初三专题复习+中考代数式、整式与分式复习+

代数式、整式

一、概念

1.代数式

用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.单项式 数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式. (1)单独的一个数或一个字母也是单项式. (2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 3.多项式 几个单项式的和叫做多项式.

(1)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项. (2)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数. 4.整式 单项式和多项式统称整式.

5.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，常数项也是同类项. 二、基本运算法则 1.整式加减法法则

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项. 2.合并同类项法则 合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变. 3．同底数幂的相乘

a

a a

n

m n m

+=?（m 、n 都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 4．幂的乘方 a a

mn

n

m =)(

（m 、n 都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

5、积的乘方：n

n

n

b a ab ?=)( （n 为正整数）

积是乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把幂相乘。

知识梳理

6、乘法公式

平方差公式:22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±

三、因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分

解为止．

（1） 提公因式法：=++mc mb ma . （2）公式法: ⑴ =-2

2

b a ⑵ =++2

2

2b ab a ， ⑶=+-22

2b ab a .

（3）十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 ． 因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

（

注意咯，下面可是黄金部分！）

例1、)5.0()2()4

1(54322

b a ab b a -÷-?

变式1、)(5)2

1(22

222

ab b a a b ab a -++-

例2、)2)(2(2))(2()2(2

b a b a b a b a b a +--+--+，其中2,2

1

-==

b a .

变式2、[]y y y x y x y x 25)3)(()(2

2

÷-++-+，其中2

12=

-=y x ，

知识 典例

例3、（佛山中考题）上数学课时，老题提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样的 数？”请你解答这个问题．

变式3、（佛山中考题）对于任意的正整数n ，所有形如n n n 232

3++的数的最大公约数是什么？

例4、（佛山中考题）阅读材料：把形如2

ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±．

例如：2

2

(1)3(2)2x x x -+-+、、2

213224

x x ??-+ ???是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出2

42x x -+三种不同形式的配方； （2）将2

2

a a

b b ++配方(至少两种形式)；

（3）已知2

2

2

3240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．

．

变式4、（佛山中考题）教材或资料出现这样的题目：把方程22

12=-x x 化为一元二次方程的一般形式，并写

出它的二次项系数，一次项系数和常数项。现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题： （1）下面式子中有哪些是方程22

12=-x x 化为一元二次方程的一般形式？（只填写序号）

①02212=--x x ，②02212=++-x x ，③422=-x x ，④0422=++-x x ⑤0343232=--x x

（2）方程22

12=-x x 化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有上面

关系？

强化训练：

1、若2n x y -与23yx 是同类项，则n 的值是（ ） Ａ．1-

Ｂ．3

Ｃ．1

Ｄ．2

2、化简()m n m n --+的结果是( )．

A ．0

B ．2m

C ．2n -

D ．22m n -

3、若0a >且2x a =，3y a =，则x y

a -的值为（ ）

A ．1-

B ．1

C ．

23

D ．

32

4、计算：=--)2)(2(b a b a .

5、数学上一般把n a a a a a

个···…·记为( )

A ．na

B ．n a +

C ．n a

D ．a

n 6、多项式2

1xy xy -+的次数及最高次数的系数是（ ） A 、2,1 B 、2，-1 C 、3,-1 D 、5，-1 7

、

分

解

因

式

：

2

2xy y x -=

321

4

x x x +-= ． 33222ax y axy ax y +-= ．

=++2

2363b ab a ．

8、在○14

2

a a ?；○223

()a -；○3122a a ÷；○423a a ?中，计算结果为6

a 的个 数是（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

9、计算()

4

323b a --的结果是( ) Ａ.12881b a

B.7612b a

C.7612b a -

D.12881b a -

10、若2

320a a --=，则2

526a a +-= ．

11、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++； ③2

2

2

a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )

A ．①②

B ．①③

C ． ②③

D ．①②③ 12、若的值为则2y -x 2,54,32==y x

（A ）

53 （B ）-2（C ）553 （D ）5

6

13、图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．

-

14、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

课后作业

1、计算：3

2()x x -=· ． 2、下列四个算式中，正确的个数有（ ） ①4

3

12

a a a =·

②5510

a a a +=

③55

a a a ÷=

④336

()a a =

图

6

(1)

(2)

(3)

……

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个

3、代数式 -12 x, 1π ，2xy, 1x ,1-2y,2x-1

3

中是单项式的有（ ）

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

4、下列计算错误的是：（ ）

①、（2x+y ）2

=4x 2

+y 2

②、(3b-a)2

=9b 2

-a 2

③、(-3b-a)(a-3b)=a 2

-9b 2

④、（-x-y ）2=x 2-2xy+y 2

⑤、(x--12 )2=x 2-2x+14

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个 5、式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）.

A ．()()11x x ++

B ．)2

1)(21(a b b a -+ C ．()()a b a b -+- D ．()()2

2

x y

y

x -+

6、如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0

的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．

7、已知92

++ax x 是完全平方式，则a 的值是（ ） A 、3± B 、6- C 、6 D 、6±

8、单项式5

48

ab π-的系数是 ；

9、已知2×8m

=42m

求m= 10、20152014

0.254

?= 。

11、若10m n +=，24mn =，则2

2

m n += 。 12、先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．

13、已知2

514x x -=，求()()()2

12111x x x ---++的值

第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形

6题图

分式

1、分式的概念、有无意义或等于零的条件

(1) 概念：形如，且A 、B 为整式，B 中含字母。

(2) 分式有意义的条件：分母不等于零； (3) 分式无意义的条件：分母等于零；

(4) 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。（在分式有意义的前提下，才可讨论分式值为零） ★说明：(1) 分式中的分母必须含有字母，但作为分子的整式不一定含有字母；(2) 分式值为零，则分子为零，分母不为零。二者缺一不可；(3) 分式无意义，则分母为零。 2、分式的基本性质、约分、最简分式

基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，符号表示：

(其中A ，B ，M 是整式，且M ≠0)。

约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形，称为约分。

★说明：(1) 约分的依据是分式的基本性质；(2) 如果分式的分子和分母是多项式，要先对多项式分解因式，然后再约分；(3) 约分一定要彻底，化成最简分式(在分式化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。)。 3、分式的乘除法

分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

分式的乘方：分式的乘方，等于把分子和分母分别乘方，式子表示为：（n 为正整数）。

★说明：(1) 当分式的分子，分母为多项式时，要先分解因式，再进行分式的乘除运算；(2) 进行分式的乘除混合运算时，一定要按从左到右的顺序进行；(3) 分式乘除运算的结果必须为最简分式或整式，并注意其结果的正负性。

知识梳理

4、分式的加减法则

(1) 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，最后化简为最简分式。

(2) 异分母分式相加减，先通分（确定分式的最简公分母），然后再按同分母分式相加减的法则进行。 5 、分式的加、减、乘、除混合运算

分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的。

（

注意咯，下面可是黄金部分！）

例1、代数式21,,,13x x a

x x x π+

中，分式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

变式1、 当x 时，分式422--x x 有意义。 当x 时，分式1

8

72---x x x 的值为零。

当x 时，分式x

x 61212

-+的值为负数。 当x 时，分式x x 322-的值为－1。

例2、(2012年安徽)化简x 2x －1＋x

1－x

的结果是( )

A ．x ＋1

B ．x －1

C ．－x

D ．X

变式2、化简：22

2211

1x x x x x x

-+-÷-+

例3：已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1

x 2的值．

变式3、(2011年湖南邵阳)已知1x －1＝1，求2x －1

＋x －1的值．

知识 典例

例4、先化简，再求值： 211(1)22

a a a --÷++，其中2a =。

例5、先化简

1

1112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值，再求此时原式的值．

变式4、先化简，再求值：22224242x x x x x x --??

÷-- ?-+??

，其中2x =

变式5、先化简，再求值：222

4124422a a a a a a

??--÷ ?-+--??，其中a 是方程2

310x x ++=的根．

强化训练

1．若分式x －1

(x －1)(x －2)

有意义，则x 应满足的条件是( )

A ．x ≠1

B ．x ≠2

C ．x ≠1，且x ≠2

D ．以上结果都不对 2．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：

(1)2ab ＝( )

2xa 2b 2； (2)a 3－ab 2(a －b )2＝a ( )a －b . 3．若分式x －8x 的值为0，则x 的值等于________．

4．约分：56x 3yz 4

48x 5y 2z ＝________；x 2－9x 2－2x －3＝________.

5．已知a －b a ＋b ＝15

，则a

b ＝________.

6．当x ＝_______时，分式x 2－2x －3

x －3的值为零.

7．计算：1x －1－x

x 2－1.

8．先化简，再求值：????1＋1x －1÷x

x 2－1，其中x ＝－4.

9．先化简，再求值：????x x －1－1

x 2－x ÷

(x ＋1)，其中x ＝ 2.

10．先化简，再求值：a 2－4a －3·??

??1－1a －2，其中a ＝－3.

11．先化简，再求值：x 2＋y 2x －y ＋2xy

y －x

，其中x ＝3＋2，y ＝3－ 2.

12．先化简，再求值：????3x x －1－x x ＋1·

x 2

－1

x ，其中x ＝2－2.

13．先化简，再求值：? ????1x ＋1＋x 2

－2x ＋1x 2－1÷x －1x ＋1，其中x ＝2.

14．先化简，再求值：? ????x －1x －

x －2x ＋1÷2x 2

－x x 2＋2x ＋1

，其中x 满足x 2－x －1＝0.

课后练习

一、填空题： 1、要使分式23

x

x -有意义，则x 须满足的条件为 ． 2、计算：

①x x ---11

2＝ 。 ②23

2

x y x y y x ÷??? ??-????

? ??-＝ 。 ③m n n n m m -+-22＝ 。 ④11

1

2+--+a a a ＝ 。 3、已知

311=-y x 。则分式y

xy x y xy x ---+2232的值为 。 4、若x ＜0，则

3

1

31--

-x x ＝ 。 5、若分式

1

-x x

的值是整数，则整数x 的值是 。 6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值：112

223+----x x x

x x x ＝ 。 7、已知分式方程k x k

=++1

31无解，则k 的值是 ．

二、选择题：

1、在代数式13+x x 、2

12+-x 、2

3y x -、23+-a b a 、112--x x 、πa 中，分式的个数是（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

2、对于非零的两个实数a 、b ，规定11

a b b a

⊕=

-.若1(1)1x ⊕+=则x 的值为（ ） A. 23 B. 1 C. 21- D. 2

1

3、若解方程3

33-=-x m x x 出现增根，则m 的值为( ) A ． 0 B ．－1 C ．3 D ．1 4、如果

x y ＝3，则x y y

+等于 A ．

4

3

B ．xy

C ．4

D ．x y

5、化简2

11a a a ---的结果是( )

A .11a - B.－11a - C.211a a +- D.21

1

a a a ---

三、解答题：

1、??? ??--+÷--25223x x x x

2、2

111112842

22-+???? ??-+-+-÷---a a a a a a a a a a

3、先化简，再求值：2

21

42

a a a ---，其中2a =-

4、化简求值 3121

11112

2-=+--÷+--+-x x x x x x ，其中

5、先化简，再求值：? ????a －1a 2－4a ＋4－a ＋2a 2－2a ÷? ??

??4a －1，其中a ＝2－ 3.

6、计算：先化简代数式：1

)1111(

2

-÷+--x x

x x ，再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x 的值，代入求出代数式的值。

7、已知13+=x ，求x

x x x x x x 112122

÷?

?? ??+---+的值．

8、已知2012x =，求代数式6931x x x x -????

-÷- ? ?????

的值．