格;p r

ij :制造商i 给消费者市市场j 的产品回收价格;p f j :消费者市场j 的零售价格;

d f j :消费者市场j 的需求量(随机变量);s j :消费者市场j 未售出的单位产品的残值;t j :消费者市场j 缺货的单位损失成本。

2　制造商的均衡条件

由于制造商之间存在竞争关系,所以制造商i 生产新品的生产成本f i 是关于所有制造商的生产量组成的m 维列向量Q v

的函数:

f i =f i (Q v

),　P i

制造商i 再制造成本r i 是有关再制造量q r i

的函数:

r i =r i (q r i

),　P i

制造商i 将产品q f ij 提供给消费者市场j 所产生的运输费用c f ij

的大小取决于q f ij

:

c f

ij

=c f ij

(q f ij

),　P i ,j

制造商i 从消费者市场j 回收产品q r ij 所产生的运输费用c r ij 的大小取决于q r ij :

c r ij =c r ij (q r ij ),　P i ,j

用u (1)i 表示制造商i 的利润函数,可以得到制造商i 的利润模型如下:

max u

(1)

i

=

∑n

j =1

p

f ij q f ij -f i (Q v

)-r i (

∑n

j =1

q r ij

)　

-

∑n

j =1[c

f ij (q f ij )+c r ij (q r ij )+p r ij q r ij ](1)

s.t.　

∑n

j =1

q

f ij

≤q v i

+

∑n

j =1q

r ij

(2) A

∑

n

j =1

q f ij ≤

∑n

j =1

q

r ij

(3) q r ij ≥0,q v i ≥0,q f

ij ≥0,　P j

(4)

其中目标函数(1)表示制造商的利润,式(2)表示各制造商

提供的总产品数量要小于等于各制造商的再制品数量与

新品数量之和;式(3)表示各个制造商最少应回收的产品数量。式(4)表示各变量的非负约束。

假设所有的制造商在非合作竞争的环境下,此外,假设每一个制造商的生产成本函数和运输成本函数都是连续凸函数。各制造商为了获得最大利润,会以最优生产量进行生产,在最优性条件下,所有的制造商满足以下不等式[1,10]:

∑m

i =1∑

n

j =1

5c f ij (q f *ij )5q f

ij -p f *ij +K *

i +A C *i ×[q f ij -q f *ij ]

+∑

m

i =15f i (Q v *)5q v i

-K *i

×[q v i -q v *

i ]+

∑m

i =1∑

n

j =15r i (q r *i )5q r ij +5c r ij (q r *ij )5q r ij

+p r ij -K *i -C *

i

×[q r

ij

-q r *ij

]+∑m i =1

∑n

j =1

q

r *ij

-A

∑n

j =1

q

f *ij ×[C i -C *

i ]

+

∑

m

i =1

q v *

i

+∑n

j =1

[q

r *ij

-q f ij ]×[K i -K *

i ]≥0,

P (Q r ,Q v ,Q f ,K ,C )∈R 2mn +3m

+

(5)

在该表达式中,K i 、C i 分别是式(2)、式(3)两个约束条件的拉格朗日算子,将K 、C 记作所有制造商满足的约束条件的拉格朗日算子组成的两个m 维列向量。

3　消费者市场的均衡条件

消费者市场j 的需求d f j 是不确定的,它与消费者市场j 的零售价格p f j 相关:

d f j =d f j (p f j )

其概率密度为f j (x )=f j (x ,p f j ),分布函数为F j (x ,p f j ):

F j (x ,p f j )=F (d f j ≤x )=

∫

x

f j

(x ,p f

j

)d x 由此可以得到消费者市场j 实际售出的产品数量为

12系　统　工　程 2008年

min(q f j

,d f j

),未售出的产品数量为max (∑m

i =1

q

f ij

-d f j

,0),

缺货的数量为max (d f j -∑m

i =1

q f ij

,0)。

消费者市场j 的库存持有成本h j 与其所持有的产品数量q f j =

∑m

i =1

q

f ij

有关,考虑到市场的竞争性,将库存持有

成本函数表示为:

h j =h j (Q f ),　P j

消费者市场j 的回收成本b j 与其所回收的产品数量q r j 有关,考虑到市场的竞争性,将其回收成本函数表示为:

b j =b j (Q r ),　P j

根据以上说明,用u (2)j 表示消费者市场j 的利润函数,则:u

(2)

j

=p f j

min(

∑m

i =1

q f ij

,d

f j

)-

∑m

i =1

p

f ij q f ij +t j max (q f ij -d f j ,0)

-s j max (d f j -

∑m

i =1

q f ij

,0)

-h j (Q f )-b j (Q r )+

∑m

i =1

p

r ij q r ij

(6)

因为目标函数中含有随机变量,所以对目标函数(6)求期望可以得到消费者市场j 的期望利润模型如下:

max E (u (2)j )=p f j

∑m

i =1

q

f

ij

-∫

∑m

i =1q f ij

F j (x ,p f

j

)dx

-

∑m

i =1

p

f

ij

q f ij

+t j ∫

∑m

i =1q f

ij

(

∑m

i =1

q

f ij

-x )f j (x )dx

-s j

∫

∞∑m

i =1

q f ij (x -

∑m i =1q

f ij

)f j (x )d x

-h j (Q f )-b j (Q r

)+∑

m

i =1

p r ij q r ij

(7)s.t.　

∑m

i =1

q

r

ij

≤

∑m

i =1

q f

ij

(8)

q r ij ≥0,q f ij ≥0,　P i

假设对所有的消费者市场,库存持有成本函数、回收成本函数是连续的凸函数。此时可以得到所有的消费者市场达到最优条件时满足的不等式为[1]:

∑m i =1∑

n

j =1

[p

f *

j

(F j (

∑

m

i =1

q

f *ij

,p

f *j

)-1)-t j F j (

∑

m

i =1

q f *ij ,p f *j )

-s j (1-F j (∑

m

i =1

q f *ij ,p f *j ))+p f *ij +

5h j (Q f *)

ij

-G *j ]×[p f

ij

-p f *ij

]

+∑m i =1∑

n

j =15b j (Q r *)

5q r ij

-p r *ij +G *j

×[q r ij

-q

r *ij

]

+∑m

i =1∑n

j =1[q

f *ij

-q r *ij ]×[G j -G *

j ]

+

∑n j

∑m

i =1

q

f *ij -E (d ^

f j )×[p f j -p f *j ]≥0P (Q r ,Q f ,p f ,G )∈R

2mn +2n +

(9)

在该表达式中,p f 是零售价格p f j 组成的n 维列向量,G j 为式(8)中约束条件的拉格朗日算子,将G 记作所有制造商满足的约束条件的拉格朗日算子组成的m 维列向量。

4　闭环供应链的均衡条件

文献[10]定义了闭环供应链网络均衡,由此可以定义随机需求下闭环供应链网络均衡。

定义1(随机需求下闭环供应链网络均衡)　随机需求下闭环供应链的网络均衡是两层决策者之间的正向物流和逆向物流一致,且回收量、产品流量以及相关价格满足最优条件式(5)、式(9)的和。

定理1　随机需求的闭环供应链的均衡条件等价于以下所示的不等式:

∑m i =1∑n

j =1

[(p

f *j

+s j -t j )F j (

∑m

i =1

q

f *ij ,p f *j )-p f *j -s j

+

5c ij (q f *ij )5q f ij +5h j (Q f *)5q f ij

+K *i +A C *i -G *

j ]×[q f ij -q f *ij ]+

∑m

i =1∑

n

j =1

[

5r i (q r *i )5q r ij +5c r ij (q r *ij )5q r ij +5b j (Q r *)5q r ij

-K *i -C *

i

+G *j ]×[q r ij -q r *

ij ]

+∑

m

i =15f i (Q v *)5q v i -K *

i

×[q v i -q v *

i ]+∑

m

i =1q

v *i +

∑n

j =1

q

r *ij -

∑n

j =1q

r *ij ×[K i -K *

i ]

+∑m i =1∑n

j =1

q

r *ij

-A

∑n

j =1

q

f *ij

×[C i -C *

i ]

+∑m

i =1∑n

j =1[q

f *ij -q r *ij ]×[G j -G *j ]

+

∑n j

∑m i =1

q

f *ij

-E (d ^

f j )×[p f j -p f *j ]≥0

P (Q r ,Q v ,Q f ,K ,C ,p f ,G )∈H

(10)

其中,H ={(Q r ,Q v ,Q f ,K ,C ,p f ,G )?(Q r ,Q v ,Q f ,K ,C ,p f ,

G )∈R 2mn +3m +2n

+

}。根据定义1,只需将式(5)、式(9)的和进行整理后即可得到以上不等式。另外,将不等式(10)的左边部分用向量内积形式表示,则式(10)可以写成:

〈G (X *)3,X -X *〉≥0,　P X ∈H

(11)

其中,G (X )=(G r ij ,G v i ,G f ij ,G K i ,G C i ,G G

j ),i =1,2,…,m ,j

=1,2,…,n .G (X )的每个分量的具体形式由式(10)左边每一项中乘法符号前面部分构成。

制造商i 给销售市场j 的产品价格p f *ij 可以通过令式(5)左边的第一项为0得到:

p f *ij C *i

(12)

13

第8期 刘诚,李伟等:随机需求条件下闭环供应链网络均衡

制造商i 回收消费者市场j 的产品价格p r *ij 可以通过令不等式(9)左边的第二项为0得到:

p

r *ij

=5b r j (Q r *)

5q r ij

+G *j

(13)

从模型中可以看到,与制造商和零售商相关的均衡价格都是本模型的内生变量,都可以通过以上等式得到。

5　均衡条件分析

文献[6]～[10]对确定性需求下闭环供应链网络均衡的不等式条件或随机需求下供应链网络均衡的不等式条件的一些性质进行了论证,本节将针对随机需求条件下的闭环供应链网络均衡模型均衡不等式条件进行一些探讨,利用文献[1]中的非线性规划理论和凸规划理论,同样得到以下的几条重要性质,对于建立算法提供了有效的理论依据。

定理2　对于每一个节点企业(每个制造商和每个消费者市场),若其利润函数都是凸的,则G (X )是单调的。

证明　我们只需验证以下不等式成立即可:〈(G (X 1)-G (X 2))3,X 1-X 2〉≥0,　P X 1,X 2∈H 由式(11)中对G (X )的说明和定义,得到　〈(G (X 1

)-G (X 2

))3

,X 1

-X 2

〉=

∑m i =1∑

n

j =1

(-5u 1i 5q f ij

+K 1i +C 1i +G 1

j )-(-5u 2i 5q f ij +K 2i +C 2i +G 2j )×[q f 1ij -q f 2

ij ]+∑

m

i =1(-5u 1i 5q v i

-K 1i )-(-5u 2i 5q

v i

-K 2i )×[q v 1i -q v 1i ]+

∑m

i =1∑

n

j =1(-

5u 1i 5q r ij

+K 1i -C 1i -G 1

j )-(-5u 2i 5q r ij

+K 2i -C 2i -G 2j )×[q r 1ij -q r 2ij ]+∑m

i =1∑n

j =1[(q

f 1ij

-q r 1ij )-(q f 2ij -q r 2ij )]×[G 1j -G 2

j ]

+

∑m

i =1

∑n

j =1

q f 1ij

-A

∑n

j =1

q

r 1ij

-

∑n

j =1q

f 2ij

-A

∑n

j =1q

r 2ij

×[C 1i -C 2

i ]

-∑

m

i =1q v 1

i

+

∑n

j =1(q

r 1ij

-q f 1ij

)-q v 2i

-

∑n

j =1(q

r 2ij

-q f 2ij

)

×[K 1i -K 2

i ]

+[

∑n j [∑m

i =1

q

f 1ij

-E (d ^f 1j

)]-

∑n j

[∑m

i =1

q

f 2ij

-E (d ^f 2

j

)]

×[p f 1j -p f 2j ]]

(14)

以上式子整理后得到:

∑m i =1∑

n

j =1

-5u 1i 5q f ij

-5u 2i 5q f ij ×[q f 1ij -q f 2ij ]+

∑

m

i =1-5u 1i 5q v i -5u 2

i 5q v i ×[q v 1i -q v 1i ]+

∑m

i =1∑

n

j =1

-

5u 1i 5q r ij -5u 2i

5q r ij

×[q r 1ij -q r 2ij ]

(15)

因为利润函数是凸的,利润函数负的梯度是单调的,因此,表达式(15)必须大于等于0。证毕。

定理3(最优解的唯一性)　如果利润函数u (1)i ,u (2)

j (i

=1,2,…,m ;j =1,2,…,n )都是严格凸的,则对应最优价格,其最优解X

*

∈H 是唯一的。

证明　假设式(14)有两个最优解X 1*,X 2*,即

〈G (X 1*)3,X -X 1*〉≥0,　P X ∈H (16)〈G (X 2*)3,X -X

2*

〉≥0,　P X ∈H

(17)

令X =X

2*

,X =X 1*分别代入式(16)和式(17),然

后将得到的两式相加后,得到〈G (X 1*)3-G (X 2*)3,X 1*-X 2*〉≤0,即

∑m

i =1∑

n

j =1

-

5u 1*i

5q f ij -5u 2*i 5q f ij ×

q f 1ij -q f 2

ij +∑m

i =1-5u 1*i 5q v i -5u 2*i

5q v

i ×[q v 1i -q v 1

i ]

+

∑m

i =1∑

n

j =1

-

5u 1*i 5q r ij -5u 2*i

5q r ij

×[q r 1ij -q r 2ij ]≤0

显然与利润函数为严格凸性的假设矛盾,因此,对于最优价格,其最优解是唯一的。证毕。

6　闭环供应链网络均衡问题的

转化及其求解方法

不等式(10)中,闭环供应链网络均衡模型各个网络流都定义为非负的,文献[7]～[10]明确对于此类不等式问题可以等价替换成非线性规划问题。利用以下优化函数(m er it function)可以将带约束的非线性规划问题等价替换成无约束的非线性最小值问题:

U (a ,b )=[

a 2+

b 2-(a +b )]2,R 2→R +

对于此的说明祥见文献[7],由此,将本文中的闭环供应链网络均衡问题转化为如下无约束最小值问题:min 5(X )=

∑m i =1∑n

j =1

U (q

f ij

,F 1ij

(X ))+

∑m

i =1

U (q v i

,F

2ij

(X ))　

+

∑m

i =1∑n

j =1U (q r ij

,F

3ij

(X ))+

∑m i =1U (K i

,F 4i

(X ))

+∑m

i =1U (C i

,F

5i (X ))+

∑n

j =1

U (G j

,F 6j

(X ))

+

∑n

j =1U (p

f j

,F 7j (X ))

其中,F 1ij

,F 2i

,F 3ij

,F 4i ,F 5i ,F 6j ,F 7

j 分别是不等式(10)左边的

第一项到第七项。

到目前为止,拟牛顿算法(Quasi -N ewton A lg orithem )

14系　统　工　程 2008年

是解无约束非线性规划问题比较有效的方法[1]。本文中运用拟牛顿算法对该问题进行求解,结合BFG S 方法并定义迭代步长为常数。

7　算例

运用JA V A 语言进行编程,步长设置为常数0.01,运行环境为Pentium 4,3.06G Hz CPU ,512M RA M 。在此讨论只有2个制造商和2个市场的闭环网络模型,4个不同回收比例参数对应的结果在表1中,初值给定q

f 0ij

=20,p

f 0j

=q v 0

i

=q r 0ij

=C 0i

=G 0j

=10,K 0i

=25,P i ,j =1,2,分别运行570(0.17s),910(0.21s),870(0.21s),1070(0.37s)步得到最优结果(其中0

(1)i

,0(2)j 分别表示制造商i 与零售商市

场j 获得的最大利润,P i ,j =1,2)。假设消费者市场的需求服从均匀分布,分布区间为[0,p f j /b j ],j =1,2。因

此,f j (x ,p f j )=p f j /b j ,F j (x ,p f j )=x p f j /b j ,需求函数为:

d j (p f j )=b j /2p f j ,　j =1,2

其他的费用函数设置为:

f 1(Q v )= 2.5q v 2

1+q v 1q v 2+2q v

1f 2(Q v )= 2.5q v 22+q v 1q v 2+2q v 2

r i (q r i

)= 2.5

∑2j =1q

r ij

2

+2

∑2

j =1

q

r ij

c f ij (q f ij )=0.5q f 2

ij + 3.5q f ij ,i =1,2,j = 1.2c r ij (q r ij )=0.5(q r ij )2+ 3.5q r ij ,i =1,2,j =1,2h j (Q f )=0.5∑

2

i =1q ij

2

,j =1,2

b j (Q f

)=

∑2

i =1

q

r ij

,j =1,2

表1　算例结果

i

=1,2j =1,2A =0,t j =s j =1,

b j =150A =0.2,t j =s j =1,

b j =150A =0.3,t j =s j =1,

b j =150A =0.5,t j =s j =1,

b j =150q r *

ij 1.1473 1.1780 1.2431 1.8994q v *

i

2.6807 2.9043

3.5504 3.6083q f *ij 2.1697 2.7066 3.5504 3.5863K i 25.005825.006325.007525.0063C i 0.71649.105710.021010.0500G j 15.652715.570115.653615.6541p r *ij 16.652716.570116.653616.6541p f *ij 30.077033.51643

4.081537.5173p f *j 4

5.835642.773441.126740.9588u (1)i 11.298924.345029.76533

6.5610u (2)

j 30.1087

32.1122

32.2087

34.9001

图2　q r *ij ,q v *i ,q f *ij ,p r *ij ,p f *ij ,p f *

j

随着回收比率A 变化曲线图15

第8期 刘诚,李伟等:随机需求条件下闭环供应链网络均衡

图3　u (1)i ,u (2)j 随着回收比率A 变化曲线图

从以上图表中可以看到,增加回收比率,使得回收制造量q r *ij 逐渐减加,虽然制造商不断的提高市场批发价格p f *ij ,但市场需求量却仍然不断增长,其主要原因是零售商以较低的零售价格p f *j 将产品投入市场,吸引了更多的消费者,使得市场期望需求E (d ^f j

)不断增长(E (d ^f j

)与销售价格p f *j

成反比例增长)。在整个实验过程中,回收价格

p

r *ij

只有非常微小的变化,但制造商和零售商的利润都在

不断增长,这说明废旧产品的回收再制在供应链均衡管理中是双赢的。从图3看出,提高回收率对制造商利润的增长影响更加明显,因为通过回收不仅刺激了市场需求,且大大降低了制造商的生产成本,所以不断增加回收率是制造商提高利润的不错决策。

8　结束语

本文考虑了一类有竞争的闭环供应链网络模型,对随机需求模型的均衡条件进行了研究,使得闭环供应链的研究更加靠近实践。研究充分考虑了市场的竞争和博弈,建立了整个供应链网络均衡的条件,并将其转化为最小化问题,利用等步长的拟牛顿算法进行了数值实验,为企业的

回收决策提供了有力的理论依据。

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Closed -loop Supply C hain Network Equil ibrium under Stochastic Demand

LIU Cheng 1

,LI Wei 1

,QU Pang

2

(1.Scho ol of M at hematical Science and Co mputing T echnolog y ,Centre South U niversity ,Chang sha 410075,China ;

2.Schoo l of Inform ation Science and Eng ineering ,Centr al Sout h U niversity,Changsha 410083,China)

Abstract :Based on the closed-loop supply chain and from the perspective o f cy cle under r andom demands conditio ns,t his peper st udies t he pro blem of closed -loop supply chain netw ork equilibrium consisting of manufacturer s and consumer mar -kets ,the mathimatic models hav e been built and the equilibrium co nditio ns o f the manufacturer s ,the consumer markets and the closed-loop supply chain have been obtained.In the end,the r esults obtained thr oug h a numerical exemplification by Q usi-N ew ton algo rthem indicate that the recycling of w aste pro duct s in a clo sed-loop system of balanced supply chain man-agement is a w in -w in solution .

Key words :Closed -loop Supply Chain N etw ork Equilibr ium ;M anufacturer ;Consum er M arket ;Q usi -N ew ton A lg orit hem

16系　统　工　程 2008年