范水高级中学2008-2009学年度高三数学第一学期综合试卷(10)

范水高级中学2008-2009学年度第一学期综合练习10

命题人、盛兆兵 责任人：卢浩 分值：70分 考试时间：120分钟 一.选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1.设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则B A C U ?)(=_____

2.复数13i z =+，21i z =-，则复数

12

z z =________

3.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为

4.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，

()23x

f x =-，则(2)f -= _______

5.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、 17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是

6则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=值域为{1，9}的“同族函数”共有 _________个

7（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计： ① 0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟； ② ④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项 ③ 结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～钟内的学生的频率是__________

8.如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 经直线AB 反向后再射到直线O B 上，最后经直线O B 后又回到P 点，则光线所经过的路程是 （ ）

A

． B ．6 C

．D

．

9．在ABC ?中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =?，

75C =?，8a =，则边b 的长等于 ．

10．已已知双曲线

)0,(12

22

2>=-

b a b

y a

x 左、右焦点分别为

F 1、F 2，左、右顶点分别为A 1、A 1，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两个圆的位置关系是

11．在R t ABC ?中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则

2

2

2

111h

a

b

=

+

，由此

类比：三棱锥S A B C -中的三条侧棱S A 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面A B C 上的高为h ，则 ．

12．已知定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如图所示，对于满足1201x x <<<的

任意1x 、2x ，给出下列结论： ① 2121()()f x f x x x ->-； ② 2112()()x f x x f x >；

③

121

2()()

2

2f x f x x x f ++??

< ???

． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 13．1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 ……

则数表中的300应出现在第_______行.

14.第29届奥运会在北京举行.设数列}{n a =)2(log

1

++n n *)(N n ∈，定义使

k a a a a ?????321为整数的数k 为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]

内的所有奥运吉祥数之

第7小题图

第8小题图

和为：_________

二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．

（本小题满分14分）

已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+ ，函数()f x a b =?

．

（Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若8()5

f θ=，求π

cos 224θ??

-

???

的值．

16．

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy

，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆

22

2

19

x

y

a +

=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

（1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段O F

的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

17．

（本小题满分15分）

如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥底面

A

B

C ，

60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，P A A B B C ==，E

是P C 的中点．

（1）证明C D AE ⊥；

（2）证明P D ⊥平面A B E ；

18．

（本小题满分15分）

设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a .

A B

C

D

P E

(1)求数列{}n b 的通项公式；

(2)若,1,2,3,n n n c a b n =?= ，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求证：72

n T <.

19．

（本小题满分16分）

已知()ln f x x =，2

17()2

2

g x x m x =

++

（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都

相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．

（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；

（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a

-+-<．

20．

（本小题满分16分）

如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<< ）是曲线C ：23y x = （0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n = ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -?是正三角形（0A 是坐标原点）．

（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；

（Ⅱ）写出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式（不要求证明）； （Ⅲ）设1

2

3

21111n n n n n

b a a a a +++=+

+

++

，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不

等式2126

n t m t b -+

>恒成立，求实数t 的取值范围．

范水高级中学2008-2009学年度第一学期综合练习10

参考答案

一、

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{2,3,4}； 2．1+2i 3. 3

π2 4.-1 5.3 6.9

7．0．38 8．102

9．

10．相交 11．

2

2

2

2

1111h

a

b

c

=

+

+

12．②③

13．18 14．2026

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：（Ⅰ）因为(1sin 2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+

，所以

22

()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2f x x x x x x =++-=+-

π214x ?

?=

-+ ??

?．

因此，当ππ22π4

2

x k -

=+

，即3ππ8

x k =+

（k ∈Z ）时，()f x

1；

（Ⅱ）由()1sin 2cos 2f θθθ=+-及8()5

f θ=

得3sin 2cos 25

θθ-=

，两边平方得

91sin 425

θ-=

，即16sin 425

θ=．

因此，π

π16cos 22cos 4sin 44225θθθ????

-=-== ? ?????

．

16. 解:(1) 设圆C 的圆心为 (m ，n )，则

m n

n =-???=??解得22m n =-??=?，

所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=

(2) 由已知可得 210a =，5a =， 椭圆的方程为

2

2

125

9

x

y

+

= ， 右焦点为 F ( 4，

0) ；

所以，圆F 为2

2

(4)16x y

-+=，设Q （x ,y ），则2

2

22

(2)(2)8,(4)16,x y x y ?++-=??-+=??

，解得1145

125x y ?=????=??

，2200

x y =??

=?（不合，舍去），所以存在，Q 的坐标为412

(

,)55

.

17.（1）证明：在四棱锥P A B C D -中，因P A ⊥底面A B C D ，C D ?平面A B C D ，故P A C D ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵，C D ⊥∴平面PAC ． 而A E ?平面PAC ，C D A E ⊥∴．

（Ⅱ）证明：由P A A B B C ==，60A B C ∠=°，可得A C P A =．

E ∵是P C 的中点，A E P C ⊥∴．

由（1）知，AE C D ⊥，且PC CD C = ，所以A E ⊥平面PC D ． A

B

C

D

P E

M

而PD ?平面PC D ，AE PD ⊥∴．

PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面A B C D 内的射影是A D ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A = ∵，综上得P D ⊥平面A B E ．

18.（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123

b =

.

21222()b b b =-+，则229

b =

.

当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---. 即1

13

n n b b －＝

.

所以{}n b 是以123

b =

为首项，

3

1为公比的等比数列，于是n

n b 3

12?

=.

（2）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2

d a a ==－,可得13-=n a n .

从而n

n n n n b a c 3

1)13(2?-=?=.

∴2

3

11112[258(31)]33

3

3n n

T n =?+?

+?

++-?

= 1

771

7223

3

2

n

n n --?-

<

.

19．解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率

1(1)11k f '==

=，

所以直线l 的方程为1y x =-．

又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由

221

19(1)017

2222y x x m x y x m x =-??

?+-+=?=++?

?

， 得2(1)902m m ?=--=?=-（4m =不合题意，舍去）；

（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以

1()11

1

x h x x x -'=

-=

++．

当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．

因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =；

（Ⅲ）当0b a <<时，102b a a

--<

<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即

ln (1)x x +<．因此，有

()(2)ln

ln 1222a b

b a b a f a b f a a a a +--?

?+-==+<

???

．

20．解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；

（Ⅱ）依题意，得12n n

n a a x -+=

，1

2

n n n a a y --=

，由此及2

3n n y x =得

2

113

()22n n n n a a a a ---?=+?

?

， 即211()2()n n n n a a a a ---=+．

由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）．

（Ⅲ）1

2

3

21111n n n n n

b a a a a +++=

+

+

++

111(1)(2)

(2)(3)

2(21)

n n n n n n =

+

++

+++++

2

111

11

21

231

23

n n n n n n n =-

==

++++?

?++ ??

?．

令1()2f x x x

=+

（1x ≥），则2

1()2210f x x

'=-

≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函

数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，m ax 1()6

n b =

．

2

126

n t m t b -+

>（n *

?∈N ，[1,1]m ?∈-）

2

m ax 112()6

6

n t m t b ?-+

>=

，即220t mt ->（[1,1]m ?∈-）

22

2020t t t t ?->???+>??

． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞ ．