河南省(全国卷)2018届高中毕业班阶段性测试(二)(文数)
河南省（全国卷）2018届高中毕业班阶段性测试（二）
数学（文科）
本试题卷分第1卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1． 设集合2{|60}A x x x =--≤，|2{}B x x =≥，则集合=B A
A ．[23]-，
B ．[22]-，
C ．(0]3，
D ．[2]3， 2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点()3,4P ，则in )(s 2
π
α-
=
A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
3． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若633S S =，则9a =
A ．24
B ．22
C ．20
D ．18
4． 已知点(),8m 在幂函数()()1n
f x m x =-的图象上，设????
? ????? ??=21
31f a ，()ln b f π=，
??
?
??-=21f c ，则,,a b c 的大小关系为
A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．b a c << 5． 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当10x -≤<时，
()()2log 31f x x =-+，则()2017f =
A ．-1
B ．-2 C. 1 D ．2
6．函数)sin(cos 2121)(x x f x
x
?+-=
的大致图象为
7． 已知实数,x y 满足2000x y x y y k +≥??
-≤??≤≤?
，且z x y =+的最大值为6，则实数k 的值为
A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 3
8． 已知在等边三角形ABC 中，3BC =，223
BN BM BC ==
，则=?
A ．4
B ．389
C ．5
D ．13
2
9． 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几
何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数). A ．10 B ．8
C ．6
D ．4
10．已知()f x 是定义在R 上的单调函数，满足()1x
f f x e ????-=，则()f x 在(0,(0))f 处的切线
方程为
A ．1y x =+
B ．1y x =-
C ．1y x =-+
D ．1y x =-- 11．已知“整数对”按如下规律排一列: ()()1,11,2(2,1)()()(1,32),23,1()()()1,42,33,2(4,1), ，
则第2017个整数对为
A ．()62,2
B ．()63,1
C ．()1,64
D ．()2,63
12．已知函数()1
,0ln ,0x x
f x x x x
???，若方程()0f x kx -=有3个不同的实根，则实数k 的取值范围
为 A ．??? ??e 21,
0 B ．??? ??e 31,0 C.
??? ??e 41,0 D ．??
?
??e 51,0
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题，每小题5分。
13．已知向量()1,a x =-，()2,b x x =+，若a b ⊥，则x = ． 14．已知函数()2sin()f x x ω?=+ (0,0)2
π
ω?>-
<<的
图象如图所示，则?= ．
15．已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ≠，且()()f a f b =，则41
a b
+的最小值 为 ．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n n a a +?=，则满足27n S >的最小项数n
为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos b A c a B =-. (Ⅰ)求B ；
(Ⅱ)
若b =ABC ?
ABC ?的周长. 18．（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且20182017
120182017
S S =+. (Ⅰ)求n S ； (Ⅱ)
求数列的前n 项和n T .
19．（本小题满分12分）
已知向量(cos )a A x ω=，??
?
??+=x x A b ωωsin ,cos 12，其中0,0A ω≠>.函数b a x f ?=)(图象的相邻两对称轴之间的距离是
2π，且过点??
?
??23,0. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)若()0f x t +>对任意???
??
?∈2,12ππx 恒成立，求t 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知函数()22x x f x λ-=+?为偶函数． (Ⅰ)求()f x 的最小值；
(Ⅱ)若不等式()()2f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最小值.
21．（本小题满分12分）
近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成1800件包裹的配送任务，该配送站有8名新手快递员和4名老快递员，但每天最多安排10人进行配送.已知每个新手快递员每天可配送240件包裹，日工资320元；每个老快递员每天可配送300件包裹，日工资520元.
(Ⅰ)求该配送站每天需支付快递员的总工资最小值；
(Ⅱ)该配送站规定:新手快递员某个月被评为“优秀”，则其下个月的日工资比这个月提高12%.那么新手快递员至少连续几个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员?
(参考数据: lg1.120.05≈，lg13 1.11≈，lg 20.30≈.) 22．（本小题满分10分）
已知函数()ln f x b x x =-的最大值为1e
，()2
2g x x ax =++的图象关于y 轴对称． (Ⅰ)求实数,a b 的值；
(Ⅱ)设()()()F x g x f x =+，是否存在区间[](),1,m n ?+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为[(2),(2)]k m k n ++？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: DBCAB 6-10: BDDCA 11、12：CA
二、填空题
13. -1或2 14.3
π
-
15. 9 16. 7
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由cos (2)cos b A c a B =-，得2cos cos cos c B b A a B =+. 由正弦定理可得2sin cos sin cos C B B A =+sin cos sin()sin A B A B C =+=. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =.因为0B π<<，所以3
B π=. (Ⅱ)
因为1
sin 2
S ac B =
=4ac =. 又2
2
2
2
132cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2
2
17a c +=， 所以1,4a c ==或 4,1a c ==. 则ABC ?
的周长为5
18.【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，因为11(1)
2(1)2
n
n n na d
S d a n n
n -+
==+-，
所以{
}n S n 为一个等差数列，所以201820172017120182
S S d
S -==，所以2d =， 故
()11n
S n n n
=+-=，所以2n S n =. (Ⅱ)
111
(1)1n n n n ==-
++， 所以111(1)()2
2
3
n T =-+-++ 1111(
)()11n n n n -+--+1111
n n n =-=++． 19.【解析】(Ⅰ) x x A x A A b a x f ωωωsin cos 3cos 1)(2+??
?
??+=?=
21cos 2A x A x ωω=++
=1cos 21sin 22x A A x ωω++?
1cos 2sin 222A A x A x ωω=+
++sin(2)162A A x πω=+++．
由题意得T π=，∴22π
πω
=，∴1ω=. 又函数()f x 的图象过点(30,2)，即0x =时，3
2
y =，
即3sin 1622A A π++=，解得1
2A =，
即15
()sin(2)264
f x x π=++．
(Ⅱ)()0f x t +>对任意[,]122x ππ∈恒成立，即()t f x -<对任意[,]122
x ππ
∈恒成立，
即求()f x 在[,]122
ππ
上的最小值．
∵
122x π
π≤≤
，∴
26x π
π≤≤，∴
72366
x π
π
π
≤+
≤
， ∴1sin(2)126x π-≤+≤，∴()714
f x ≤≤，
∴1t -<，∴1t >-，即t 的取值范围是(1,)-+∞． 20.【解析】(Ⅰ)方法一 由题意得2
222x
x x x λλ--+=+，∴1λ=，
∴()22x x f x -=+．设120x x ≤<， 则1
1
22
12()()22
(22
)x x x x f x f x ---=+-+211212
(22)(12)
022
x x x x x x +--=<， ∴12()()f x f x <，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数． 又()f x 为偶函数，∴()f x 在(),0-∞上是减函数． ∴当0x =时，()f x 取得最小值2. 方法二 ∵()()f x f x -=，即2
222x
x x x λλ--+=+， ∴1λ=，∴()12222
x x x
x f x -=+=+
． ∵20x
>，∴1
222x
x
+
≥， 当且仅当1
22x
x
=
，即0x =时，等号成立，∴()f x 的最小值为2. (Ⅱ)由条件知22(2)22
x
x
f x -=+=22(22)2[()]2x x f x -+-=-．
∵()()2f x f x m ≥-恒成立，
∴()(2)m f x f x ≥-=2
()[()]2f x f x -+．
由(Ⅰ)知()f x 的最小值为2，
∴()2f x =时，实数m 的最小值为2420-+=． 21.【解析】(Ⅰ)设安排新手快递员x 人，老快递员y 人，
则有1024030018000804,x y x y x y x y N +≤??+≥??≤≤??≤≤?∈??，即1045300804,x y x y x y x y N
+≤??+≥??≤≤??≤≤?∈??，
该配送站每天需支付快递员总工资为320520z x y =+. 作出可行域如图所示
.
作直线:3205200l x y '+=，平移可得到一组与l '平行的直线:320520l x y z '+=. 由题设,x y 是可行域内的整点的横、纵坐标.
在可行域内的整点中，点()8,0使z 取最小值，即当l 过点()8,0时，z 最小， 即min 83202560z =?=(元).
即该配送站每天需支付快递员的总工资最小值为2560元.
(Ⅱ)设新手快递员连续n 个月被评为“优秀”，日工资会超过老员工. 则由题意可得320 1.12520n
?>. 转化得52013
1.123208
n
>=，两边求对数可得lg1.12lg133lg 2n >-， 所以lg133lg 2lg1.12
n ->
≈
1.1130.30
4.20.05-?=，又因为*n N ∈，所以n 最小为
5. 即新手快递员至少连续5 个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员. 22.【解析】(Ⅰ) ∵()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1
x e
=
，
当1
(0,)x e
∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x e
∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
∴()f x 的极大值，也是最大值，为11()f b e e =+，∴11
b e e
+=，∴0b =．
又()()g x g x -=，∴0a =．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知()ln f x x x =-，()22g x x =+，则()2ln 2F x x x x =-+， ∴()2ln 1F x x x '=--，令()()x F x ω'=，则()1
20x x
ω'=->， ∴()1,x ?∈+∞，()F x '在()1,+∞上递增．
假设存在区间[](),1,m n ?+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是[(2),(2)]k m k n ++，
则()()()()
2
2ln 22ln 22F m m m m k m F n n n n k n ?=-+=+??=-+=+??， 问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞上是否存在两个不相等实根，即方程
2ln 22
x x x k x -+=+在区间()1,+∞上是否存在两个不相等实根，
令()2ln 22x x x h x x -+=+，()1,x ∈+∞，则()()()2122230
x x p x x x x
-+
'=+-=
>，()1,x ∈+∞，
故()p x 在()1,+∞上递增，故()1,x ?∈+∞，()()10p x p >=，即()0h x '>， 故()h x 在区间()1,+∞上递增，
故方程2ln 2
2
x x x k x -+=+在区间()1,+∞上不存在两个不相等实根，
综上，不存在区间[](),1,m n ?+∞使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是[(2),(2)]k m k ++．