如何在晶体中实现相位匹配
相位匹配技术
在光学二次谐波过程中经常要求倍频光和基频光满足相位匹配条件，下面我们将讨论一下如何在晶体中实现相位匹配条件。
倍频光和基频光共线的相位匹配条件是：
0231=-=?k k k
（1.1） 由波矢公式n
c
k ω
=
，得到
ω
ωωω
222
n c n c
=
或 ωω2n n = （1.2）
为描述光波在各向异性介质中传播可以用折射率椭球方法。设想在主轴坐标系xyz o 中建立方程，即
12
22
22
2=+
+
z
y
x
n z
n y
n x
（1.3）
y
图 1-1
对于各向异性的单轴晶体，若选z 轴为光轴c ，则有0n n n y x ==，0n n n e z ≠= 折射率椭球为：
122222
2=+
+
e
o
o
n
z n
y n
x （1.4）
若o e n n >，为正单轴晶体；若o e n n <为负单轴晶体。 取椭球在zoy 面上的投影椭圆
y
图 1-2
椭圆方程为：
1222
2=+
e
o
n
z n
y (1.5)
如图（1-2）
[][]1sin )(cos )(22
22
=+
-e
e o
e n
n n
n θθθθ （1.6）
22
2
2
2
cos sin )
(1o
e
e n n n θθθ+
=
（1.7）
令θπβ-=2/
则方程（1.7）可化为：
[][]1sin )(cos )(22
2
2
=+
o
e e
e n
n n
n βθβθ
（1.8） 以β为极角，)(θe n 为极径建立极坐标系，则图形仍为椭圆。
图1-3
对负单轴晶体，即e o n n >，其o 光折射率与e 光折射率椭圆如图1-4所示
图1-4
很显然，图中ω2的e 椭圆与ω的o 椭圆的交点处满足相位匹配条件 由方程组
[]
2
22
2
22
2
2)
(cos )
(sin )
(1
ω
ω
ωθθθo m e m e
n n n +
=
（1.9）
[]
2
2
2
2
2
)
()2/(cos )
()2/(sin )
2/(1ω
ω
ω
πππo e e
n n n
+
=
（1.10）
得 2
22
222222
)
()()
()()
(
sin ω
ω
ωωω
ω
θe o o o o
e
m n n n n n n --= （1.11）
这称为第一类相位匹配，表示为e o o →+
图1-5
如图1-5，可以通过调节光轴C 和和入射波矢之间的夹角θ，使之满足式（1.11），实现角度相位匹配。
类似的，对于正单轴晶体，相位匹配条件为：
)
(2m e o
n n θω
ω
= （1.12）
由方程组
2
22
2
22
2
2)
()2/(cos )
()2/(sin )2/(1
ω
ω
ω
πππo e e
n n n
+
=
（1.13）
[]
2
2
2
2
2
)
(cos )
(sin )
(1
ω
ω
ω
θθθo m e m e
n n n
+
=
（1.14）
得
2
2
2
2222
)
()()()()
(
sin ωω
ωωω
ω
θe o o o o
e m n n n n n n --= （1.15）
终上所述，我们可以通过调节单轴晶体中光轴C 和和入射波矢之间的夹角
θ，使之满足0=?k ，实现角度相位匹配。一般选择基频光处于较高折射率的偏
振态：负单轴晶体取o 偏振态，正单轴晶体取e 偏振态。
相位匹配及实现方法
相位匹配及实现方法 实验证明，只有具有特定偏振方向的线偏振光，以某一特定角度入射晶体时，才能获得良好的倍频效果，而以其他角度入射时，则倍频效果很差，甚至完全不出倍频光。根据倍频转换效率的定义 ω ω 2ηP P =， （15） 经理论推导可得 2ω 22 2)2/()2/(sin ηE L d k L k L ???????∝。 （16） η与L??k/2关系曲线见图1。图中可看出，要获得最大的转换效率，就要使L??k/2＝0，L 是倍频晶体的通光长度，不等于0，故应?k ＝0，即 0)n n (4221 21=-λπ= -=?ωω k k k ， （17） 就是使 ωω=2n n ， （18） n ω和n 2ω分别为晶体对基频光和倍频光的折射率。也就是只有当基频光和倍频光的折射率相等时，才能产生好的倍频效果，式（18）是提高倍频效率的必要条件，称作相位匹配条件。 由于v ω＝c/n ω，v 2ω＝c/n 2ω，v ω和v 2ω分别是基频光和倍频光在晶体中的传播速度。满足（18）式，就是要求基频光和倍频光在晶体中的传播速度相等。从这里我们可以清楚地看出，所谓相位匹配条件的物理实质就是使基频光在晶体中沿途各点激发的倍频光传播到出射面时，都具有相同的相位，这样可相互干涉增强，从而达到好的倍频效果。 实现相位匹配条件的方法：由于一般介质存在正常色散效果，即高频光的折射率大于低频光的折射率，如n 2ω―n ω大约为10－2数量级。?k ≠0。但对于各向同性晶体，由于存在双折射，我们则可利用不同偏振光间的折射率关系，寻找到相位匹配条件，实现?k ＝0。此方法常用于负单轴晶体，下面以负单轴晶体为例说明。图2中画出了晶体中基频光和倍频光的两种不同偏振态折射率面间的关系。图中实线球面为基频光折射率面，虚线球面为倍频光折射率面，球面为o 光折射率面，椭球面为e 光折射率面，z 轴为光轴。 图1 倍频效率与L ??k/2的关系 相对光强 -2π 2π π -π L ??k/2
相位匹配及实现方法Word版
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二次谐波 相位匹配及其实现方法
二次谐波的应用 二次谐波成像是近年发展起来的一种三维光学成像技术，具有非线性光学成像所特有的高空间分辨率和高成像深度，可避免双光子荧光成像中的荧光漂白效应。 此外二次谐波信号对组织的结构对称性变化高度敏感，因此二次谐波成像对于某些疾病的早期诊断或术后治疗监测具有很好的生物医学应用前景. 二次谐波英文名称：second harmonic component 定义：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率为原信号频率两倍的正弦分量。 SHG的一个必要条件是需要没要反演对称的介质其次是必须满足相位匹配，传播中的倍频光波和不断昌盛的倍频极化波保持了相位的一致性. 谐波产生的根本原因是由于非线性负载所致。当电流流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成非正弦电流，从而产生谐波。 ＳＨＧ实验装置ＳＨＧ实验装置按二次谐波信号收集方式可分为前向和后向，图２为前向和后向二次谐波产生的实验装置示意图．以图２（ａ）为例：由激光器产生的角频率为的入射基频光，经过物镜聚焦到样品上，产生频率为２的二次谐波，由另一个高数值孔径的物镜收集，滤光片（一般为窄带滤光片）滤掉激发光和可能产生的荧光和其他背景光，再用探测器件（如ＰＭＴ）和计算机系统进行信号的采集、存储、分析和显示．要实现二次谐波微成像需要对以下因素进行最优化考虑：超短脉冲激光、高数值孑Ｌ径的显微物镜、高灵敏度的非解扫面探测器、准相位匹配和具有高二阶非线性的样品Ｊ．激光器：掺Ｔｉ蓝宝石飞秒激光器因具有高重复频率（８０ＭＨｚ）和高峰值功率，单脉冲能量低且町在整个近红外区（７００～１０００ｎｍ）内连续调谐，所以是二次谐波显微成像的理想光源．激光的重复频率对ＳＨＧ也有影响，如果提高激发光的重复频率，激发光的平均功率可相应提高，二次谐波信号也得到增强．物镜：一般情况下，二次谐波主要非轴向发射，即信号收集时必须有一个足够大的数值孑Ｌ径来有效接收整个二次谐波信号．滤光片：为保证所收集的信号为二次谐波信号，必须使用滤光片．一般采用一长波滤光片和窄带滤光片（带宽１０ｎｍ）组合以过滤任何干扰信号．信号收集系统：为尽晕减少二次谐波信号在系统中的损失，提高系统的探测灵敏度，最好采用非解扫（ｎｏｎ．ｄｅｓｃａｎｎｅｄ）的信号．信号收集系统中的主要部件是ＰＭＴ探测器．首先，为收集整个二次谐波信号，需要探测器的接收面足够宽．其次，对于由可调谐Ｔｉ：蓝宝石飞秒激光器，要接收的二次谐波信号处于３５０～５００ｎｍ波段，故可采用双碱阴极光电倍增管．由于激发光波长离探测器的响应区很远，故可有效探Ｎ－－次谐波信号．除了使用不同的滤光片外，二次谐波显微成像和双光子激发荧光显微成像在系统结构上是完全兼容的．已有人成功地将激光扫描共聚焦显微镜改造成双光子系统９，同样，也可以方便的用改造后的系统进行两者的复合成像 二次谐波显微成像技术的发展及其在生物医学中的应用. 细胞膜电压的测量对理解细胞信号传递过程有重要作用. 使用合适的膜染剂进行标记, 通过对染剂分子的二次谐波显微成像, 信号强度变化便能反映膜电压的大小. 近年来, 二次谐波显微成像的一个主要领域, 就是发展具有高时空分辨率及高灵敏度的活细胞中横跨膜电压的光学测量方法. ＳＨＧ成像用于膜电压测量细胞膜电压的测量对理解细胞信号传递过程有重要作用．使用合适的膜染剂进行标记，通过对染剂分子的二次谐波显微成像，信号强度变化便能反映膜电压的大小．近年来，二次谐波显微成像的一个主要领域，就是发展具有高时空分辨率及高灵敏度的活细胞中横跨膜电压的光学测量方法．１９９３年，ＯＢｏｕｅｖｉｔｃｈ等人¨证明，所加电场可强烈地调制ＳＨＧ强度．１９９９年，ＰＪＣａｍｐａｇｎｏ！ａ等人则证明了ＳＨＧ信号随膜电压变化．实验结果表明，激发波长为
相位匹配及实现方法
相位匹配及实现方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
相位匹配及实现方法 实验证明，只有具有特定偏振方向的线偏振光，以某一特定角度入射晶体时，才能获得良好的倍频效果，而以其他角度入射时，则倍频效果很差，甚至完全不出倍频光。根据倍频转换效率的定义 ω ω 2ηP P =， （15） 经理论推导可得 2ω 22 2)2/()2/(sin ηE L d k L k L ???????∝。 （16） η与L?k/2关系曲线见图1。图中可看出，要获得最大的转换效率，就要使L?k/2＝0，L 是倍频晶体的通光长度，不等于0，故应k ＝0，即 0)n n (4221 21=-λπ= -=?ωω k k k ， （17） 就是使 ωω=2n n ， （18） n ω和n 2ω分别为晶体对基频光和倍频光的折射率。也就是只有当基频光和倍频光的折射率相等时，才能产生好的倍频效果，式（18）是提高倍频效率的必要条件，称作相位匹配条件。 由于v ω＝c/n ω，v 2ω＝c/n 2ω，v ω和v 2ω分别是基频光和倍频光在晶体中的传播速度。满足（18）式，就是要求基频光和倍频光在晶体中的传播速度相等。从这里我们可以清楚地看出，所谓相位匹配条件的物理实质就是使基频光在晶体中沿途各点激发的倍频光传播到出射面时，都具有相同的相位，这样可相互干涉增强，从而达到好的倍频效果。 实现相位匹配条件的方法：由于一般介质存在正常色散效果，即高频光的折射率大于低频光的折射率，如n 2ω―n ω大约为10－2数量级。k ≠0。但对于各向同性晶体，由于存在双折射，我们则可利用不同偏振光间的折射率关系，寻找到相位匹配条件，实现k ＝0。此方法常用于负单轴晶体，下面以负单轴晶体为例说明。图2中画出了晶体中基频光和倍频光的两种不同偏振态折射率面间的关系。图中实线球面为基频光折射率 图1 倍频效率与L k/2的 相对光强 -22π π -π L k/2
二次谐波相位匹配及其实现方法
二次谐 波的应用 二次谐波成像是近年发展起来的一种三维光学成像技术，具有非线性光学成像所特有的高空间分辨率和高成像深度，可避免双光子荧光成像中的荧光漂白效应。 此外二次谐波信号对组织的结构对称性变化高度敏感，因此二次谐波成像对于某些疾病的早期诊断或术后治疗监测具有很好的生物医学应用前景. 二次谐波英文名称：second harmonic component 定义：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率为原信号频率两倍的正弦分量。SHG的一个必要条件是需要没要反演对称的介质其次是必须满足相位匹配，传播中的倍频光波和不断昌盛的倍频极化波保持了相位的一致性. 谐波产生的根本原因是由于非线性负载所致。当电流流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成非正弦电流，从而产生谐波。
ＳＨＧ实验装置ＳＨＧ实验装置按二次谐波信号收集方式可分为前向和后向，图２为前向和后向二次谐波产生的实验装置示意图．以图２（ａ）为例：由激光器产生的角频率为的入射基频光，经过物镜聚焦到样品上，产生频率为２的二次谐波，由另一个高数值孔径的物镜收集，滤光片（一般为窄带滤光片）滤掉激发光和可能产生的荧光和其他背景光，再用探测器件（如ＰＭＴ）和计算机系统进行信号的采集、存储、分析和显示．要实现二次谐波微成像需要对以下因素进行最优化考虑：超短脉冲激光、高数值孑Ｌ径的显微物镜、高灵敏度的非解扫面探测器、准相位匹配和具有高二阶非线性的样品Ｊ．激光器：掺Ｔｉ蓝宝石飞秒激光器因具有高重复频率（８０ＭＨｚ）和高峰值功率，单脉冲能量低且町在整个近红外区（７００～１０００ｎｍ）内连续调谐，所以是二次谐波显微成像的理想光源．激光的重复频率对ＳＨＧ也有影响，如果提
相位匹配
§2.5 相位匹配 在三波非线性耦合波方程中，相位失配因子312k k k k ?=--起重要作用。若0k ?=非线性相互作用就会得到增强；若0k ?≠，三波相互作用则会减弱。为获得强的非线性光学过程，通常希望0k ?=，此称相位匹配条件。如何满足相位匹配条件，是实用中需要解决的关键问题之一。 一般情况下，三波非线性相互作用发生在介质的透明区，即介质与光场无能量交换，此时三波应满足能量守恒定律和动量守恒定律。 123123,k k k ωωω+= += (2.5.0-1) 这里动量守恒就是相位匹配条件0k ?= ，若三波共线传播，相位匹配条件为 3 1 2 1 2 3 n n n λλλ+ = (2.5.0-2) 本节主要讨论实现相位匹配的方法，包括利用晶体双折射的角度相位匹配，晶体折射率对温度较敏感的温度相位匹配，将铁电畴晶体极化方向进行周期性反转的准相位匹配方式。 2.5.1 晶体的菲涅尔法线方程 设光波为单色平面波，电位移矢量D 、电场矢量E 和磁场强度H 表示为： () () () 000i k e r t i k e r t i k e r t D D e E E e H H e ωωω?-?-?-=== (2.5.1-1) 式中：e 为波矢方向上的单位矢量，上式代入Maxwell 方程组 0 B H E t t D H t μ????=-=-?????= ? (2.5.1-2) 相当于用i ω-置换 t ??，用ik e 置换算符?，并利用n k c ω= 0c e E H n c e H D n μ?=-?= (2.5.1-3)
消去H ，并利用 2 00 1 c με= () ()() 202 020D n e e E n e e E E e e n E e e E εεε=-????=-?-??? ??=-??? (2.5.1-4) 上式是Maxwell 方程组的直接推论，决定了电磁波在晶体中的传播性质，是描述晶 体光学性质的基本方程。 ()() 1001r D E E εχεε=+= (2.5.1-5) () 1χ 是一个对称张量，因而晶体的相对介电张量r ε 也是一个对称张量，经过主轴变换 后的介电常数张量是对角张量， 00 000 xx r yy zz εεεε?? ?= ? ?? ? (2.5.1-6) ,,xx yy yy εεε 称为相对主介电常数。由迈克斯韦关系式n = D 写成分量形式 0,,i xx i D E i x y z εε= = (2.5.1-7) () () 2 0200i i i i i ii D n E e e E D n e e E εεεε??=-??? ??=-????? (2.5.1-8) 或写成 () () () ()() 2 022******** 21111i i i i i ii i i ii i i i ii ii D n E e e E D n n e e E n D n e e E n e e E e e E D n n εεεεεεεεε??=-??? =-???-=-? ?? ?-??== ????-- ? ? ???? (2.5.1-9) 在主轴坐标系中，重新写成矢量形式
相位匹配及实现方法
相位匹配及实现方法 Revised as of 23 November 2020
相位匹配及实现方法 实验证明，只有具有特定偏振方向的线偏振光，以某一特定角度入射晶体时，才能获得良好的倍频效果，而以其他角度入射时，则倍频效果很差，甚至完全不出倍频光。根据倍频转换效率的定义 ωω2ηP P =， （15） 经理论推导可得 2ω222)2/()2/(sin ηE L d k L k L ???????∝。 （16） η与L?k/2关系曲线见图1。图中可看出，要获得最大的转换效率，就要使L?k/2＝0，L 是倍频晶体的通光长度，不等于0，故应k ＝0，即 0)n n (422121=-λπ=-=?ωωk k k ， （17） 就是使 ωω=2n n ， （18） n ω和n 2ω分别为晶体对基频光和倍频光的折射率。也就是只有当基频光和倍频光的折射率相等时，才能产生好的倍频效果，式（18）是提高倍频效率的必要条件，称作相位匹配条件。 由于v ω＝c/n ω，v 2ω＝c/n 2ω，v ω和v 2ω分别是基频光和倍频光在晶体中的传播速度。满足 （18）式，就是要求基频光和倍频光在晶体中的传播速度相等。从这里我们可以清楚地看出，所谓相位匹配条件的物理实质就是使基频光在晶体中沿途各点激发的倍频光传播到出射面时，都具有相同的相位，这样可相互干涉增强，从而达到好的倍频效果。 实现相位匹配条件的方法：由于一般介质存在正常 色散效果，即高频光的折射率大于低频光的折射率，如n 2ω―n ω大约为10－2数量级。k ≠0。但对于各向同性晶体，由于存在双折射，我们则可利用不同偏振光间的折 射率关系，寻找到相位匹配条件，实现k ＝0。此方法常 用于负单轴晶体，下面以负单轴晶体为例说明。图2中 画出了晶体中基频光和倍频光的两种不同偏振态折射率 面间的关系。图中实线球面为基频光折射率面，虚线球面为倍频光折射率面，球面为o 光折射率面，椭球面为e 光折射率面，z 轴为光轴。 折射率面的定义：从球心引出的每一条矢径到达面 上某点的长度，表示晶体以此矢径为波法线方向的光波θm 法线 n o ω n e ω n o 2ω n e 2ω O z 图2 负单轴晶体折射率 图1 倍频效率与L k/2的关 相对光强 -2π 2π π -π L k/2
相位匹配及实现方法
相位匹配及实现方法 相位匹配及实现方法 实验证明,只有具有特定偏振方向的线偏振光，以某一特定角度入射晶体时，才能获得良好的倍频效果，而以其他角度入射时,则倍频效果很差，甚至完全不出倍频光。根据倍频转换效率的定义 ω ω 2ηP P =， （15） 经理论推导可得 2ω 22 2)2/()2/(sin ηE L d k L k L ???????∝. （16） η与L ??k/2关系曲线见图1。图中可看出，要获得最大的转换效率,就要使L ??k/2＝0，L 是倍频晶体的通光长度，不等于0,故应?k ＝0，即 0)n n (4221 21=-λπ= -=?ωω k k k , （17） 就是使 ωω=2n n ， （18） n ω和n 2ω分别为晶体对基频光和倍频光的折射率.也就是只有当基频光和倍频光的折射率相等时，才能产生好的倍频效果，式（18）是提高倍频效率的必要条件，称作相位匹配条件。 由于v ω＝c/n ω，v 2ω＝c/n 2ω，v ω和v 2ω分别是基频光和倍频光在晶体中的传播速度。满足（18）式,就是要求基频光和倍频光在晶体中的传播速度相等.从这里我们可以清楚地看出，所谓相位匹配条件的物理实质就是使基频光在晶体中沿途各点激发的倍频光传播到出射面时，都具有相同的相位，这样可相互干涉增强，从而达到好的倍频效果。 实现相位匹配条件的方法：由于一般介质存在正常色散效果，即高频光的折射率大于低频光的折射率，如n 2ω―n ω大约为10－2数量级.?k ≠0。但对于各向同性晶体，由于存在双折射，我们则可利用不同偏振光间的折射率关系，寻找到相位匹配条件,实现?k ＝0.此方法常用于负单轴晶体，下面以负单轴晶体为例说明.图2中画出了晶体中基频光和倍频光的两种不同偏振态折射率面间的关系.图中实线球面为基频光折射率面，虚线球面为倍频光折射率面，球面为o 光折射率面，椭球面为e 光折射率面,z 轴为光轴. 图1 倍频效率与L ??k/2的关系 相对光强 -2π 2π π -π L ??k/2
相位匹配及实现方法
相位匹配及实现方法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
相位匹配及实现方法 实验证明，只有具有特定偏振方向的线偏振光，以某一特定角度入射晶体时，才能获得良好的倍频效果，而以其他角度入射时，则倍频效果很差，甚至完全不出倍频光。根据倍频转换效率的定义 ωω 2ηP P =， （15） 经理论推导可得 2ω222)2/()2/(sin ηE L d k L k L ???????∝。 （16） η与L?k/2关系曲线见图1。图中可看出，要获得最大的转换效率，就要使L?k/2＝0，L 是倍频晶体的通光长度，不等于0，故应k ＝0，即 0)n n (4221 21=-λπ=-=?ωωk k k ， （17） 就是使 ωω=2n n ， （18） n ω和n 2ω分别为晶体对基频光和倍频光的折射率。也就是只有当基频光和倍频光的折射率相等时，才能产生好的倍频效果，式（18）是提高倍频效率的必要条件，称作相位匹配条件。 由于v ω＝c/n ω，v 2ω＝c/n 2ω，v ω和v 2ω分别是基频光和倍频光在晶体中的传播速度。满足（18）式，就是要求基频光和倍频光在晶体中的传播速度相等。从这里我们可以清楚地看出，所谓相位匹配条件的物理实质就是使基频光在晶体中沿途各点激发的倍频光传播到出射面时，都具有相同的相位，这样可相互干涉增强，从而达到好的倍频效果。 实现相位匹配条件的方法：由于一般介质存在正常色散效果，即高频光的折射率大于低频光的折射率，如n 2ω―n ω大约为10－2数量级。k ≠0。但对于各向同性晶体，由于存在双折射，我们则可利用不同偏振光间的折射率关系，寻找到相位匹配条件，实现k ＝0。此方法常用于负单轴晶体，下面以负单轴晶体为例说明。图2中画出了晶体中基频光和倍频光的两种不同偏振态折射率面间的关系。图中实线球面为基频光折射率面，虚线球面为倍频光折射率面，球面为o 光折射率面，椭球面为e 光折射率面，z 轴为光轴。 图1 倍频效率与L k/2的关 相对光强 -2π 2π π -π L k/2
如何在晶体中实现相位匹配
相位匹配技术 在光学二次谐波过程中经常要求倍频光和基频光满足相位匹配条件，下面我们将讨论一下如何在晶体中实现相位匹配条件。 倍频光和基频光共线的相位匹配条件是： 0231=-=?k k k （1.1） 由波矢公式n c k ω = ，得到 ω ωωω 222 n c n c = 或 ωω2n n = （1.2） 为描述光波在各向异性介质中传播可以用折射率椭球方法。设想在主轴坐标系xyz o 中建立方程，即 12 22 22 2=+ + z y x n z n y n x （1.3） y 图 1-1 对于各向异性的单轴晶体，若选z 轴为光轴c ，则有0n n n y x ==，0n n n e z ≠= 折射率椭球为： 122222 2=+ + e o o n z n y n x （1.4） 若o e n n >，为正单轴晶体；若o e n n <为负单轴晶体。 取椭球在zoy 面上的投影椭圆
y 图 1-2 椭圆方程为： 1222 2=+ e o n z n y (1.5) 如图（1-2） [][]1sin )(cos )(22 22 =+ -e e o e n n n n θθθθ （1.6） 22 2 2 2 cos sin ) (1o e e n n n θθθ+ = （1.7） 令θπβ-=2/ 则方程（1.7）可化为： [][]1sin )(cos )(22 2 2 =+ o e e e n n n n βθβθ （1.8） 以β为极角，)(θe n 为极径建立极坐标系，则图形仍为椭圆。
图1-3 对负单轴晶体，即e o n n >，其o 光折射率与e 光折射率椭圆如图1-4所示 图1-4 很显然，图中ω2的e 椭圆与ω的o 椭圆的交点处满足相位匹配条件 由方程组 [] 2 22 2 22 2 2) (cos ) (sin ) (1 ω ω ωθθθo m e m e n n n + = （1.9） [] 2 2 2 2 2 ) ()2/(cos ) ()2/(sin ) 2/(1ω ω ω πππo e e n n n + = （1.10） 得 2 22 222222 ) ()() ()() ( sin ω ω ωωω ω θe o o o o e m n n n n n n --= （1.11） 这称为第一类相位匹配，表示为e o o →+