高等代数试题及答案

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷

数学科学 学院 《高等代数》课程试题(A 卷) 共 2 页 第 1 页 考试说明:本课程为闭卷考试,可携带 文具,满分为:100 分.

一.判断题(每题2分,共10分)

1.线性空间V =1V +2V ,则dim 1V +dim 2V =dim V . ( )

2.特征向量的和仍是特征向量. ( )

3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的. ( )

4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间. ( )

5.全体n 阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间. ( )二(20分)已知()1,1,1,1'α=,'A αα=.求A 的特征值和特征向量,并求一正交阵T 使AT T '成对角形.

三(20分)设M 是数域P 上形如1211

2

3

1n n n a a a a a a A a a a -??????=??

????

的循环矩阵的集合, (1) 证明:M 是线性空间 n n P ?的子空间. (2)证明:,,A B M ?∈有AB BA =. (3)求M 的维数和一组基. 四(10分)设A 为3

阶复数矩阵,A E -λ与 0

1

21

202

λλλ+????

+????+??

等 价.,求A 的若当标

准形.

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分

授课教师命题教师或命题负责人签字

年 月 日

院系负责人签

年 月 日

优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号

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共 2 页 第 2 页

五(10分)证明:设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x .

六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换,且=A B B A .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间.

七(10分)设2n 阶矩阵a

b a b A b a

b

a ???????

?

=?

?????????

,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足()()0p f q f

=(零变换)

求证:()()()(),ker ,ker V W S W p f S

q f

=⊕==

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷

学院《XXX XXXXX 》课程试题(A 卷) 共 页 第 页

优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号

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中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案

一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解:

A =?????

???????11

1

1

11111111

1111,3

|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重).

将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量: 11111,,,)'2222α=(

,211

,,0,0)'22

α=(-,

3112,,

,0)'6

6

6

α-

=(-

,43333,,,

)'6

6

6

2

α-

-

=(-

.

所以正交阵1

113262611132

6261230

266130

2

2T ??

-

-

-????

??

??-

-?

?

=????-??????????

而40

'0

0T AT ??

????=??????

. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令11010

10011

0n E D E -??

??

?

???

?

?== ?????

??????

,D 为循环阵, 00n k k

k

E D E -??

=

???

,(k E 为k 阶单位阵) 则2

1

,,,,n n

D D D D

E -= 在P 上线性无关.

且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++ ,令112(),n n f x a a x a x -=++ 有

()A f D =.

B M ?∈,必P ?上1n -次多项式()g x ,使()B g D =,反之亦真.

()()()()AB f D g D g D f D BA ∴===

(3)由上可知:21,,,,n E D D D - 是M 的一组基,且dim M n =. 四.解:A 的行列式因子为33()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.

所以,不变因子为33()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==,初等因子为3(2)λ+, 因而A 的Jordan 标准形为2

1

21

2J -??

?

?=-????-?

?

五.证:"":()()()

()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴==

""?:()0,()0f A g A ==

设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?

()()()()0ξξξξ→

=====B A BA A B A B A

所以ξA 在B 下的像是零,即0V ξ∈A .即证明了0V 是A 的不变子空间. 在B 的值域V B 中任取一向量ηB ,则()()V ηη=∈A B B A B . 因此,V B 也是A 的不变子空间.

综上,B 的值域与核都是A 的不变子空间.

七.解:2

2

()n

E A a b λλ??-=--??

当0b =时,由于A aE O -=,()A m x x a ∴=-

当0b ≠时,由于22()A aE b E O --=,22()()A m x x a b ∴=-- 八.证:先证V W S =+,显然,W S V +?

(),()p x q x 互素,(),()[],u x v x p x ∴?∈使得()()()()1u x p x v x q x += ()()()()u f p f v f q f ε∴+

=(单位变换)

,()()()()V p f u f q f v f αααα

?∈+= 设111()(),()()()[()]0

q f v f p f p f q f v f W ααααα→

===∴∈ 222

()(),()()()[()

]0p f u f q f q f p f u f S

ααααα→

==

=∴∈ V W S V W S ∴?+∴=+

再证:W S +是直和

,()0,()0

()()()()0

{0}W S p f q f u f p f v f q f W S V W S

αααααα→

?∈==∴=+=∴=∴=⊕

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