离散数学第一章习题解答,屈婉玲耿素云高等教育出版社
习题一
1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？
（1）中国有四大发明.
答：此命题是简单命题，其真值为1.
（2）5是无理数.
答：此命题是简单命题，其真值为1.
（3）3是素数或4是素数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.
x+<
（4）235
答：不是命题.
（5）你去图书馆吗？
答：不是命题.
（6）2与3是偶数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.
（7）刘红与魏新是同学.
答：此命题是简单命题，其真值还不知道.
（8）这朵玫瑰花多美丽呀！
答：不是命题.
（9）吸烟请到吸烟室去！
答：不是命题.
（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.
答：此命题是简单命题，其真值为1.
（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.
（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.
（13）2008年元旦下大雪.
答：此命题是简单命题，其真值还不知道.
2.将上题中是简单命题的命题符号化.
解:（1）p：中国有四大发明.
（2）p:错误！未找到引用源。是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学.
（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.
（13）p:2008年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5是有理数.
答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
（2）25不是无理数.
答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1.
（3）2.5是自然数.
答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.
（4）ln1是整数.
答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.
4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数
答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.
（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.
答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.
答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数.
答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.
答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.
（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.
答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1.
(5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化.
（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化
答:列出两种符号化的真值表：
p q
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.
8.将下列命题符号化,并指出真值.
（1）只要错误！未找到引用源。,就有错误！未找到引用源。；
（2）如果错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。；
（3）只有错误！未找到引用源。,才有错误！未找到引用源。；
（4）除非错误！未找到引用源。,才有错误！未找到引用源。；
（5）除非错误！未找到引用源。,否则错误！未找到引用源。；
（6）错误！未找到引用源。仅当错误！未找到引用源。.
答:设p:错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。:错误！未找到引用源。;设q:错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。:错误！未找到引用源。.
符号化真值（1） 1
（2） 1
（3）0
（4）0
（5）0
（6） 1
9.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）错误！未找到引用源。；
（2）错误！未找到引用源。；；
（3）错误！未找到引用源。；
（4）错误！未找到引用源。；
（5）错误！未找到引用源。；
（6）错误！未找到引用源。；
（7）错误！未找到引用源。.
答:根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1
（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0
（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1
（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 1
（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 1
（6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0
（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球 1
10．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）错误！未找到引用源。；
（2）错误！未找到引用源。；
（3）错误！未找到引用源。；
（4）错误！未找到引用源。.
答:根据题意,p为真命题,q为假命题.
自然语言真值（1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0
（2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1
（3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1
（4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻0
11．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：
（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；
（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；
（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；
（4）若地球上没有水,则错误！未找到引用源。是无理数.
答:
命题1 命题2 符号化真值（1）p:2+2=4 q:地球是静止不动的0
（2）p:2+2=4 q:地球是静止不动的 1 （3）p:地球上有树木q:人类能生存 1 （4）p:地球上有树木q:人类能生存 1
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：
（1）2+2=4当且仅当3+3=6；
（2）2+2=4的充要条件是3+3错误！未找到引用源。6；
（3）2+2错误！未找到引用源。4与3+3=6互为充要条件；
（4）若2+2错误！未找到引用源。4,则3+3错误！未找到引用源。6,反之亦然.
答:设p:2+2=4,q:3+3=6.
符号化真值
(1) 1
(2) 0
(3) 0
(4) 1
13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：
（1）若今天是星期一,则明天是星期二；
（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；
（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；
（4）若今天是星期一,则明天是星期三.
答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.
符号化真值讨论
(1) 不会出现前句为真,后句为假的情况
(2) 不会出现前句为真,后句为假的情况
(3) 必然为1
(4) 若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1
14.将下列命题符号化：
（1）刘晓月跑得快,跳得高；
（2）老王是山东人或者河北人；
（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；
（4）王欢与李乐组成一个小组；
（5）李欣与李末是兄弟；
（6）王强与刘威都学过法语；
（7）他一面吃饭,一面听音乐；
（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；
（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；
（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；
（11）下雪路滑,他迟到了；
（12）2与4都是素数,这是不对的；
（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.
答:
命题1 命题2 命题3 符号化
(1) p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-
(2) p:老王是山东人q:老王是河北人-
(3) p:天气冷q:我穿羽绒服-
(4) p:王欢与李乐组成- - p:王欢与李乐组成一个
一个小组小组
(5) p:李辛与李末是兄
弟
- - p:李辛与李末是兄弟
(6) p:王强学过法语q:刘威学过法语-
(7) p:他吃饭q:他听音乐-
(8) p:天下大雨q:他乘车上班-
(9) p:天下大雨q:他乘车上班-
(10) p:天下大雨q:他乘车上班-
(11) p:下雪q:路滑r:他迟到了
(12) p:2是素数q:4是素数-
(13) p:2是素数q:4是素数-
15.设p：2+3=5.
q：大熊猫产在中国.
r:太阳从西方升起.
求下列符合命题的真值：
（1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.
（1）0，（2）0，（3）0，（4）1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：
（1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）1
17.判断下面一段论述是否为真：“错误！未找到引用源。是无理数.并且,如果3是无理数,则错误！未找到引用源。也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
解：p:错误！未找到引用源。是无理数q: 3是无理数r:错误！未找到引用源。是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除
符号化为:错误！未找到引用源。，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”
解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
错误！未找到引用源。真值为1.错误！未找到引用源。真值为0.可得，p真值为1，q真值为0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。p错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
（5）错误！未找到引用源。
（6）错误！未找到引用源。
（7）错误！未找到引用源。.
解：
（1）
p q r
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
此式为重言式
（2）
p q （p错误！未找到引用源。
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
此式为可满足式
（3）
q r
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
此式为矛盾式
（4）
p q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1
此式为重言式
（5）
p q r
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 此式为可满足式
（6）
p q r
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
此式为重言式
（7）
p q r s
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值：
（1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
解：
p q
0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1
由真值表得：（1）的成真赋值是01，10,11（2）的成真赋值是00，10,11 （3）的成真赋值是00，01,10 （4）的成真赋值是01，10,11
21.求下列各公式的成假赋值：
（1）错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。
（3）错误！未找到引用源。
解：
p q r
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
由真值表得：（1）的成假赋值是011 （2）的成假赋值是010,110
（3）的成假赋值是100,101
22.已知公式错误！未找到引用源。是矛盾式，求公式错误！未找到引用源。成真和成假赋值.
解：∵错误！未找到引用源。是矛盾式∴错误！未找到引用源。也是矛盾式。
由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式错误！未找到引用源。是重言式,求公式错误！未找到引用源。的成真和成假赋值.
解：∵错误！未找到引用源。是重言式，∴错误！未找到引用源。也是重言式。
由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,111
24.已知错误！未找到引用源。是重言式，试判断公式错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。的类型.
解：∵错误！未找到引用源。是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11，∴错误！未找到引用源。都是重言式。
25.已知错误！未找到引用源。是矛盾式，试判断公式错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。的类型.
解：∵错误！未找到引用源。是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00，∴错误！未找到引用源。都是重言式。
26.已知错误！未找到引用源。是重言式，错误！未找到引用源。是矛盾式，试判断错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。的类型.
解：错误！未找到引用源。是矛盾式。
错误！未找到引用源。是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,证明:错误！未找到引用源。是重言式当且仅当A和B都是重言式.
解：
A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
由真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，错误！未找到引用源。是重言式。
28. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,已知错误！未找到引用源。是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的结论吗?为什么?
解：
A B
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
1
1
同样由真值表可得，错误！未找到引用源。的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A 和B 都是矛盾式。
29. 设A 、B 都是含命题变量项p 1,p 2,…,p n 的公式,证明:错误！未找到引用源。是矛盾式当且仅当A 和B 都是矛盾式. 解： A B
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
1
1
由真值表可得，当且仅当A 和B 都是矛盾式时，错误！未找到引用源。是矛盾式。
30. 设A 、B 都是含命题变量项p 1,p 2,…,p n 的公式,已知错误！未找到引用源。是重言式,能得出A 和B 都是重言式的结论吗? 解： A B
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
1
1
由真值表可得错误！未找到引用源。的成真赋值有01,10，11.所以无法得到A 和B 都是重言式。
习 题 二
1.设公式A p q =→,B p q =∧?，用真值表验证公式A 和B 适合德摩根律： ()A B A B ?∨??∧?
p q
A
B
()A B ?∨
A B ?∧?
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1
2.公式A 和B 同题（1），用真值表验证公式A 和B 适合蕴涵等值式.
A B A B →??∨
p q A
B A B →
A B ?∨
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
1
3．用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出
成真赋值.
（1）()p q q ?∧→ 答：原式=(())p q q ??∧∨ =()p q q ??∨?∨ = 0 是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
（1）p p q p q ?∧∨∧?（）（） 答：右式=p q q ∧∨?（）=1p ∧=p
（2）(()())(())p q p r p q r →∧→?→∧
答：右式=()p q r ?∨∧=()()p q p r ?∨∧?∨=()())p q p r →∧→=左式 （3）()()()p q p q p q ???∨∧?∧ 答：左式=()()p q p q ??∨∨?∨?
=(())(())p p q q p q ∨?∧∧?∨?∧ =()()p q p q ∨∧?∧
（4）()()()()p q p q p q p q ∧?∨?∧?∨∧?∧
答：左式=(())(())p p q q p q ∨?∧∧?∨?∧ =()()p q p q ∨∧?∧
5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （1）)()(p q q p ∨?→→? 答：
023
()()()()()()()(())(()()()()p q q p p q q p p q q p p q q p p p q q p q p p p q m m m ?→→?∨=∨→?∨=?∨∨?∨=?∧?∨?∧∨?∨∧∨?=∧∨∨?∨?∧?=∨∨ 成真赋值为00,10,11. （2）r q q p ∧∧→?)(
答：()()0p q q r p q q r p q q ?→∧∧=??∨∧∧=∧?∧∧= 所以为矛盾式。
（3）(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 答
(())()(())()(())()(())()()()()(()(())(()())(()())(()())
()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q p r p q r p q r r p q q r p q q r r p p q r r p p q q r p q r p ∨∧→∨∨=?∨∧∨∨∨=?∧?∧∨∨∨=?∧?∨?∨∨∨=?∧?∨?∧?∨∨∨=?∧?∧∨?∨?∧∨?∧?∨∧∨?∧∨?∨∨?∧∧∨?∨∨?∧∨?∧=?∧?∧∨?∧?01234567
)()()()()()()q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m m m m ∧?∨?∧∧?∨∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?∨?∧∧=∨∨∨∨∨∨∨所以是重言式，真值为000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （1）p p q ?∧?→?)(
答：()()0q p p q p p q p p ?→?∧?=??∨?∧?=∧∧?=，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。
（2）)()(r p q p ∨?∨∧
答：4()()()()()p q p r p p r q p r p q r M ∧∨?∨=∨?∨∧∨?∨=?∨∨=，成假赋值为100.
（3）r q p p ∨∨→))((
答：(())(())(1p p q r p p q r p p q r →∨∨=?∨∨∨=?∨∨∨=，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）r q p ∨∧)(
答：()(())(()())p q r p q r r p p q q r ∧∨=∧∧∨?∨∨?∧∨?∧
13567024
(())(()())
()()()()()p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M =∧∧∨?∨∨?∧∨?∧=∧∧∨∧∧?∨∧?∧∨?∧∧∨?∧?∧=∨∨∨∨=∧∧ （2）)()(r q q p →∧→ 答：
01372456
()()()()()()()()(())(())(())()()()()p q q r p q q r p q p r q q q r p q r r p q q r p p q r p q r p q r p q r p q r m m m m M M M M →∧→=?∨∧?∨=?∧?∨?∧∨∧?∨∧=?∧?∧∨?∨?∧∨?∧∨∨?∧∧=?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧∨∧∧=∨∨∨=∨∨∨
8.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式： （1）q q p →∧)(
答：0123()()1p q q p q q p q q m m m m ∧→=?∧∨=?∨?∨==∨∨∨ 为重言式。
（2）()p q r ?→
答：()(()())(()())p q r p q p q r p q p q r ?→=?∧∨?∧?∨=?∧∧??∧?∨
06123457
(()())()()p q p q r p q r p q r M M m m m m m m =?∨?∧∨∨=?∨?∨∧∨∨=∧=∨∨∨∨∨ （3）()r p p q ?→∧∧
答：()r p p q r p p q ?→∧∧=∧?∧∧
01234567M M M M M M M M =∧∧∧∧∧∧∧ 0=
因此为矛盾式.
9.用真值表求下面的公式的主析取范式. （1）()()p q p r ∨∨?∧ 答：公式的真值表如下：
p
q r
p ? p q ∨ p r ?∧
()()
p q p r ∨∨?∧ 0 0 0 1 0 0 0 0
1
1
1
1
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1
1
1
其成真赋值为001,010,011,100,101,110,111，所以其主析取范式为
1234567m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨
（2）()()p q p q →→?? 答：公式的真值表如下：
p q q ? p q →
p q ??
()()p q p q →→??
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
1
1
()()()(()())p q p q p q p q p q →→??=∧?∨?∨?∧∨
()()p q p q =?∧∨∧? 故其成真赋值为001，010. 所以其主析取范式为12m m ∨. 10.用真值表求下面公式的主合取范式. （1）()p q r ∧∨
答：()()()p q r p r q r ∧∨=∨∧∨ 024M M M =∧∧ （2）()()p q q r →∧→
答：()()()()p q q r p q q r →∧→=?∨∧?∨ 2456
M M M M =∧∧∧ 11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式. （1）()p q r ∨∧ （2）()p p q r →∨∨ （3）()q p p ?→?∧?
p q r
()p q r ∨∧
()p p q r →∨∨ ()q p p ?→?∧?
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1
1
答：（1）由真值表可得成真赋值为011,101,111，故主析取范式为357m m m ∨∨，主合取范式为01246M M M M M ∧∧∧∧
（2）由真值表可得无成假赋值，故主析取范式为
01234567m m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨∨，主合取范式为1.
（3）由真值表可得无成真赋值，故主析取范式为0，主合取范式为
0123M M M M ∧∧∧.
12.已知公式A 含3个命题变项,,p q r ，并且它的成真赋值为000，011，110，求A 的主合取范式和主析取范式.
答：由题意得，A 的主主合取范式为12457M M M M M ∧∧∧∧，主析取范式
036m m m ∨∨.
13. 已知公式A 含3个命题变项,,p q r ，并且它的成真赋值为000，011，110，求A 的主合取范式和主析取范式.
答：由题意得，A 的主主合取范式为2367M M M M ∧∧∧，主析取范式
0157m m m m ∨∨∨.
14.已知公式A 含n 个命题变相12,,......,n p p p ，并且无成假赋值，求A 的主合取范式. 答：A 的主合取范式为1..
15.用主析取范式判断下列公式是否等值： （1）()p q r →→与()q p r →→ 答：()()p q r p q r →→=∧?∨
13457m m m m m =∨∨∨∨
()q p r p q r →→=?∨?∨
012345m m m m m m m =∨∨∨∨∨∨ 所以上述公式不等值. （2）()p q ?∧与()p q ?∨ 答：()p q p q ?∧=?∨? 012m m m =∨∨ ()p q p q ?∨=?∧? 0m =
16.用主合取范式判断下列公式是否等值. （1）()p q r →→与()p q r ?∧∨ 答：6()p q r M →→= 6()=p q r M ?∧∨
（2）()p q r →→与()p q r →→ 答：6()p q r M →→=
026
()=p q r M M M →→∧∧ 17.将下列公式化成与之等值且仅含{},,?∧∨中联结词的公式： （1）((()))p q q r ?→?∧
答：((()))((()))p q q r p q q r ?→?∧=??∨?∧ (())p q r =∧??∧
((())(()))p q q r q q r =∧??∨∧∧∨?∧ （2）()p q r ∧∨?
答：()p q r ∧∨?，原式已满足题目要求. （3）()p q r ??
答：()(())(())p q r p q r r p ??=→?∧?→
((()()))((()()))p q r q r q r q r p =?∨?∨∧∨?∧??∨∧∨?∨ 18.将下列公式化成与之等值且仅含{,}?∧中联结词的公式： （1）p q r ∧?∧?
答：此公式已经符合题目要求. （2）()p r q ?∧
答：()(()())p r q p r r p q ?∧=→∧→∧ (()())p r r p q =?∨∧?∨∧ (()())p r r p q =?∧?∧?∧?∧ （3）(())p q r q →∧∨
答：(())(())p q r q p q r p →∧∨=?∨∧∨ (())p q r p =?∧?∧∨ ((()))p q r p =?∧?∧∧?
19.将下列公式化成与之等值且仅含{},?∨中联结词的公式. （1）()p q r ?∨?∧
答：()(())p q r p q r ?∨?∧=???∨?∨? （2）(())p q p q r →∧?∧∧
答：(())((()))p q p q r p q p q r →∧?∧∧=???∨??∨∨?∨?
（3）p q r ∧∧?
答：()p q r p q r ∧∧?=??∨?∨
20．将下列公式化成与之等值且仅含{→?，}中联结词的公式： （1）r q p ∨∧)(（2）r q p ∧?→)(（3）r q p ?∧)(
答：()()()()p q r p q r p q r p q r ∧∨???∨?∨??→?∨?→?→ (2)()p q r →?∧
答：()(())(())p q r p q r p q r →?∧???→?∨???→?→? (3)()p q r ∧?
答：()(())(())p q r p q r r p q ∧????∨?→∧→??∨?
((())(()))p q r r p q ?????∨?→∨?→??∨? ((())(()))p q r r p q ???→?→→?→?→?
21．证明：
（1）).()()()(p q q p p q q p ↓?↓↑?↑，
（2）).)(())(())(())((r q p r q p r q p r q p ↓↓?↓↓↑↑?↑↑， 证明：(1)()()p q p q q p q p ↑??∧??∧?↑；
()()p q p q q p q p ↓??∨??∨?↓
(2)令0,0,1p q r ===则
()1,()0()1,()0.p q r p q r p q r p q r ↑↑=↑↑=↓↓=↓↓=，，可知(())(())(())(()).p q r p q r p q r p q r ↑↑?↑↑↓↓?↓↓，
22.从表2.6中，找出与下列公式等值的真值函数： （1）q p ↑
（2）q p ↓
（3）)()(q p q p ∧?∨?∧ （4）)(q p →?
答：(2)(2)(2)(2)14862(1);(2);(3);(4)F F F F
23．设A 、B 、C 为任意的命题公式，证明： （1）等值关系有自反性：A A ?
（2）等值关系有对称性：A B B A ??则若,
（3）等值关系有传递性：C A C B B A ???，则且若
答：(1)()()1A A A A A A A A A A ??→∧→?→??∨?
(2)()()()()B A B A A B A B B A A B ???∨∧?∨??∨∧?∨?? (3)
()()()()()()()()()()
A B B C A B B A B C C B A B B C C B B A A C C A A C A C
???→∧→∧→∧→?→∧→∧→∧→?→∧→???若且即
24．设A 、B 为任意的命题公式，证明：A B A B ????当且仅当 答：()()()().A B A B B A A B B A A B ????∨?∧∨??→∧→?? 因此A B A B ????当且仅当。
25．设A 、B 、C 为任意的命题公式，（1）若C B C A ∨?∨，举例说明B A ?不一定成立。（2）若C B C A ∧?∧，举例说明B A ?不一定成立。由（1）、（2）可知，联结词
∧∨与不满足消去率。
答：(1)设1,0,1A p B q C r =∨=∧=∨，则11A C B C ∨=?∨=
，但
1,0A B ==，二者不等价。
（2）设1,0,0A p B q C r =∨=∧=∨，则00A C B C ∧=?∧=，但
1,0A B ==，二者不等价。
26．在上题（25）中，若已知C B C A ∨?∨，在什么条件下，B A ?一定成立？又若已知C B C A ∧?∧，在什么条件下，B A ?一定成立？ 解：若0;C =则A C B C ∨?∨，A B ?一定成立。 若1C =；则A C B C ∧?∧，A B ?一定成立。
27．某电路中有一个灯泡和三个开关A 、B 、C 。已知在且仅在下述四种情况下灯亮： （1）C 的扳键向上，A 、B 的扳键向下。（2）A 的扳键向上，B 、C 的扳键向下。（3）B 、C 的扳键向上，A 的扳键向下。（4）A 、B 的扳键向上，C 的扳键向下。 设F 为1表示灯亮，p 、q 、r 分别表示A 、B 、C 的扳键向上。 （a ）求F 的主析取范式。
（b ）在联结词完备集{∧?，}上构造F 。 （c ）在联结词完备集{?→?，，}上构造F 。 答：（a ）由题意知，灯亮的情况如下：
()()()()F p q r p q r p q r p q r ?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧? ?1346m m m m ∨∨∨
（b ）()()()()F p q r p q r p q r p q r ?∧?∧?∨?∧?∧∨?∧∧∨∧∧?
离散数学复习题及答案
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧?
①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??
离散数学图论与系中有图题目
离散数学图论与系中有图题目
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1)
《离散数学》考试题库及答案(三)
《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ；
离散数学复习题参考带答案
一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（ ）。 A ．离散数学是计算机专业的一门必修课。 B ．鸡有三只脚。 C ．太阳系以外的星球上有生物 。 D ．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A 与B 是等价的，是指（ ）。 A ． A 与B 有相同的原子变元 B ． A 与B 都是可满足的 C ． 当A 的真值为真时，B 的真值也为真 D ． A 与B 有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（ ）。 A ． 010，100，101，110，111 B ． 010，100，101，111 C ． 全体赋值 D ． 不存在 4、合式公式 (P∧Q)R 的主析取范式中含极小项的个数为（ ）。 A ．2 B ．3 C ．5 D ．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。 A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（ ）。 A ．(P ∧Q) (P ∨Q) B ．(P Q) (( P Q)∧(Q P)) C ．(P Q)∧Q D ．P (P ∧Q) 7、命题公式 (P Q) ( Q ∨P) 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8、若公式 (P∧Q)∨(P∧R) 的主析取范式为 m 001∨m 011∨m 110∨m 111 则它的主合取范式为（ ）。 A ．m 001∧m 011∧m 110∧m 111 B ．M 000∧M 010∧M 100∧M 101 C ．M 001∧M 011∧M 110∧M 111 D ．m 000∧m 010∧m 100∧m 101 9、下列公式中正确的等价式是（ ）。 A ．(x)A(x) ( x)A(x) B ．(x) (y)A(x, y) (y) (x) A(x, y) C ．(x)A(x) (x)A(x) D ．(x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x) ∨(x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（ ）。 A ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) B ．x ( P(x) ∨Q(x) ) x P(x) ∨x Q(x) C ．x ( P(x) Q ) x P(x) Q D ． x ( P(x) Q ) x P(x) Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（ ）。 A ．x y （x·y=1） B ．x y （x·y=0） C ． x y （x·y=y） D ．x y （x+y=2y ） 12、设S={,{1},{1,2}}，则有（ ）S 。 A ．{{1,2}} B ．{1,2 } C ．{1} D ．{2} 13、下列是真命题的有（ ）。 A ．{a}{{a}} B ．{{}}{,{}} C ．{,{}} D ．{}{,{}}
离散数学测验题--图论部分(优选.)
离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝
离散数学习题
第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r);
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： | （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 ； 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：
, 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 — ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u → 证明：用附加前提证明法。 ' ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入
离散数学例题整理
第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律)
离散数学课后习题答案第二章
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ?，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ? ?? F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ?? (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ? ? y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ?? ∧ ? x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
离散数学题目大汇总
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
离散数学部分答案
第十四章部分课后习题参考答案 5、设无向图G 有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G 至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、)()(G G δ、?。 解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=? 3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。 其余顶点的度数均小于3，欲使G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==?G G δ. 7、设有向图D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D 的入度列，并求)(),(D D δ?， )(),(D D ++?δ,)(),(D D --?δ. 解：D 的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D 的入度列为1,1,1,2. 2)(,3)(==?D D δ,1)(,2)(==?++D D δ,1)(,2)(==?--D D δ 8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？ 解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=? 设2度点x 个，则1221513=+?+?x ，2=x ，该图有4个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化； 18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以
离散数学_屈婉玲_耿素云_张立昂_主编_课后答案_(高等教育出版社)[2]1
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)
离散数学复习题参考带答案
. 一、选择题：（每题2’） 1、下列语句中不是命题的有（）。 A．离散数学是计算机专业的一门必修课。B．鸡有三只脚。 C．太阳系以外的星球上有生物。D．你打算考硕士研究生吗? 2、命题公式A与B是等价的，是指（）。 A．A与B有相同的原子变元B．A与B都是可满足的 C．当A的真值为真时，B的真值也为真D．A与B有相同的真值 3、所有使命题公式P∨(Q∧?R)为真的赋值为（）。 A．010，100，101，110，111 B．010，100，101，111 C．全体赋值D．不存在 4、合式公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A．2 B．3 C．5 D．0 5、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。 A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对 6、下述公式中是重言式的有（）。 A．(P∧Q) → (P∨Q) B．(P?Q) ? (( P→Q)∧(Q→P)) C．?(P →Q)∧Q D．P →(P∧Q) 7、命题公式(?P→Q) →(?Q∨P)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。 A．0 B．1 C．2 D．3 8、若公式(P∧Q)∨(?P∧R) 的主析取范式为m001∨m011∨m110∨m111则它的主合取范式为（）。 A．m001∧m011∧m110∧m111B．M000∧M010∧M100∧M101 C．M001∧M011∧M110∧M111D．m000∧m010∧m100∧m101 9、下列公式中正确的等价式是（）。 A．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) B．(?x) (?y)A(x, y) ? (?y) (?x) A(x, y) C．?(?x)A(x) ? (?x)?A(x) D．(?x) (A(x) ∧B(x)) ? (?x) A(x) ∨(?x) B(x) 10、下列等价关系正确的是（）。 A．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) B．?x ( P(x) ∨Q(x) ) ??x P(x) ∨?x Q(x) C．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q D．?x ( P(x) →Q ) ??x P(x) → Q 11、设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（）。 A．?x?y（x·y=1）B．?x?y（x·y=0）C．?x?y（x·y=y）D．?x?y（x+y=2y） 12、设S={?,{1},{1,2}}，则有（）?S。 A．{{1,2}} B．{1,2 } C．{1} D．{2} 13、下列是真命题的有（）。 A．{a}?{{a}} B．{{?}}∈{?,{?}} C．?∈{?,{?}} D．{?}∈{?,{?}} 14、设S={?,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。 A．3 B．6 C．7 D．8
离散数学图论练习题
图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。
8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不是命题的（ A ）。 (A) 你打算考硕士研究生吗？(B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学是计算机系的一门必修课。(D) 雪是黑色的。 ?命题公式P(P P)的类型是（ A ） (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A是重言式，那么A的否定式是( A ) A. 矛盾式 B. 重言式 C. 可满足式 D.不能确定 ?以下命题公式中，为永假式的是( C ) A. p→(p∨q∨r) B. (p→┐p)→┐p C. ┐(q→q)∧p D. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值是( D ) A. 00,11 B. 00,01,11 C.10,11 D. 10 ?谓词公式) x R xP∧ ?中，变元x是( B ) ) x ( , (y A. 自由变元 B. 既是自由变元也是约束变元 C. 约束变元 D. 既不是自由变元也不是约束变元 ?命题公式P(Q Q)的类型是( A )。 (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?设B不含变元x，) x→ ?等值于( A ) A (B ) ( x
A. B x xA →?)( B. ))((B x A x ∨? C. B x xA →?)( D. B x A x ∧?)(( ? 下列语句中是真命题的是( D )。 A ．你是杰克吗？ B ．凡石头都可练成金。 C ．如果2+2=4，那么雪是黑的。 D ．如果1+2=4，那么雪是黑的。 ? 从集合分类的角度看，命题公式可分为( B ) A. 永真式、矛盾式 B. 永真式、可满足式、矛盾式 C. 可满足式、矛盾式 D. 永真式、可满足式 ? 命题公式﹁p ∨﹁q 等价于( D )。 A. ﹁p ∨q B. ﹁(p ∨q) C. ﹁p ∧q D. p →﹁q ? 一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ? 下列含有命题p ，q ，r 的公式中，是主析取范式的是 ( D )。 (A) (p q r) (p q) (B) (p q r) (p q) (C) (p q r) (p q r) (D) (p q r) (p q r) ? 设个体域是整数集合，P 代表x y ((x y )(x y x ))，下面描述正确的是 （ C ）。 (A) P 是真命题 (B) P 是假命题 (C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式 ? 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ??∧∧?的说法正确的是( B ). (A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的； (B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的； (C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的；
离散数学习题答案
离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值：
（4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧? ∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()(p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567 m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取式，再用主析取式求主合取式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取式。 主析取式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取式 024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式，故主析取式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论： p u → 证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。 16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理： （1）前提：p q →?，r q ?∨，r s ∧? 结论：p ?