Strongart数学笔记：评述Artin环的基本性质

评述Artin环的基本性质

在最近的交换代数讲座中，我对Artin ring的基本性质做了小结，它们分别是：1）零维性（Krull dimension=0）；2）半局部性（semilocal）；3）根的幂零性（nilpotent radical），其中每一种性质还可以相应强化，下面我对此做一个具体评述。

1）零维性：就是说Artin ring中素理想都是极大理想。通过取商它又等价于命题：Artin整环是域，后者是非常容易证明的。既然素理想与极大理想等价，那么素根就是等价与Jacobson根等同，也就是说在Artin ring中可以笼统的称为根。

实际上，Artin ring就是0维的Noether ring，这被称为Hopkins–Levitzki theorem.它的证明需要这三条基本性质，先由性质1）与2），可得Artin ring的根可以表示为有限多个极大理想的交，再由性质3）对两边做充分大的幂，可以把0表示为若干极大理想的交，因此也可以表示为积。接下来就是证明这样一个引理：如果一个Artin ring的0可以表示为若干极大理想的积，那么它同时是Noether

的。证明的基本思想就是转化为向量空间，这里合成序列的概念起到了中轴的作用，对于域k上的向量空间V，V是Noether的iff dimV ＜∞iff V有合成序列iff V是Artin的。利用这个结论考虑Artin ring R 内的链：R≥m1≥m1m2≥…≥m1m2…mk=0，各mi是（可能相同的）极大理想，考虑相应R/mi上的向量空间m1m2…mi-1/m1m2…mi，即可把上述链逐步加细为R上的合成序列，因此R同时也是Noether的。

有趣的是，借助于Noether primary decomposition，在0维Noether ring中也能保证0是极大理想的积，而仔细分析可以发现合成序列与链的升降无关，因此上述程序同样可以反过来证明0维的Noether ring 就是Artin ring.

2）半局部性：就是说Artin ring中只有有限多个（不同的）极大理想（也是素理想）。事实上，由不同的极大理想的交构成的降链：R≥m1≥m1∩m2≥…≥m1∩m2∩…∩mk≥…是严格的，假若有无限多个极大理想，那么就会相应得到无限严格降链，这与Artin ring的DCC要求矛盾！

实际上，Artin ring就是Artin local ring的有限直和，这被称为Artin ring的结构定理。其证明的关键是Noether primary decomposition，当然这里的Noether性是由上面的性质1）保证的，同时利用性质3），可以把0表示成极大理想幂mi^ki的形式，再利用中国剩余定理，就可以得到Artin ring R是有限个形如R/mi^ki的环的直和，后者恰恰就是Artin local ring.

注：半局部性的这个定义仅在交换环中成立，对非交换环R定义为R/rad(R)是左（或右）Artin ring.

3）根的幂零性：这里我们要先区分nil ideal与nilpotent ideal的概念（nil ideal在中文里直译为零理想，这非常容易与0混淆，有些书中生造了个“诣零理想”，以此来与幂零理想区别对照），前者指元素幂零，后者则是指理想本身幂零，也就是对交叉项依然有要求。显然，nilpotent ideal一定是nil ideal，但在R=k[x1,x2,…]/(x1^2,x2^2,…)中由取模后的未定元x1，x2，…生成理想即为显然是nil ideal，却不是nilpotent ideal。

一般交换环的素根就是幂零根，但这里的“幂零”只是nil，而不

是nilpotent.可在Artin ring中，它的根就一定也是nilpotent的。证明考虑其根J的各次幂构成的天然降链，它稳定于某个I=J^n，注意到I=I^2，考虑各yI≠0，y∈I的极小元，再通过一些小技巧就可以从元素幂零得出J=0。

实际上，Artin ring中的任何nil ideal都是nilpotent ideal。这个结论看似可以推导出性质3）但是在证明过程中却用到性质3），因此只是在形式上强一点而已。事实上，幂任何零元x都在Jacobson radical 内，这是因为相应1+yx的逆展开后会被幂零性截断，因此其逆总是存在的。这样一来，任何nil ideal也都包含在Jacobson radical内，而后者在Artin ring当中就是（还是最大的）nilpotent ideal，因此原来的理想也是nilpotent的。

这样我们就得到了Artin ring的三个性质与相应的推广，其内在逻辑关系可以通过下图展示，其中并未出现循环论证：

本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！

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