《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】2.1.1(二)

2.1.1 合情推理(二)

一、基础过关

1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高

2，可推知扇形面积公

式S 扇＝________.

2．下列推理正确的是________．(填序号)

①把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ； ②把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin (x ＋y )＝sin x ＋sin y ； ③把a (b ＋c )与a x ＋

y 类比，则有a x ＋

y ＝a x ＋a y ；

④把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.

4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是________． ①b 4＋b 8>b 5＋b 7； ②b 5＋b 7>b 4＋b 8； ③b 4＋b 7>b 5＋b 8； ④b 4＋b 5>b 7＋b 8.

5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ，y )的坐标公式???

x ＝x 1

＋x 2＋x 3

3y ＝y 1

＋y 2

＋y

3

3

(其中A (x 1，

y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．

6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40

－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有______________________． 二、能力提升

7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号)

①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．

8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质 中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．

9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于 P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点

坐标为(p k 2＋p ，p

k )，请你写出弦MN 的中点坐标：________.

10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中

一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2

4

.类比到空间，有

两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB

＝P A ′P A ·PB ′

PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证

明你的结论．

12．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为

角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

三、探究与拓展

13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有

1AD 2＝1AB 2＋1

AC 2

成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．

答案

1.1

2lr 2.④ 3．①②④ 4．①

5.?????

x ＝

x 1＋x 2＋x 3＋x 4

4

y ＝

y 1

＋y 2

＋y 3

＋y 4

4

z ＝z 1

＋z 2

＋z 3

＋z 4

4

6.

T 20T 10，T 30T 20，T 40

T 30

也成等比数列，且公比为q 100 7．② 8．①②③ 9．(pk 2＋p ，－pk ) 10.a 38

11.

解 类比S △P A ′B ′S △P AB

＝P A ′P A ·PB ′

PB ，

有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC

证明：如图：设C ′，C 到平面P AB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC

， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △P A ′B ′·h ′

1

3S P AB

·h

＝P A ′·PB ′·h ′P A ·PB ·h ＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ′·PC

.

12．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 13．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD . 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1

AD

2.猜想正确． 如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .

∵AB⊥AC，AB⊥AD，

∴AB⊥平面ACD.

而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，

∴

1

AE2＝

1

AB2＋

1

AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

∴

1

AF2＝

1

AC2＋

1

AD2.

∴

1

AE2＝

1

AB2＋

1

AC2＋

1

AD2，故猜想正确.