求两条异面直线之间距离的两个公式
求两条异面直线之间距离的两个公式
王文彬
（抚州一中 江西 344000）
本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.
1.公式一
如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ?平面α，1l A α?=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ?=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为
d =
（1）
证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如
图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α，
NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知
2NH l ⊥.
在Rt BNH ?中
22cos ()cos BN BH AB AH θθ==-
12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得
212
22
12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221
22
12cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2） 从而
212
1122
12cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==?- 221
2222
12
cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==?- ()
()
2
2
2
2
2
4
22421
212122
2
2
1
2
cos sin
sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+=
+-
图1
()
()2
2
4242121122
2
2
1
2
sin
sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ=
+-
()
()2
22222121212
2
2
1
2
sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ=
?+-
()
()2
2222221212122
2
2221212sin sin sin sin sin sin sin
sin sin sin m θθθθθθθθθθ=
?+-+- 22212
2222
1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立.
运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线MN 具体位置.
2.公式二
如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ，
AH m =，则1l 与2l 之间的距离为
d = （2） 证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的 平面为δ，MN 为1l 与2l 公垂线，如图2所 示.
过M 作MK l ⊥于K ，连KN ，易知 NK l ⊥，AHNK 为矩形.
在Rt MNH ?中，
2222222cos MN MH NH AH AM AH AM AK α=-=+-?- 22222cos m AK MK m AM AK α=++-?- 222cos m MK m AM α=+-? 222cos sin MK
m MK m αθ
=+-?
? 由于1,MN l MN l ⊥⊥，故MN ⊥平面AMK ，从而090NMK ∠=.
22222MK NK MN m MN =-=-，代入上式并解出MN 就是公式（2）.
图2
另外，sin MK AM θ==
，将（2）代入得 2cos sin m AM α
θ
=
（2.1） 又cos HN AK AM θ==，将上式代入得
2cos cos sin m HN θαθ
= （2.2）
公式（1）（2）可以帮助我们定量地确定公垂线MN 的位置. 3.公式的应用
【例1】四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥底面AC ，2SD =，
,E F 分别是,SA BC 的中点，求异面直线EF 与BD 的距离，并确定公垂线的位置.
【解】取AD 的中点G ，连EG 、GF ，设 GF BD O ?=，因SD ⊥底面AC ，易知EG ⊥ 面AC ，EF 在底面内的射影为GF ，
00
1245,45EFG BOF θθ=∠==∠=，
12m OF ==
，代入公式（1）可得EF 与BD
的距离6
.
设EF 与BD 的公垂线为MN ，其中,M EF N BD ∈∈，
将12,θθ与m 的值代入公式（1.1）和（1.2）可分别求
得6FM =
，6
ON =，
而2
EF OB ==
11,63FM EF ON OB ==，由此不难作出公垂线MN .
【例2】如图4，111ABC A B C -是直三棱柱，其中0120ACB ∠=
，AC =
，CB =
1BB =1AB 与1CC 的距离，并确定公垂线的位置. 【
解
】
连
1
CB ，
则1
23)
C
==，22202cos12021AB AC BC AB BC =+-?=
，2222
1111
2149AB AA A B =+=+=，AC 与1AB 所成的角是1CAB ∠，设为α，则
22
21
1
1cos 2AB AC CB AB AC α+-=
=
? 又1AB 与1CC 所成的角为11A AB ∠，设为
θ
，则111sin 7
A B AB θ=
=
. A
B
C 1A
1
B
1
C
图4
A 图3
B
C
D S
G
F E O
根据公式（2），1AB 与1CC 的距离为
d AC ==
=设1AB 与1CC 的公垂线为MN ，11,M AB N CC ∈∈，易知,M N 分别在射线11,AB CC 上，且
2cos 2sin AC AM αθ?=
=
，2cos cos sin AC CN θαθ==
，
而117,AB CC ==，故有
1127
AM CN AB CC ==，由此不难确定公垂线MN 的位置.
求异面直线间距离的几种常用方法
求异面直线间距离的几种常用方法 1 辅助平面法 (1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度． 例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离． 解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE， ∴VC⊥平面AEB ∴VC⊥AB 取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE． ∴DE是异面直线AB与VC的公垂线． 分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了． 作VF⊥BC，则有
(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离． 例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离． 解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面 直线AB与A C之间的距离． (3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离． 例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
异面直线间的距离 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作
空间直线异面直线间距离的一个简明公式
异面直线间距离的一个简明公式 本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=
空间直线异面直线间的距离
空间直线（四）—异面直线间的距离 一、 教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线；（3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。 二、 教学重点、难点：异面直线间的距离。 三、 教学过程：1、复习： （1）异面直线的定 义： ； （2）两条异面直线所成的 角： ； ?当两条异面直线互相垂直 时 ； 两条异面直线所成的角的范围 是 ； 2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和1 1C B 所在的直线，直线11B A 直线1AA 和11D C 直线，直线 。 3 4 练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a . （1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为 ；它们的距离 是 ； （2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为 ；它们的距离 是 ； （3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为 ；它们的距离 是 ； [思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为 ；它们的距离 是 ； [例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15. （1） 求直线PA 、BC 间的距离； （2） 求直线PA 、BD 间的距离； （3） 求直线AD 与PC 所成角的余切值。 [例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。 求：AB 和CD 间的距离。 A B D C 1 P A B C D
练习（2）1、判断题； （1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（ ） （2）若b a ,是直线，βα,是平面， 且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（ ） （3）b c a c b a ⊥?⊥,//---------------------------------------------------------------（ ） （4）b a c b c a //,?⊥⊥--------------------------------------------------------------（ ） 2、填空题： （1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ； （2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为030，那么b 和c 所 成的角的大小为 ； （3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共 有 ； （4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的 两条所确定的平面共有 个。 3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32， 高是cm 2. （1） BC 和11C A 所成的角是多少度？ （2） 1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？ 作业： P 15 7、8 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1
求两条异面直线之间距离的两个公式
求两条异面直线之间距离的两个公式 王文彬 （抚州一中 江西 344000） 本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法. 1.公式一 如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ?平面α，1l A α?=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ?=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （1） 证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如 图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α， NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知 2NH l ⊥. 在Rt BNH ?中 22cos ()cos BN BH AB AH θθ==- 12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得 212 22 12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221 22 12 cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2） 图1
从而 212 1122 12cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==?- 221 222212 cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==?- () () 2 2 2 2 2 4 22421 212122 2 2 1 2 cos sin sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+= +- () () 2 2 4242 12112 2 2212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= +- () ()2 22222 121212 2 2 1 2 sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= ?+- () ()2 2222221212122 2 2221212sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin m θθθθθθθθθθ= ?+-+- 22212 2222 1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立. 运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线MN 具体位置. 2.公式二 如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ， AH m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （2） 证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的
立体几何——求异面直线距离
异面直线距离 一. 直接法 直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。 例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。 解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而 所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段 由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角 则∠DOE=45° 又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45° ∴D 1D=DB=2a ∵AA 1=D 1D ∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a
二. 间接法 间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。 （1）线面距离法 线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。 例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。 解：如图2所示，连结A1D 由AB//DC，得AB//平面A1DC 故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离 又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB 故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E 则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。 由AD AA A D AE ·· 11 = 可得AE=12 5 图2 （2）面面距离法 面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。 例3. 如图3所示，正方体ABCD A B C D - 1111 的棱长为1，求异面直线A1D与
利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离
第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离 一、 点到平面的距离 设A 是平面α外一点，B 是α内一点，n ρ 为α的一个法向量，则点A 到平面α的 距离n n AB d ρρ?= 例1、 如图，已知ABCD 是边长为4的正方形， E 、 F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD 且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。 例2、 在三棱锥S-ABC 中，ABC ?是边长为4的正三角形， 平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别是 AB 、SB 的中点。（04福建） （1）证明AC ⊥SB ； （2）求二面角N-CM-B 的大小； （3）求点B 到平面CMN 的距离。 练习：已知ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥平面ABCD 且PD=1，E 、F 分别是AB 、BC 的中点. (1) 求点D 到平面PEF 的距离； (2) 求直线AC 到平面PEF 的距离。 二、 异面直线间距离 设n ρ是异面直线a 、b 的公垂向量，C 为a 上任一点， D 为b 上任一点，则a 、b 间的距离n n CD d ρρ ?=. 例3、 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a. （1） 求异面直线BD 与B 1C 间的距离； （2） 求异面直线AA 1与BD 1间的距离。 三、 证线面平行 若a 是平面α外一直线，所在向量为a ρ，n ρ是α的一个法向量，若a ρ⊥n ρ ，则a ∥α. 例4、 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ， AC=3，BC=4，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 （1） 求证：AC ⊥BC 1； （2） 求证：AC 1∥平面CDB 1； （3） 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余 弦值。（05北京文） 作业：1、如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a. (1)求异面直线AA 1与B 1D 1间的距离； （2）求异面直线A 1B 与B 1D 1间的距离。 F E G D C B A N M S C B A P F E D C B A D 1 D C 1 C B 1 B A A 1 D 1 D C 1 C B 1 B A 1 A
求异面直线之间距离的常用策略
求异面直线之间距离的常用策略 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂 线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH=2a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 转化为线面距离 若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离 若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。 例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。 思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，
(完整版)异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的距离 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、 定义法 2、 垂直平面法（转化为线面距） 3、 转化为面面距 4、 代数求极值法 5、 公式法 6、 射影法 7、 向量法 8、 等积法 1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH= 2 a 。即异面 直线CD 与AE 间的距离为 2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、 b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ， 连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离 若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈
空间两异面直线距离的 若干求法
存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文 空间两异面直线距离的 若干求法 系别数学与信息科学系 届别 2014届 专业数学与应用数学 学号 1020151224 姓名刘禹伟 指导老师陈海莲 完成日期
目录 内容摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 1、引言 (2) 2、空间两异面直线的相关概念 (2) 2.1、空间两异面直线的概念 (2) 2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2) 3、求异面直线距离的常用方法 (3) 3.1、直接法 (3) 3.2、线面距离法 (4) 3.3、面面距离法 (4) 3.4、等体积法 (5) 4、求解异面直线间距离的其他方法 (6) 4.1、运用极值法 (6) 4.2、公式法 (7) 4.3、射影面积法 (9) 5、分析比较求解方法 (10) 6、结语 (11) 致谢 (12) 参考文献 (13)
内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。 关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何 Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face. Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry
高中数学异面直线距离(教师用)
求异面直线之间距离的常用方法 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 方法一、定义法也叫直接法， 根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。 该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。 若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ， 所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。 例2 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； (3)求EF 和AC 所成角的大小. (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 21 2，即EF =a 2 2. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 22. (3)过E 点作EG ∥AC 交BC 于G ，因为E 为AB 的中点，所以G 为BC 的中点.所以∠FEG 即为异面直线EF 和AC 所成的角. E 例2题图
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题).doc
v1.0可编辑可修改 异面直线间的距离 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。 常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线 距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离， 或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的 距离。 例 1 已知：边长 a 为的两个正方形ABCD和 CDEF成 1200 A B 的二面角，求异面直线CD与 AE间的距离。 H 思路分析：由四边形ABCD和 CDEF是正方形，得 D C CD⊥ AD， CD⊥ DE，即 CD⊥平面 ADE，过 D 作 DH⊥ A E 于 H， E F 可得 DH⊥ AE， DH⊥ CD，所以 DH是异面直 线AE、 CD的公垂 0 a 线。在⊿ ADE中，∠ ADE=120， AD=DE=a， DH= 。即异面直 2 线 CD与 AE间的距离为a 。2 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记 a/与 b 确定的平面α。从而，异面直线a、b 间的距离等于线面a、α间的距离。 1
v1.0可编辑可修改例 1 如图， BF、 AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两 个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、 AE间的距离。F C P A Gβ B α 思路分析： BF、 AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两 Q E HD 个面内，∠ EAB=α，∠ FAB=β， AB=d，在平面 Q内，过 B 作 BH‖ AE， 将异面直线 BF、AE间的距离转化为AE 与平面 BCD间的距离，即为 A 到平面 BCD间的距离，又因二面角 P-AB-Q 是直二面角，过 A 作 AC⊥ AB交 BF 于 C，即 AC⊥平面 ABD，过 A 作 AD⊥ BD交于 D，连结 CD。设 A 到平面 BCD的 距离为 h。由体积法 A-BCD C-ABD V=V，得 d sin sin h= cos2 1 cos2 3 转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、 b∈β。求 a、 b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。 例 3 已知：三棱锥S-ABC 中， SA=BC=13，SB=AC=14， SC=AB=15，求异面直线AS 与 BC 的距离。 思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子， 常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉 形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥 补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、 y、 z， S C S C A B B A x2 y2 AB2 152 则 y 2 z2 AC 2 142 z2 x2 BC2 132 2
异面直线上两点间的距离公式的应用
异面直线上两点间的距离公式的应用 异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。 一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得： ><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222 （1）其中θπθ-,或>= 两条异面直线所成的角和距离教案 北京师大二附中古永喜 教学目标 1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性； 2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题． 教学重点和难点 这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念． 教学设计过程 一、引入有关概念的必要性 师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念． （这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说） 例如a∥b， c∥d（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？ 生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同． 师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念． （这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说） 师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？ 生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同． 师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引 入有关“角”的概念． （这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察 后，得出相应的结论） 师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同． （这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察 后，得出相应的结论） 师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同． 师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角 和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义． 二、异面直线所成的角的定义 （教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义） 师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？ 生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角． 师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义． 如何求异面直线的距离 求异面直线距离方法： （1）（直接法）当公垂线段直接能作出时，直接求。此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键。 （2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,b距离，先作出过a且平行于b的平面α, 则b与α距离就是a,b距离。（线面转化法）也可以转化为过a平行b的平面和过b且平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离。 （3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。 （4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解。 两条异面直线间距离问题，教学大纲中要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其它解法，要适度接触，以开阔思路。 典型题目分析 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。 解法1：（直接法）取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点， 易证：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1， ∴MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证：MN=B1D=a。（如图1所示） 小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。 解法2：（转化法）∵AC//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于AC与平面A1C1B的距离， 在RtΔOBO1中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，如图2， ∵OB=a, OO1=a，∴O1B=，∴OE=a。 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离。 解法3：（转化法） ∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面A1C1B的距离，（如图3所示）， ∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分；∴所求距离为B1D=a。 小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。 解法4：（构造函数法）任取点Q∈BC1，作QR⊥BC于R点，作RK⊥AC于K点，如图4所示， 设RC=x，则OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2, 故QK的最小值，即AC与BC1的距离等于a。 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来 得到二异面直线之间的距离。 解法5：（体积桥法）当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距 离为h，则 ∵h·(a)2=·a·a2,∴h=a，即AC与BC1的距离为a。 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公 式求之。 立体几何中几类问题 在平面几何中，我们研究了平面图形及其性质，对于空间图形的问题，基本上无所接触。立体几何是研究空间图形及其性质的学科。 由于空间图形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而立体几何在生产实际、科学试验中有广泛的应用。 立体几何是在学习平面图形知识的基础上来研究空间图形。从平面到空间是观念上的一个飞跃，同学要从平面跳入空间，困难很多，怎样完成这个飞跃呢？要注意两点： （1）充分发挥教具或用具的作用，逐步培养和训练同学们的空间想象能力，建立立体感。 （2）善于运用“转化”的思维方法——空间图形转化为平面图形，平面图形转化为空间图形，不规则的空间图形转化为规则的空间图形，并注意掌握具体的转化方法。 一、平面问题 1．正确理解公理及推论中的意义 向量法求异面直线的距离解法探求 空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。 如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。 一、 定义法： 例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二面角，且 正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ，EF 的中点，求异 面直线BD 与EF 的距离。 解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。显然AF AD ,的夹 角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900，AD AF AB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2 121)()(212121-=+-+-=++=++= EF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=?-?=?-=?⊥⊥∴=+--=?+?--?=-?-=?∴即又即）（,021)2 1(.,,0002160cos 2 121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。 ,2 3||434160cos 41)21(||2202222222a a a a a ==+-=+?-=-== 异面直线BD 与EF 的距离为a 2 3。 点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。然后利用向量 模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。 二、射影法： 分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的 法向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模设为d ，从而由公式d = 例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距离。 解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则B （a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则)3,,(),0,0,(a a a PC a AB -==， 设PC AB ,的公垂线的方向向量为),,(z y x n =由 ? ??==??????=-+=?==?z y x az ay ax PC n ax AB n 30030，不妨令x=0,y=1,z=3则有)3,1,0(=n ，又)3,0,0(a AP =，∴AB 与PC 间的距离为：a a d 1010910 9===。 点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利 用待定系数法确定公垂线的方向向量n 。 浅议异面直线距离求解方法 638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建 求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。 题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。 一、利用定义求异面直线的距离 利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。 解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E ∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE 又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A '' 因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离. 在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '?='?可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离 利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系. 可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D 设),,1(μλ=n 且0,0='?=?A D n n 即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，两条异面直线所成地角和距离教案设计讲解
如何求异面直线的距离
向量法求异面直线的距离解法探求
异面直线距离求解方法