【高中教学案】2-2：第一章 1.2 第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式 人教A版选修

导数的计算

第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式

预习课本P12～14，思考并完成下列问题

(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝x n的导数公式？

(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？

[新知初探]

1．几种常用函数的导数

[点睛]

(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．

(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．

2．基本初等函数的导数公式

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝1

2×2＝1.( )

(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( ) (3)f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3

x 4.( )

答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －

1，则y ′＝－x －

2

D ．若y ＝x 12，则y ′＝12x 1

2

答案：D

3．若y ＝cos 2π

3，则y ′＝( )

A ．－

3

2

B ．－1

2

C ．0 D.12

答案：C

4．函数y ＝x 在点????

14，12处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4

答案：B

[典例] 求下列函数的导数．

(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5

x 3；(4)y ＝3x ；

(5)y ＝log 5x .

[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.

(2)y ′＝????1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5

＝－4x 5. (3)y ′＝(5

x 3

)′＝(x 35)′＝35

x -2

5

.

(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝

1x ln 5

.

求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

[活学活用]

求下列函数的导数：

(1)y ＝lg x ；(2)y ＝????12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 1

3x . 解：(1)y ′＝(lg x )′＝????ln x ln 10′＝

1

x ln 10

. (2)y ′＝????????12x ′＝????12x ln 12＝－???

?12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝3

2x .

(4)y ′＝????log 13x ′＝1x ln 13

＝－1

x ln 3

. [典例] 已知曲线y ＝1

x .

(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程． [解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1

x

2.

(1)显然P (1,1)是曲线上的点，所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1

x 在点P (1,1)的导数，即k ＝f ′(1)＝－1.

所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2. (2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1

x 上，

则可设过该点的切线的切点为A ????a ， 1a ， 那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1

a 2.

则切线方程为y －1a ＝－1

a 2(x －a )．①

将Q (1,0)代入方程：0－1a ＝－1

a

2(1－a )．

将得a ＝1

2

，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－4x ＋4.

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [活学活用]

当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为

A (x 0，x 20＋k )．∵y ′＝2x ，∴?

????

2x 0

＝1，

x 2

0＋k ＝x 0，

∴???

x 0

＝1

2，

k ＝1

4，

故当k ＝1

4

时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切，且切点坐标为????12， 12.

[典例] (1)质点的运动方程是S ＝sin t ，则质点在t ＝π

3时的速度为________；质点运动

的加速度为________．

(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

[解析] (1)v (t )＝S ′(t )＝cos t ， ∴v ????π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.

∵v (t )＝cos t ，

∴加速度a (t )

＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t . 答案：1

2

－sin t

(2)解：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.

若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

导数的综合应用的解题技巧

(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．

(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．

[活学活用]

曲线y ＝x 2

3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )

A.53

B.89

C.2512

D.412

解析：选C 可求得y ′＝23x －13，即y ′|x ＝1＝2

3，切线方程为2x －3y ＋1＝0，与x 轴

的交点坐标为????－12，0，与x ＝2的交点坐标为????2，53，围成三角形面积为12×????2＋12×53＝2512

.

层级一 学业水平达标

1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条

D ．不确定

解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e

D.1

e