高等代数试题及答案
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷
数学科学 学院 《高等代数》课程试题(A 卷) 共 2 页 第 1 页 考试说明:本课程为闭卷考试,可携带 文具,满分为:100 分.
一.判断题(每题2分,共10分)
1.线性空间V =1V +2V ,则dim 1V +dim 2V =dim V . ( )
2.特征向量的和仍是特征向量. ( )
3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的. ( )
4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间. ( )
5.全体n 阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间. ( )二(20分)已知()1,1,1,1'α=,'A αα=.求A 的特征值和特征向量,并求一正交阵T 使AT T '成对角形.
三(20分)设M 是数域P 上形如1211
2
3
1n n n a a a a a a A a a a -??????=??
????
的循环矩阵的集合, (1) 证明:M 是线性空间 n n P ?的子空间. (2)证明:,,A B M ?∈有AB BA =. (3)求M 的维数和一组基. 四(10分)设A 为3
阶复数矩阵,A E -λ与 0
1
21
202
λλλ+????
+????+??
等 价.,求A 的若当标
准形.
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分
授课教师命题教师或命题负责人签字
年 月 日
院系负责人签
字
年 月 日
优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号
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共 2 页 第 2 页
五(10分)证明:设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x .
六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换,且=A B B A .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间.
七(10分)设2n 阶矩阵a
b a b A b a
b
a ???????
?
=?
?????????
,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足()()0p f q f
=(零变换)
求证:()()()(),ker ,ker V W S W p f S
q f
=⊕==
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷
学院《XXX XXXXX 》课程试题(A 卷) 共 页 第 页
优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号
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中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案
一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解:
A =?????
???????11
1
1
11111111
1111,3
|(4)E A λλλ-=-|,所以特征值为0,4(3重).
将特征值代入,求解线性方程组()0E A x λ-=,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量: 11111,,,)'2222α=(
,211
,,0,0)'22
α=(-,
3112,,
,0)'6
6
6
α-
=(-
,43333,,,
)'6
6
6
2
α-
-
=(-
.
所以正交阵1
113262611132
6261230
266130
2
2T ??
-
-
-????
??
??-
-?
?
=????-??????????
而40
'0
0T AT ??
????=??????
. 三.证:(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令11010
10011
0n E D E -??
??
?
???
?
?== ?????
??????
,D 为循环阵, 00n k k
k
E D E -??
=
???
,(k E 为k 阶单位阵) 则2
1
,,,,n n
D D D D
E -= 在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++ ,令112(),n n f x a a x a x -=++ 有
()A f D =.
B M ?∈,必P ?上1n -次多项式()g x ,使()B g D =,反之亦真.
()()()()AB f D g D g D f D BA ∴===
(3)由上可知:21,,,,n E D D D - 是M 的一组基,且dim M n =. 四.解:A 的行列式因子为33()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.
所以,不变因子为33()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==,初等因子为3(2)λ+, 因而A 的Jordan 标准形为2
1
21
2J -??
?
?=-????-?
?
五.证:"":()()()
()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴==
""?:()0,()0f A g A ==
设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?. 所以0()()()()f A g A q A r A =+=, 因而()0r A =. 因为()g x 为最小多项式,所以()0r x =.()|()g x f x ∴. 六.证:在B 的核0V 中任取一向量ξ,则
()()()()0ξξξξ→
→
=====B A BA A B A B A
所以ξA 在B 下的像是零,即0V ξ∈A .即证明了0V 是A 的不变子空间. 在B 的值域V B 中任取一向量ηB ,则()()V ηη=∈A B B A B . 因此,V B 也是A 的不变子空间.
综上,B 的值域与核都是A 的不变子空间.
七.解:2
2
()n
E A a b λλ??-=--??
当0b =时,由于A aE O -=,()A m x x a ∴=-
当0b ≠时,由于22()A aE b E O --=,22()()A m x x a b ∴=-- 八.证:先证V W S =+,显然,W S V +?
(),()p x q x 互素,(),()[],u x v x p x ∴?∈使得()()()()1u x p x v x q x += ()()()()u f p f v f q f ε∴+
=(单位变换)
,()()()()V p f u f q f v f αααα
?∈+= 设111()(),()()()[()]0
q f v f p f p f q f v f W ααααα→
===∴∈ 222
()(),()()()[()
]0p f u f q f q f p f u f S
ααααα→
==
=∴∈ V W S V W S ∴?+∴=+
再证:W S +是直和
,()0,()0
()()()()0
{0}W S p f q f u f p f v f q f W S V W S
αααααα→
→
→
→
?∈==∴=+=∴=∴=⊕