含绝对值不等式解法教案

含绝对值不等式解法教案
含绝对值不等式解法教案

教学案例

§1.4含绝对值的不等式解法

学校:织金二中 组别:数学组 姓名:田茂松

教学目标:

(一)知识目标(认知目标)

1、理解并会求()()0x a x a a <>>或的解集;

2、掌握()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与的解法.

(二)能力目标

1、通过不等式的求解,加强学生的运算能力;

2、培养学生数形结合、整体代换、等价转化等的思想. (三)情感目标

1、感悟形与数不同的数学形态间的和谐同一美;

2、培养学生学习数学的兴趣,增加学习的信心.

教学重点:()()0x a x a a <>>或与()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与

型不等式的解法.

教学难点:含绝对值不等式变换的等价性问题的技巧. 教学方法:探究研讨法,讲练结合法等. 教学准备(教具):直尺,彩色粉笔,小黑板. 课 型:新授课. 教学过程

(一)复习回顾

绝对值是怎么定义的呢?(通过抽问回答补充的方式) 绝对值定义,一个数a 的绝对值表示数轴上一点a 到原点的距离.

结合数轴即可知道,

x

a

0a <

0a >

a

x

,0,,0.a a a a a ???

≥=-< (二)创设情景

大家先看这样一个数学问题:已知(),M x y 为一次函数23y x =+上一点,若该点到x 轴的距离不大于5,求点M 的横坐标x 的取值范围.(师生讨论)

这个问题我们可以用数形结合的方法来解决.我们先作函数23y x =+的图像,由图像易知其上一点M 到x 轴的距离为点M 纵坐标y 的绝对值,依题意得15y ≤,

将23y x =+代入得

235x ≤+,只要解出此不等式,即可求出点M 的横坐标x 的

取值范围.那我们又怎么来解决这类含绝对值的不等式呢?这就是本节我们要讨论的问题,大家先翻开书看书的第14页到第15页. (三)讲授新课 1、不等式

()()0x a x a a <>>或的解法

先来看一个特殊的例子,

55x x <>与.由绝对值的定义可知,它表示到原点

距离为5的点,结合数轴,我们可以知道方程的解是55x x ==-或

.

我们再来看相应的不等式55x x <>与.由绝对值的几何意义,结合数轴表示

易知,

5x <表示数轴上到原点距离小于5的点的集合,在数轴上表示如下

我们用前面学习的集合来表示它的解,则应表示为:{}55x x -<<.

同样,

5x >表示到原点距离大于5

的集合,在数轴上的表示为

用集合表示为

{}55x x x ><-或.

根据上面的思路,结合数轴,我们可以得到一般的情况,

()0x a a <>表示到

原点的距离小于a 的点,它的解集为{}()0x a x a a -<<>,数轴表示为

不等式

()0x a a >>表示到原点的距离大于a 的点,不等式的解集为{}

()0x x a x a a ><->或,数轴表示如下

注:在这里,如果不等式的不等号是“小于”,则解集里用“且”连接,即我们在本章第3节里学习的“交”;如果不等式的不等号是“大于”时,解集里应用“或”连接,即我们学习的“并”.结合数轴,大家可以这样记忆:“大于分两边,小于居中间”;其次就是我们把结果要写成集合的形式.

大家思考一下,如果把上面的不等号分别变为≤≥或“”“”,不等式的解集又该是什么呢?其实只需把上面不等式的解集中的不等号“<”与“>”分别改为≤≥或“”“”

就行了. 练习1:第17页的练习的第1题的(1)、(2)小题. 答案:{}{};.(1)55(2)1010x x x -<<><-或 2、不等式

()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与的解法

0ax c ax b c b <=<+也可以看成的形式,这里.在小学学习方程和比的时候,

诸如

23

72

x +=,是将23x +看为整体,解出2314x +=,再解出x ,我们称这种方法为“整体代换”方法.同样在这里,我们也可以运用这种思想,将ax b +看成一个整体,即令

y ax b =+,则y

a x

b =

+,不等式就等价于y c <,

()0y c c >>与

这就是我们刚刚学习了的不等式,我们就容易得出它们的解集分别

为{}{}()0y c y c y y c y c c -<<><->与或,我们再将y ax b =+代进去即可求得原不等式的解集.同前面讨论的一样,我们也可以得出

a x

b c

a x

b c

+≤+≥与()0,0a c ≠≥的解集.现在我们来看以下一些例子. 例1解不等式235x +≤.

分析:这个不等式就是我们刚刚讲的

()0,0ax b c a c ≤+≠≥的类型含绝对值

不等式.这里2,3,5a b c ===,我们把23x +看成一个整体,则原不等式可变形为

5235x -≤+≤,根据不等式的相关知识,很容易就能得到原不等式的解集,现在我

们把步骤写一下.

解:由原不等式可得5235x -≤+≤, 整理可得

41x -≤≤

所以原不等式的解集为

{}41x x -≤≤.

也就是说,当M x 点的横坐标的取值在-4到1这个范围内时,纵坐标y 的绝对值不大于5,即函数23y x =+的图像上的点到x 轴的距离不大于5.

说明:大家在以后的解题过程中一定要记住,我们常把结果表示成集合的形式,在计算的过程中也要注意计算的准确性.

例2 解不等式257x -+>.

分析1:是

()0,0ax b c a c >+≠>的类型.这里2,5,7a b c =-==,同样

把25x -+看成一个整体,则原不等式可变形为257257x x -+>+<-或-,即可得到原不等式的解集.现在大家想想这个题还有其他解法吗?

分析2:绝对值有这样一个性质:a a -=.对这个题,我们可以用这个性质,

2525x x -+=-,这样我们将x 前面的系数由负数变为正数,这样计算比原来

的计算更为简便,也可以避免计算上的失误,步骤大家自己下去写一下.答案是

{}16x x <<.

大家在解这种类型的题时,可以运用绝对值的性质a a -=将x 前面的系数由

负数变为正数,这样可以减小计算量.

练习2:第16页的练习题的2题(请几位同学上来演练一下,其他同学在下面自己做一下. 对学生的演练进行评价,正确的加以鼓励,错误的指出原因)

答案为

{}{}{};;

;|;

;.

31(1)|513(2)|44

1(3)

|5

1(4)13

2

(5)|2(6)

|2

65

x x x x x x x x x x x x x x x ??

???

?

??

???

?

?????

?

><--≤≤≥≤-<<-<<≥≤-或或

(四)课时小结

两种类型不等式的解法,即

()()0x a x a a <>>或与ax b c +<与

()0,0ax b c a c +>≠>的解法,大家在以后的解题过程中结合数轴要理解()()0x a x a a <>>或的解集.在解ax b c +<与ax b c +>(0,a ≠

0)c >类型的不等式时,如果x 的系数是负数,可以可以运用绝对值的性质a a

-=将x 前面的系数由负数变为正数.大家下去完成这个表格

0a >

0a <

0a =

x a <

{}x a x a -<<

x a >

{}x x a x a ><-或

(五)课后作业

1、16页 1.(1)、(3); 2.(2)、(4); 4;

2、思考:本节课我们是运用数形结合的思想来将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式来求解,大家思考一下我们能不能用分类讨论的方法来转化呢?即能不能将

00x x x ><分为与两种情况来讨论.

板书设计

§1.4含绝对值不等式的解法

(讲授新课)

1.|x |a (a >0)的解法

(讲授新课) 1.| ax +b |c(c >0)的解法

例1 例2

(复习知识) 绝对值的意义 作业

中职数学含绝对值的不等式教案

含绝对值的不等式教案 一、条件分析 1.学情分析 本课是开学第一课,学生对上学期的知识已经比较陌生,而本课的内容要以上学期的不等式内容为基础,是不等式内容的提升,所以本课先复习上学期的内容,让学生顺利过渡到新知识中来。 2.教材分析 本节教材首先分别讨论含有绝对值的等式的三种情况,从而推导出含有绝对值的不等式的公式,然后例题加以巩固。由于我校学生基础薄弱,对于理论性的知识掌握不牢固,所以我们在教授的时候从简单的具体的例子推导含有绝对值的不等式的公式,由浅入深,层层递进,符合学生的认知。 二、三维目标 知识与技能目标 } A层: 1.理解绝对值的概念; 2.了解绝对值不等式的解法; 3.会解含有绝对值的不等式; 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想; 5.通过研究含有绝对值不等式,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和辩证思维能力. B层: 1.理解绝对值的概念; ? 2.了解绝对值不等式的解法; 3.会解含有绝对值的不等式; 4.通过数轴解不等式培养学生的数形结合的数学思想. C层:

1.理解绝对值的概念; 2.了解绝对值不等式的解法; 3.会解含有绝对值的不等式. 过程与方法目标 ( 复习法、讲授法、练习法、自讲法 情感态度与价值观目标 激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时培养辩证思维能力。 三、教学重点 含有绝对值不等式的解法 四、教学难点 将含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式 五、主要参考资料: ( 中等职业教育课程教材数学基础模块(上)、学生学习指导用书、教学参考书。 六、教学进程: 1.复习导入 绝对值的含义 在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.如:5指在数轴上表示数5的点与原点的距离,这个距离是5,所以5的绝对值是5,-5的绝对值是5。 正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值还是0。 2.讲授新课 (1)求下列各数的绝对值 ¥ 3、- 4、1 2、1- 2

高考含绝对值不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x ,

所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+

含绝对值的不等式解法练习题及答案

含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ]答选C. 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A.3 B.2 C.-2 D.-5 分析列出不等式. 解根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x<-2或2<x≤5,其中最小整数为-5, 答选D. 例3不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析利用所学知识对不等式实施同解变形. 解原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7例4已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A. 分析转化为解绝对值不等式. 解∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x-6|<5 因为x∈N,所以A={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a,b满足ab<0,那么 [ ] A.|a-b|<|a|+|b| B.|a+b|>|a-b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|+|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义. 解∵a、b异号, ∴ |a+b|<|a-b|. 答选C. 例6 设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b 的值为 [ ] A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 分析解不等式后比较区间的端点. 解由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得. 答选D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.例7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R)

绝对值不等式教学设计

含有绝对值的不等式 教学目标 (1)掌握绝对值不等式的基本性质,在学会一般不等式的证明的基础上,学会含有绝对值符号的不等式的证明方法; (2)通过含有绝对值符号的不等式的证明,进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法; (3)通过证明方法的探求,培养学生勤于思考,全面思考方法; (4)通过含有绝对值符号的不等式的证明,可培养学生辩证思维的方法和能力,以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明.一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过证明过程的探求,使学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神. ②教学难点一是性质定理的推导与运用;一是证明含有绝对值的不等式的方法选择.在推导定理中进行的恒等变换与不等变换,相对学生的思维水平是有一定难度的;证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换,根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点. 三、教学建议

(1)本节内容分为两课时,第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用,第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例. (2)课前复习应充分.建议复习:当时 ; ; 以及绝对值的性质: ,为证明例1做准备. (3)可先不给出含有绝对值的不等式性质定理,提出问题让学生研究:是否等于? 大小关系如何?是否等于?等等.提示学生用一些数代入计算、比较,以便归纳猜想一般结论. (4)不等式的证明方法较多,也应放手让学生去探讨. (5)用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论. (6)本节教学既要突出教师的主导作用,又要强调学生的主体作用,课上尽量让全体学生参与讨论,由基础较差的学生提出猜想,由基础较好的学生帮助证明,培养学生的团结协作的团队精神. 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论,并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点

含参数不等式及绝对值不等式的解法

含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式:2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。

例3:若不等式210x ax ≥++对于一切1(0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例4:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 例5:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 例 6: 对于∈x (0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的 取值范围。 例7:2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x >---34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ,求a 的取值范围

含绝对值的不等式-公开课教案

含绝对值的不等式 教学目标 1.认知目标 (1)掌握|x|a(a>0)型的绝对值不等式的解法; (2)理解掌握绝对值的意义和利用数轴表示含绝对值的不等式的解集 2.能力目标 (1)通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集,培养学生数形结合的能力; (2)通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式,培养学生化归的思想和转化的能力; (3)采用分析与综合的方法,培养学生逻辑思维能力; (4)通过学生练习和老师点拨,培养学生的运算能力 3.情感目标 培养学生的学习兴趣和端正的学习态度,让学生理解学习数学的重要性 4.德育教育 我们为什么而读书 教学重点:|x|a(a>0)型的不等式的解法; 教学难点:利用绝对值的意义分析、解决问题.

教学过程设计 教师活动学生活动设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么?负数的绝对值是什么?零的绝对值是什么?举例说明? 口答 a (a>0) |a|= 0 (a=0) -a (a<0) 绝对值的概念是解|x|>a与 |x|0)型绝对值不等 式的基础,为解这种类型的 绝对值不等式做好铺垫. 二、新课 【导入】2的绝对值等于几?-2的绝对值等于几?绝对值等于2的数有哪些?在数轴上表示出来. 【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程|x|=2来表示,这样的方程叫做绝对值方程.显然,它有两个解一个是2,另一个是-2. 【绝对值的意义】在数轴上,表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 【提问】如何解绝对值方程. 【设问】 1 解绝对值不等式|x|<2,并用数轴表示它的解集。 2 解绝对值不等式|x|>2,并用数轴表示它的解集。 【讲述】根据绝对值的意义,由右面的数轴可以看出,不等式|x|<2的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合;不等式|x|>2的解集就是表示数轴上到原点的距离大于2的点的集合。【巩固旧知识】 1.数轴的含义和几何意义 学生口答 归纳:数轴是一条规定了 原点、方向和单位长度的直 线。原点、方向和单位长度称 为数轴的三要素。 【笔答并点拨】 注意观察数轴上所表示的 集合,理解和区分两种情况 根据绝对值的意义自然引出 绝对值方程|x|=a(a>0)的 解法. 由浅入深,循序渐进,在 |x|=a(a>0)型绝对值方程 的基础上引出|x|0)型 绝对值方程的解法. 针对解|x|>a(a>0)绝对值不 等式学生常出现的情况,运 用数轴质疑、解惑. 落实会正确解出|x|0) 与|x|>a(a>0)绝对值不等式 的教学目标.

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略) (二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于 2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。

绝对值不等式的解法教学设计教学内容

绝对值不等式的解法 教学设计

《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题:绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法,会用函数的思想来解决不等式的相关问题.培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法,零点分段法解绝对值不等式,函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差,少讲多练,以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合,多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法,会用函数的思想来解决不等式的相关问题. 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练 掌握 一般地,可得解集规律: 形如|x|a (a>0)的含绝对值的不等式的解集: 不等式|x|a的解集为 {x|x<-a或x>a } 课堂练习一: 试解下列不等式: 熟练地掌握 方法 (1)|32|7 x -≥ 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢2

注:如果0 a≤,不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),根据式子的特点可用下列解法公式进行转化:⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或; ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<; ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或; ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌 握一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0,|x+2|=0的零 点,将数轴分为三个区间, 然后在这三个区间上将原不 等式分别化为不含绝对值符 号的不等式求解.体现了分 类讨论的思想. {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。 主要方法有: 1、同解变形法:运用解法公式直接转化; 2、分类讨论去绝对值符1、解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 2、对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则k的取值范围是() ()3 A k<()3 B k<-()3 C k≤()3 D k- ≤ 3.不等式有解的条件是 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x-> 43 x x a -+-< 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢3

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{} R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略)

(二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间,即2-x ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。 解:当x <-2时,得2 (1)(2)5x x x <-??---+x 时,得1, (1)(2) 5.x x x >??-++

含绝对值的不等式解法·典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }...≠.? 83 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 83 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为-≤<-或<≤.3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-, 52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4???

解之得<<或<<.4x x 211212 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=1232 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2 a b -=-+=,解之得=,=.???1232 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x <m .

最新绝对值不等式的解法教学设计

《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题:绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法,会用函数的思想来解决不等式的相关问题.培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法,零点分段法解绝对值不等式,函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差,少讲多练,以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合,多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法,会用函数的思想来解决不等式的相关问题. 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练掌 握 一般地,可得解集规律: 形如|x|a (a>0)的含绝对值的不等式的解集: 不等式|x|a的解集为{x|x<-a或课堂练习一: 试解下列不等式: 熟练地掌握方 法 (1)|32|7 x -≥

x>a } 注:如果0 a≤,不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),根据式子的特点可用下列解法公式进行转化:⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或; ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<; ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或; ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌握 一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点, 将数轴分为三个区间,然后在这 三个区间上将原不等式分别化为 不含绝对值符号的不等式求 解.体现了分类讨论的思想. {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x->

专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义:(其几何意义是数轴的点A (a )离开原点的距离a OA =) ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法:(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如()()x g x f <); (4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。(见P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化,以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

汇总不等式与绝对值不等式教案.doc

第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本 1.绝对值不等式的性质:(a ∈R ) (1)|a |≥0(当且仅当a =0时取“=”); (2)|a |≥±a ; (3)-|a |≤a ≤|a |; (4)|a 2|=|a |2=a 2; (5)|ab |=|a ||b |,|a b |=|a ||b | . 2.两数和差的绝对值的性质: |a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 特别注意此式,它是和差的绝对值与绝对值的和差性质.应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件. |a +b |=|a |+|b |?ab ≥0; |a -b |=|a |+|b |?ab ≤0; |a |-|b |=|a +b |?(a +b )b ≤0; |a |-|b |=|a -b |?(a -b )b ≥0. 3.解含绝对值不等式的思路:化去绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式.解法如下: (1)|f (x )|<a (a >0)?-a <f (x )<a ; (2)|f (x )|>a (a >0)?f (x )<-a 或f (x )>a ; (3)|f (x )|<g (x )?-g (x )<f (x )<g (x ); (4)|f (x )|>g (x )?f (x )<-g (x )或f (x )>g (x ); (5)|f (x )|<|g (x )|?[f (x )]2<[g (x )]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x -a |+|x -b |>m 或|x -a |+|x -b |<m (m 为正常数)的不等式,利用实数绝对值的几何意义求解较简便. 考点陪练 1.设ab >0,下面四个不等式中,正确的是( ) ①|a +b |>|a |;②|a +b |<|b |;③|a +b |<|a -b |; ④|a +b |>|a |-|b |.

《含绝对值不等式的解法》导学案

《含绝对值不等式的解法》导学案 学习目标: 1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2.理解含绝对值不等式的解法思想:去掉绝对值符号,等价转化 学习重点:简单的含绝对值不等式的解法 学习难点:含参数的绝对值不等式的解法 一、课前准备(请在上课之前自主完成): 1.绝对值的定义:||a ??=??? 2. 绝对值的几何意义: (1)实数a 的绝对值||a ,表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离. (2)任意的两个实数,a b ,它们在数轴上对应的点分别为,A B , 那么 || a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式: ①0a b ?>时, 如下图, 易得:||||||a b a b ++. ②0a b ?<时, 如下图, 易得:||||||a b a b ++. ③0=ab 时,易得|| |||| a b a b ++ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程 知识点1:含绝对值不等式的解法 1.设a 为正数, 根据绝对值的意义,不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示. 2.设a 为正数, 根据绝对值的意义,不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示. 3.设a 为正数, 则 (1).()f x a ? ; (3).设0b a >>, 则()a f x b ≤-213 例2:解不等式7324≤-+x x 变式演练:|2||1|x x -<+ (2)利分段讨论法(即零点分段法) 例4 解不等式512≥-+-x x 变式演练:解不等式52312≥-++x x ;

高一数学含绝对值不等式的解法练习题

含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a <-6,化简26a -得() +6 2.不等式|8-3x |≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|<3},B ={x ||x -1|≥1},则A ∩B 等于() A.{x |-1<x <5} B.{x |x ≤0或x ≥2} C.{x |-1<x ≤0} D.{x |-1<x ≤0或2≤x <5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且,}5 {≤∈=x Z x x B 且,则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y },则M ∩N () A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是() 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式|x +2|<3的解集是,不等式|2x -1|≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2|x |-3>0 3.已知全集U =R ,A ={x |x 2-2x -8>0},B ={x ||x +3|<2},求: (1)A ∪B ,C u (A ∪B )(2)C u A ,C u B ,(C u A )∩(C u B ) 4.解不等式3≤|x -2|<97.解不等式|3x -4|>1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象,并解不等式|x +1|+|x -2|<4.

含绝对值不等式优秀教案

【课题】2.4含绝对值的不等式 【教学目标】 知识目标: (1) 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法; (2)了解ax b c +<或ax b c +>的解法. 能力目标:培养学生观察、分析、归纳、概括的能力,以及逻辑推理能力,考察学生思维的积极性和全面性,领悟分类讨论、化归和数形结合的数学思想方法,培养数学理解力,化归能力及运算能力,初步学会用数学思想指导数学思维。 情感目标:激发学生学习兴趣,鼓励学生大胆探索,向学生渗透“具体-抽象-具体”、“未知-已知-未知”的辩证唯物主义的认识论观点,使学生形成良好的个性品质和学习习惯。 【教学重点】 (1)不等式x a <或x a >的解法 . (2)利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>. 【教学难点】 利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>. 教学方法:主要采取启导式教学,通过对初中不等式知识及绝对值的含义和几何意义等相关知识的学习引入,在教师指导下由实例引出解绝对值不等式的实际意义,导出解决含绝对值不等式的解法这一研究主题。 【教学设计】 (1) 从数形结合的认识绝对值入手,有助于学生对知识的理解; (2) 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集; (3) 运用变量替换,化繁为简,培养学生的思维能力; (4) 加强解题实践,讨论、探究,培养学生分析与解决问题的能力,培养团队精神. 【教学备品】 教学课件. 【课时安排】 1-2课时.(80分钟) 【安全教育:清点人数】

(2,)+∞(如图( 明确新知 (),a +∞.a (0a >)的解集.(2) (1)

绝对值方程与绝对值不等式教案

一、复习铺垫 1、绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 ,0, ||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

说明 若在x 的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解,应舍去. 练1.解下列方程:|x+3|-|x -1|=x+1; 例2 解不等式:13x x -+->4. 解法一:由01=-x ,得1=x ;由30x -=,得3x =; ①若1, 即24x -+>4,解得x <0, 又x <1, ∴x <0; ②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->, 即1>4, ∴不存在满足条件的x ; ③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->, 即24x ->4, 解得x >4. 又x ≥3,∴x >4. 综上所述,原不等式的解为 x <0,或x >4. 解法二:如图1.1-1,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |,即|PA |=|x -1|;|x -3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |,即|PB |=|x -3|. 所以,不等式13x x -+->4的几何意 义即为 |PA |+|PB |>4. 由|AB |=2,可知 点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧. x <0,或x >4. 练2. |x+1|+|4-x |<6; 三、巩固练习 1.填空: (1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________. (2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________. 2.选择题: 下列叙述正确的是( ) (A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b > 1 3 A x 4 C x |x -1| |x -3| 图1.1-1

含绝对值不等式的解法

学科:数学 教学内容:含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1.绝对值的意义是:? ? ?<-≥=)0x (x ) 0x (x x . 2.|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a }. |x |>a (a >0)的解集是{x |x <-a 或x >a }. 【思考导学】 1.|ax +b |<b (b >0)转化成-b <ax +b <b 的根据是什么? 答:含绝对值的不等式|ax +b |<b 转化-b <ax +b <b 的根据是由绝对值的意义确定. 2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例1]解不等式2<|2x -5|≤7. 解法一:原不等式等价于???≤->-7|52|2 |52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即????? ≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为{x |-1≤x < 23或2 7 <x ≤6} 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)???≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)???≤-<<-7 252052x x

不等式组(Ⅰ)的解集为{x | 2 7 <x ≤6} 不等式组(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23 } ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或2 7 <x ≤6} 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x -5≤7 (Ⅱ)2<5-2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为{x | 2 7 <x ≤6} 不等式(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23 } ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或2 7 <x ≤6}. 点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三. [例2]解关于x 的不等式: (1)|2x +3|-1<a (a ∈R ); (2)|2x +1|>x +1. 解:(1)原不等式可化为|2x +3|<a +1 当a +1>0,即a >-1时,由原不等式得-(a +1)<2x +3<a +1 - 24+a <x <2 2 -a 当a +1≤0,即a ≤-1时,原不等式的解集为?, 综上,当a >-1时,原不等式的解集是{x |-24+a <x < 2 2 -a } 当a ≤-1时,原不等式的解集是?. (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)? ??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x >0 不等式组(Ⅱ)的解为x <- 3 2 ∴原不等式的解集为{x |x <- 3 2 或x >0} 点评:由于无论x 取何值,关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0,故|f (x )|<a (a ≤0)的解集为?. 解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如(2). [例3]解不等式|x -|2x +1||>1. 解:∵由|x -|2x +1||>1等价于(x -|2x +1|)>1或x -|2x +1|<-1 (1)由x -|2x +1|>1得|2x +1|<x -1

含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ...≠.?8 3 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 8 3 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 \ 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为 -≤<-或<≤. 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. ' 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4??? 解之得<< 或<<.4x x 21121 2 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| · B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 : B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=123 2 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2a b -=-+=,解之得=,=.?? ? 123 2 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 、 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x <m . 综上所述得:当≤时原不等式解集为; 当>时,原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1-m <x <m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准.

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