函数的切线问题

第14炼 函数的切线问题

一、基础知识： （一）与切线相关的定义

1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上

（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3y x =在

()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点

A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，

通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当

0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相

同，故y x =在()0,0处不含切线

（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）

2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()

00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点

()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为：

()()()()()

000000

AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-=

=

+?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：

()()000

lim

x f x x f x k x

?→+?-=?,

即切线斜率，由导数定义可知：

()()

()'0000

lim x f x x f x k f x x

?→+?-==?。故()'0f x 为()

f x 在()()

00,A x f x 处切线的斜率。这是导数的几何意义。

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子y x =在()0,0处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x 轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。

例如：y =

在()0,0处不可导

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。 （二）方法与技巧：

1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程

2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'

0f

x k =,从而一点一斜率，

切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。

3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题

4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0?=求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，

例如：y =

1

2?

??处的切线方程，则可考虑利用圆的切

线的求法进行解决。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）

5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点。“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点。如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了。 二、典型例题 例1：求函数()()32x

f x e

x =-在1x =处的切线方程

思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程

解：()1f e = ∴切点坐标为()1,e

()()()'33231x x x f x e x e x e =+-=+

()'14f e ∴= ∴切线方程为：()4143y e e x y ex e -=-?=-

小炼有话说：切点已知时求切线方程是切线问题中较简单的一类问题，体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用 例2：已知函数()ln 2f x x x =+，则：

（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直

解： （1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，再利用平行条件求出0x ，进而求出切线方程

设切点坐标为()00,x y ()'

00

1

2f

x x ∴=

+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =

+=?= 011ln 122y f ??

∴==+ ???

∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ?

?-+=-?=-- ??

?

（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，有垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出0x ，进而求出切线方程 设切点坐标()00,x y ()'

00

1

2f

x x ∴=

+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011

213

f x x x ∴=

+=-?=- 而()00,x ∈+∞ 01

3

x ∴=-不在定义域中，舍去

∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直

小炼有话说：（1）求切线的关键要素为切点，进而若切点已知便直接使用，切线未知则需先设再求。两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件

（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域。在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内

例3：函数()2

ln f x a x bx =-上一点()()

2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，

求,a b 的值

思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln 22y x =-++上，322ln 222ln 24y ∴=-?++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P 在32ln 22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-?++=-

()2ln242ln24f a b ∴=-=-

又因为P 处的切线斜率为3- ()'

2a

f

x bx x

=

- ()'2432

a

f b ∴=

-=-

ln 242ln 24

21432

a b a a b b -=-?=??

∴???=-=-???

小炼有话说：（1）本题中切线体现了两个作用：①切点在切线上，进而可间接求出函数值；②切线的斜率即为切点导数值

（2）一般来说，在求未知量的值题目中，未知量的个数与所用条件的个数相等。在本题中确定,a b 两个未知量，从而想到寻找两个条件来解决问题。

例4：曲线x y e =在点()

2

2,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A.2

e

B. 2

2e

C. 2

4e

D.2

2

e

思路：()'

x f

x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切

线方程 ()'

22f

e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，

与两坐标轴的交点坐标为()()2

1,00,e - 22

1122

e S e ∴=??=

答案：D

小炼有话说：在平面直角坐标系中，我们研究的问题不仅有函数，还有解析几何。所以在求面积等问题时也会用到解析几何的一些理念与方法。例如求三角形面积要寻底找高，而选择底和高以计算简便为原则，优先使用点的坐标表示。在本题中选择横纵截距来刻画三角形的两条直角边有助于简化计算。 例5：一点P 在曲线3

2

3

y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,

2π?????? B.30,,24πππ???????????? C.3,4ππ?????? D.3,24ππ??

???

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。'

2

31y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'

2

=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是

30,,24πππ????

????????

答案：B

小炼有话说：（1）对于切线而言，其倾斜角，斜率，切点处的导数联系紧密：倾斜角的正切值为斜率，斜率即为切点的导数值。

（2）斜率范围到倾斜角范围的转化要注意一下两点：① 斜率化倾斜角时尽量用图像进行辅助，观察斜率变化时，倾斜角的变化程度。② 直线倾斜角的范围为[)0,π 例6：求过点()2,8A ，且与曲线()3f x x =相切的直线方程

思路：()2,8A 满足()f x ，但题目并没有说明A 是否为切点，所以要分A 是否为切点进行分类讨论。当A 是切点时，易于求出切线方程，当A 不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点()00,x y ，切线斜率为k ，三个未知量需用三个条件求解：① ()00y f x =，②

()'0k f x =，③00A

A

y y k x x -=

-

解：（1）当()2,8A 为切点时 ()'

23f x x =

()'212f ∴= ∴切线方程为：()81221216y x y x -=-?=-

（2）当()2,8A 不是切点时，设切点()00,P x y ()02x ≠，切线斜率为k

300

200038

2y x k x y k x ?

?=??∴=??-?=

-??

，消去0,k y 可得：32

000832x x x -=-

而()()

32

00008224x x x x -=-++ 02x ≠

∴方程等价于：222

0000032420x x x x x =++?--=

解得：02x =（舍），01x =-

01,3y k ∴=-= ∴切线方程为()13132y x y x +=+?=+

综上所述：切线方程为1216y x =-或32y x =+

小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子

（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用

已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件。

例7：设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值

解：()2

'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ???

?=--=-+--=--- ? ????

?

()'2min 11933f x f a a ??

∴==-- ??? 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：

21

91233

a a --=-?=± 0a < 3a ∴=-

例8：若存在过点(1,0)的直线与曲线3

y x =和2

15

94

y ax x =+

-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564- B. 1-或21

4

C. 74-或2564-

D. 74-或7

思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线2

1594

y ax x =+-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3

y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594

y ax x =+-求出a 的值。设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()

3

00

,x x ,切线方程为

()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或

032x =

，即切点坐标为()0,0或327,28?? ???

.当切点()0,0时，由0y =与2

1594y ax x =+-相切可得

()2

1525490464a a ??

?=--=?=- ???

，同理，切点为327,28?? ???解得1a =-

答案：A

小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁。所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与2

1594y ax x =+

-求a 的过程中，由于曲线215

94

y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0

?=

来求解，减少了运算量。通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）

例9：（2014，北京）已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线

()y f x =相切，求t 的取值范围

思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，

切线斜率为k ，则满足()3

000

'2

002363y x x k f x x ?=-??==-?? ，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即 ()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：32

00463t x x =-+-，所以

若存在3条切线，则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与

()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决

解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有：

()3000'2

002363

y x x k f x x ?=-??==-?? ∴ 切线方程为：()()()32

00002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：

()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ?=--+-

233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-

所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32

463g x x x =-+-

即直线y t =与()32

463g x x x =-+-有三个不同交点

()()'21212121g x x x x x =-+=--

令()'

0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增

()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值

所以若有三个交点，则()3,1t ∈--

所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切

例10：已知曲线2:C x y =，点P 在抛物线上且P 的横坐标为1，过P 作斜率为()0k k ≠的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由。

思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析。点()1,1P ，则可求出

:1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()(

)

2

1,1Q k k --，以及M 点坐标，

从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标。如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0?=求k ，方法可以但计算量较大。此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些。

解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P

∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -??

∴ ???

21y x y kx k ?=∴?

=-+? 消去y ：2

10x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()(

)

2

1,1Q k k ∴--

设直线()()2

1:11QN y k x k k --=-

--????即()()2

111y k x k k =----???

? ∴ 联立方程：()()2

2

111y x y k x k k ?=?

?=----??????

()211110x x k k k k ?

?∴+

---+= ??

? ()11111Q N N x x k k x k k k ???

?∴?=---+?=--+ ? ????

?

2

111,1N k k k k ??????∴--+-+ ? ? ? ???????

由2y x =可得：'2y x =

∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =?

?==--+ ??

?

2

111:1211MN y k k x k k k k ?????

???∴--+=--++-+ ? ? ??????

?????

代入1,0k M k -??

???

得： 2

111112111k k k k k k k ?????

???--+=--+-+-+ ? ? ??????

?????

21

1210k k k k k

∴-+

=?+-=

k ∴=

小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0?=简便

（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标。这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题。 三、近年好题精选：

1、设函数()()2

f x

g x x =+，曲线()y g x =在点()()

1,1g 处的切线方程为21y x =+，则

曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为________

2、已知直线1y kx =+与曲线3

y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 3、若曲线2

1x y C =：与曲线x

ae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（ ） A ．最大值为

28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24

e

4、（2015，新课标II 文），已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线

()221y ax a x =+++相切，则a =_______

5、（2015，陕西理）设曲线x y e =在点()0,1处的切线与曲线()1

0y x x

=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_________

6、（2014，广东）曲线52x y e -=+在点()0,3处的切线方程为__________

7、（2014，江西）若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标为__________

8、已知函数()ln x

f x x

=

，则过原点且与函数()f x 图像相切的直线方程为______ 9、已知函数()()212

x

f x e x ax a R =--∈，若函数()f x 的图像在0x =处的切线方程

为2y x b =+，则a =_______,b =__________

习题答案： 1、答案：4y x =

解析：由切线过()()

1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：

()4414y x y x -=-?=

2、答案：3b =

解析：代入(1,3)可得：2k =，()'

2

3f x x a =+，所以有()()'113

132

f a b f a =++=???=+=??，解得13a b =-??=?

3、答案：B

解析：设公切线与曲线1C 切于点()2

11

,x x ，与曲线2C 切于点()2

2,x x ae ，由'

'2x

y x

y ae

?=??=??可得：2221121

2x x ae x x ae x x -==-，所以有22

11

11221

1

22222x x x x x x x x x ae ?-=?=-?-??=?，所以2244x

ae x =-，即()2

241x x a e -=

，设()()41x

x f x e -=

，则()()'

42x

x f

x e -=

。可知()f x 在()1,2单调递

增，在()2,+∞单调递减，所以()max 2

42a f e == 4、答案：8 解析：'

1

1y x

=+

，所以'1|2x y ==，切线方程为()12121y x y x -=-?=-，联立方程()22

212021

y x ax ax y ax a x =-???++=?=+++??，从而由相切可得：2

808a a a ?=-=?= 5、答案：()1,1

解析：x

y e =的导数'

x

y e =，所以'0|1x k y ===，故P 处的切线斜率为1-，设切点

()00,P x y ，由1y x =

的导数'

21y x =-，可得：020111x x -=-?=，则00

11y x =

=，即P 点坐标()1,1

6、答案：53y x =-+ 解析：'

55x

y e

-=-，所以'0|5x y ==-，则切线方程为：3553y x y x -=-?=-+

7、答案：()ln2,2-

解析：'x y e -=-，因切点坐标未知，故设()00,P x y ，由切线与210x y ++=平行可知切线斜率为2-，即0

0'|2x x x y e -==-=-，解得：0ln2x =-，所以()ln 202y e --==，即P 点

坐标()ln2,2- 8、答案：12y x e

=

解析：设切点坐标为()00,x y ，切线的斜率为k ，因为()2

1ln x

f

x x -=

‘

0200

200000022

00

2

00001ln 1ln ln 1ln ln ln x k x k x x x x y kx x x x x k x y x x -?=-??=??-??

∴=??=?=????=??=?

??12k e

∴=

所以切线方程为：1

2y x e

=

9、答案：1,1a b =-=

解析：将0x =代入到直线方程可得切点坐标为()0,b

()01b f ∴== ∴直线方程为21y x =+

()'x f x e x a =-- ()'0121f a a ∴=-=?=-

1,1a b ∴=-=