2009年B题全国大学生数学建模竞赛论文

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：2109245

所属学校（请填写完整的全名）：苏州工业职业技术学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 张建波

2. 傅婧

3. 颜清华

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：许艾珍

日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

眼科病床的合理安排

摘 要

卫生资源的配置和优化一直是人类研究的主题，其关注度很高。医疗服务质量的改善关系到民生，也是我国构建“和谐社会”的重要基础。病床作为一种重要的医疗资源，其合理的安排和有效的使用能很大程度上改善医疗服务的质量和解决“看病难”的问题。

针对问题一：建立综合指标评价模型。确立诊前延误指标、手术延误指标、就医水平指标和医务效率指标四个构成因素，通过AHP 分析方法确定四个因素在综合指标体系中所占的权重，从而成功的建立评价模型，并利用该模型对FCFS 规则计算出综合指标评价结果为：

90.3624.31 4.7838.45i i U U ω==+++=∑。

针对问题二：建立动态病床安排模型。目标函数是患者在系统中平均逗留时间最短，以时间作为主轴，对每天的空床以“即入即手术”的规则进行病床分配，构成约束条件，得出一个动态规划模型。利用综合指标评价体系对该模型进行评价，得出综合指标评价结果为：

0.20.82 2.41 4.679.968.18i i U U ω==++++=∑

与该时间段实施FCFS 规则的综合评价指数结果为：

0.90.37 2.58 6.9610.82i i U U ω==+++=∑

两者进行比较，得出该模型比FCFS 的资源利用率提高23.69%。

针对问题三：通过对所给数据的处理，预测不同病症住院时间的周期，测定出患者从门诊到住院等待的时间区间即为病人门诊时即告知其大致住院时间的区间：

针对问题四：当考虑周六、周日不安排手术时，问题二的动态病床安排模型的约束条件进行部分调整，对出院时间影响很大，造成患者逗留时间加长，病床安排时间表变动较大。

针对问题五：利用M/M/S 等待制排队模型中的多服务台模型求得五个病区在七种不同病床分配比例下的平均逗留时间，再利用0-1规划模型求得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比列分配结果为：

关键词：综合指标评价模型；动态规划模型；病床合理分配

一、问题重述与分析

1.1问题的重述

医院就医排队是大家熟悉的一个生活现象。例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们需要对某医院眼科病床的合理安排建立数学建模。

医院现有的运行状况如下：

（1）该医院的眼科门诊每天开放，且住院部一共有79张病床。

（2）到医院就诊的患者分为四类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

（3）白内障手术比较简单，且无急诊，目前该医院是统一安排每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多些，大约占到60%，且这类病人要做是周一先做一只，周三再做另一只。且白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

（4）外伤疾病通常属于急诊，病床有空位时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

（5）视网膜疾病、青光眼较复杂，但大致住院以后的2、3天就可以接受手术，主要是术后观察时间较长。这类病人的手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、三。由于该疾病的急诊数量较少，建模时可以不用考虑其急诊状况。

（6）目前，住院部对全体非急诊病人是按照FCFS（First come,First serve）规则安排住院，即所有的患者（急诊除外）都根据门诊的先后顺序安排住院的。但造成等待住院的病人队列却越来越长。

需解决的问题：

（1）问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣；

（2）问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并利用问题一中的指标体系对该问题建立的模型作出评价；

（3）问题三：从病人的角度出发，患者自然希望尽早知道自己大约何时能够住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计数据，在病人门诊时即告知其大致住院时间区间；

（4）问题四：假若住院部周六、周日不安排手术，请重新思考问题二，并探讨手术时间安排是否应作出相应调整；

（5）问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比列大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比列分配模型。

1.2问题分析

上述需解决的五个问题，其核心是建立一个合理的病床安排模型。目前患者就医一般采取的程序是挂号——就诊——交费——取药——住院，每一个阶段都存在排队等待的现象。就住院部现有情况而言，实际流程考虑为门诊——住院——术前准备——手术——出院。

就题设中该眼科室住院床位安排问题，目前采用的是FCFS模型（即先到先服务），实施的结果是造成等待住院的病人队列越来越长。究其原因，主要是现存床位在有

效利用方面出现了一些问题。如白内障患者，安排周三住院，等到下周一才可以实施手术，实际上导致病人多等待了3天时间，因为此时周三住院和周六住院都可以安排在下周一实施手术，这3天住院和不住院的效果等价，那么安排白内障患者周三入住就是不合理的。这种不合理安排不仅给患者带来了经济压力，而且给医院方造成床位资源的浪费即有效利用率的降低。因此，从经验上分析FCFS 模型势必会造成病人队列越来越长。

由于门诊人数是随机出现，通过数据处理发现，日门诊数变化波动较大，分布如下图表1所示。

图表1：日门诊数变化趋势

0102030405060

2468101214

16

所给数据时间段是60天，经过分类汇总统计，得出所有79张床位使用情况处于一个稳定的满量状态，如下图表2所示，图形数据来源见附表1。

图表2：床位满载量分布

1020304050

607080天数

床位使用数

（—— 表示床位使用数；— — 表示入院人数；—*— 表示出院人数）

该图表说明了每天床铺安排属于“即空即住”型，患者能否入住取决于医院此时是否有人出院。基于这种情况，等待的队伍是肯定存在的，但是在有了空床之后，如何安排现有的等待患者，则可以进行灵活调整。

考虑病床安排的合理性，关键是尽力做到降低病人术前准备时间，缩短病人治愈周期，增加一段时间内治愈的人数，提高医院床位资源的有效使用率。模型的合理性主要体现在从门诊日期算起，等待住院的时间、等待手术的时间、恢复出院的时间之和越小越好。它涉及到病床的安排、不同病种的手术安排、恢复时间的分类等若干问题。从量与量之间的关系分析，可以明确知道合理的病床安排模型是在解决以下四个问题：

①缩短患者等待入院的时间；

②缩短患者实际术前准备时间；

③减少排队等待人数的水平；

④医院每天安排手术的次数变化较为稳定。

问题三要求我们对患者大致入住时间进行区间预测。由于受到不同病症术前准备时间的干扰（如白内障术前准备时间是1、2天，青光眼2、3天）和一般情况下的术后恢复时间的不同（不同的患者有所不同），所以模拟住院的时间预测只是理论值，具体的患者住院时间也只能在一个区间上下限内进行一个波动。

对于问题四周六、周日不安排手术而言，模型二的变化在于手术时间的安排上，而手术时间安排会直接影响患者出院时间的变化，也同样影响到后期空床位的变化。

对于问题五来说，它要求医院采取各类病人的占用病床比例大致固定的方案进行病床分配。其分配方案可以分两步完成：

第一步：根据病症建立不同的病房区，以达到每个病房区成为一个独立的服务系统，每个系统可以用排队论的多服务通道模型予以解决；

第二步：通过第一步得到的床数与对应服务系统平均逗留时间形成一个矩阵，利用0—1规划模型求得最优的床位分配数。

二、基本假设与符号说明

2.1基本假设

1、所有患者都只患有一种眼科疾病；

2、安排住院时不考虑手术条件的限制；

3、该医院的眼科医生都具有完成四种病症手术的能力；

4、每一张病床只安排一个病人；

5、急诊情况只设定为外伤；

6、所有患者的门诊、入院、手术的当天都计算在就医时段内。

2.2符号说明：

指标说明：

1、诊前延误指标：衡量患者在门诊过后，在等待安排住院间隔的人文指数；

2、手术延误指标：衡量患者在住院且满足手术条件后，等待医院安排其进行手术期间的资源利用效率指数；

3、就医水平指标：衡量一段时间内，患者就医难度即每天排队等待人数的指数；

4、医务效率指标：衡量一段时间内，医院每天手术次数的指数。

5、治愈周期：患者从门诊开始到恢复离院的时间，其中包括等待住院、等待手术的时间。

三、模型的建立与求解

通过问题的初步分析，我们已经对一些相关因素间的联系有了一个明确了解，对模型应该具备的特点也有了一个大致的轮廓。下面我们将对各个具体问题建立模型并求解。

3.1模型一：综合指标评价体系

评价体系中会涉及到很多方面的因素，也就是多个评价指标。而这些评价指标都在一定程度上影响着评价对象的优劣，并非考虑的指标越多越好，而是要考虑对综合指标数值影响最大的那些主要因素。因此，我们要寻求这样的一些因素，并将其挑出，与综合指标建立起某种函数关系式。

3.1.1评价体系综合指标的组成分析

影响床位分配合理性的因素有很多。我们经过以上的分析筛选，得出该综合评价体系涉及到以下四个重要指标：

①诊前延误指标②手术延误指标③就医水平指标④医务效率指标。

下面我们将对选定该四个指标的合理性做出分析。以下分析的数据均来源于题目提供的2008-7-14到2008-9-7期间的数据。

1、对诊断延误指标的分析

患者门诊预约以后，都有一个等待安排住院的时间间隔，由于急症患者直接优

先安排入住，所以从较长时间来看，可不必考虑这类患者的影响。对于非急症患者，病床安排模型的不同会直接影响到他们何时住院，从而影响到患者的治愈周期，而且这一时间段的处理也会与病床的有效使用率有关。所以有必要在这里设立一个诊前延误指标来反映患者诊前等待的时间。其数学模型为：

U S X =+

标准差与平均数的数值越高，指数越高，反映的模型效果越差。 2、对手术延误指标的分析

从患者的角度出发，自病人进入医院的治疗体系后，从住院到医院安排手术有一个等待时间，若这个等待时间超出了一定的范围，通常是指规定的观察期，相对于医院来说，都是一种病床资源的浪费。我们可以通过定义手术延误指标，来反映患者自住院后获得手术治疗的时间长短情况。而要建立合理的床位分配方案，缩短患者等待时间，是提高床位有效利用的关键。该指标可以通过标准差与平均数这两个量来反映。即其数学模型同样为：

U S X =+

3、对就医水平指标的分析

我们通过处理数据可以得到，等待住院的患者数量随时间变化的分布情况，作出折线图如下图所示：

图表3：等待住院的患者数量随时间变化图

20

40

60

80

100

120

从患者的角度分析，每天排队人数的变化，在一定程度上反映了患者的就医难度。一个合理的病床安排模型，应该可以很好的减缓排队人数的累积，降低就医难度。因此我们设立一个就医水平指标，以反映模型对排队累积这一现象的解决情况。其数学模型仍然为：

U S X =+

4、对医务效率指标的分析

我们对每天的手术次数做出统计，得出手术次数随日期变化的折线图，如下图表4所示。

图表4：手术次数随着时间的变化

010203040506070

5

10

15

20

25

30

由上述图形的波动变化分析可知：手术次数在[]0,29波动。此变化趋势可反映出医院在手术能力方面是没有上限的，也就是说，不管入住的病人属于何种眼科疾病，只要患者满足程序上的手术时间，医院均可以对患者实施手术。所以在综合评价体系中，我们不必考虑医院能否及时安排手术的情况。而需考虑的是，从医生的角度出发，每天手术次数的波动越低越好，即一方面是其S （标准方差）越低越好；另一方面是一段时间内手术次数的平均水平X 越高越好。所以，我们有必要考虑医务效率指标，来反映手术次数的波动对医院整体治愈水平的影响，其模型建立为：

410S

U X

=

由于在数据处理时，与其他的三个指标相比降低了1个数量级，所以需要乘以10。其中S （标准差）代表手术次数的波动情况，S 越大指数越大，反映的模型效果越差；

X （平均数）表示手术次数的整体水平，X 越大，指数越小，反应的效果越好。

3.1.2综合指标评价体系的建立

综上所述，在病床安排模型的评价体系中，我们从医院、患者两个角度出发，共设立了四项评价指标。有上述的数据分析，我们知道这四项指标之间相对独立，且相当重要，满足了指标设定的一般要求。但发现四个指标之间并不是等价的。为了能对四项指标进行科学的整合，我们采用了AHP （层次分析）的方法，通过YAHP 软件进行数据演算，重点对该四项指标分别在整个综合体系中的权重（即i ω）进行求解。

层次分析过程如下： （1）层次结构的建立

（2）软件计算得到的部分结果如图表5所示

图表5：一致性矩阵及各指标对应权重

U i=所对应的权重代表着其指标在综合指标中的重要性，起到调节各(1,2,3,4)

i

指标量间关系的作用。在计算了四项指标的权重之后，由以上的四步分析，我们可

以得到下面的综合指标评价体系数学模型：

1

41

101,2,3n

i i

i i i i n ij ij ij U U S

U X U X S i x X n S ω=?

=??

?=?

?=+=????

=??

?

??=??

∑∑

上述模型中的U 表示的是综合指标，分别由四项i U 构成，各项的计算涉及到平均数X 和标准差S 的求解。

3.1.3评价体系的试运用

我们在得到模型一综合指标评价体系后，对医院现有的病床安排模型FCFS （First come, First serve ）进行试评价。对给出的原始数据进行处理，得到模型计算需要的ij S 、ij X ，最终计算四个指标的详细数值如图表6：

带入模型一求解得综合指标U ，计算结果为：

90.3624.31 4.7838.45i i U U ω==+++=∑

对原始60天的数据统计算中，我们通过模型一的计算，得到了FCFS 模型38.45这样的一个指数。这里暂且不对单独的一个指数加以讨论，在对后面的模型作出同样评价计算后，我们再深入分析比较。 3.2模型二：动态病床安排模型

模型二的建立是为了处理从2008-8-30到2008-9-11这13天内102位门诊患者的住院时间安排。数据中仅有一次是外伤急症的情况，所以我们模型的重点是探讨其它三类非急症眼科疾病的入住安排方案。 3.2.1动态病床安排模型的分析与建立 1、对FCFS 模型的分析

为建立一个优于FCFS 规则的病床安排模型，我们需要分析并总结FCFS 模型在实际运用过程中所产生的不合理因素，并在新模型的建立过程中，考虑解决或缓解这些不合理因素，以达到更好的运行效果。

首先，在FCFS 模型中没有考虑到医院对不同患者采取的不同手术规则这一因素。

而实际的情况是：外伤急诊是任何时候都可以进行手术的；周一、三只进行白内障手术；其他时间只进行青光眼、视网膜疾病的手术；对于白内障（双眼）患者，只能按先周一，后周三的手术顺序。详细的规定见下表：

分析上表的手术规则，可以发现其对病床安排模型的影响，比如白内障患者（双）在周一入住医院后，必须等待周二至周日6天的时间，导致治愈周期延长了4至5天，浪费了医院紧缺的病床资源。所以白内障患者、青光眼患者、视网膜疾病患者都有各自最科学合理的入住时间，我们可以将手术安排时刻表作为一个病床安排住院的准则，这样就在一定程度上缓解了手术延误时间，缩短患者的手术治愈周期。

其次，FCFS 规则同样也没有考虑四种眼病治愈期的构成差异。由于这几种病人从住院到接受手术的时间间隔、手术次数、术后康复时间的不同，我们可以将其大致分为四类，详见下图表8的具体数据显示。

（取2008-8-30到2008-9-11的这13天）

上表中，术后恢复时间是一个统计均值。因为在原始第二组数据中存在79位患者没有出院时间，在对原始第三组数据的初步处理时需要预知8月30号之前住院的患者在后期的出院分布。这里的均值是依据原始第一组349个记录数据计算的，计算模型如下：

i

ij

i

N T T ∑=

其中，i T 表示第i 类病人的术后恢复平均值，∑ij T 表示第i 种病人j 个数据的求和，

i N 表示第i 类病人的总数。详细的计算结果如下表所示：

2、对在对FCFS 模型运行过程中存在的问题分析后，我们清晰的知道，建立新的病床安排模型，其关键在于以医院的手术安排规则、空床数量、各类病人的累积数量为依据，来合理的安排各类患者的入住顺序，提高一定时间内的治愈数量。 3.2.2动态病床安排模型的建立

在求解时，我们以时间作为主轴，对每天的空床以“即入即手术”的规律进行分配，下面给出了一张动态分配示意图，以说明分配流程：

图表10：以时间为主轴的动态病床安排

时间的计算仍然是以天为单位，这里需要指出的是，每天的空床数到后期是一个动态变化的过程，它随着前期入住的患者种类和数量而改变，也就是说，在统计时间的初始入住医院的患者，都将在不久的未来出院，时间间隔视病情分类而定。

由上述约束条件的分析，以及约束量之间的关系分析，我们可以得到下面具体的目标函数：

6

413114

1011max .max ()011,2,...,4;1,2,...,d

ij

i j d

ij i i j d ij ij j i ij ij ij ij i ij Z Min T Y C M C K st T N C f K K K

K C Y i j d

μ======?≥???≥???

∝-??=+?

=??

=??==?∑∑∑∑∑∑（）或（d 是统计的天数）

其中∑∑===641

max i d

j ij T Min Z 表示，排序以后要使得所有病人等待的时间之和最少。

从评价指标体系来看，等待的整体水平降低了，诊前延误指数1U 也会降低；由于患者等待入院的整体时间水平降低，一段时间上看，排队的人数水平也会降低，所以就医水平指数3U 也会有所降低；因为安排的准则是“即入即手术”的原则，所以手术延误指数2U 也一定会有所降低。综合这些量之间的关系，该目标函数的建立是比较合理的。

约束条件之一∑∑==≥3

11i d

j i ij M C Y 表示所选取的一段时间内，第i 种病人必须完成的

治愈人数。因为我们知道，四种病情对医院的的资源利用率会有所不同，但是医院不可以因为该病种的治愈周期较长而推迟该类患者的就诊。该约束条件在一定程度上保证了病人的权利，维护了病人在就医时的公平地位。在如今强调以人为本的社会里，这是需要我们更加关注的一方面。

离散函数）（ij ij ij C N T -∝max ，表示的含义是：某一天中，所有等待住院的第i 种患者中，等待时间最长的时间间隔。ij T 取自一个人群，该人群为到该天为止，累积的没有住院的人减去被安排住院的人后所剩下的排队人群。

根据上面建立的病床安排模型，计算得到从2008-8-30到2008-9-11 13天的具体安排顺序，详见附表3。 3.2.3模型的评价

单个综合指标评价指数不能衡量模型的优劣，而将若干个综合指标评价指数进行对比，则可以体现出模型之间相对优劣程度。根据原始第三组数据，分别使用FCFS 模型和动态病床安排模型进行病床安排模拟，对模拟的结果进行评价，这样我们便可以衡量和判断到底是哪个模型更加合理。 1、对动态病床安排模型的结果评价

首先处理模型二模拟的结果，得到相应的标准差、平均值，继而算得相关的数据如图表11所示：

图表11：病床安排模型的过程数值

带入综合指标评价模型计算得综合指标U 的结果为：

0.20.82 2.41 4.679.968.18i i U U ω==++++=∑

2、对FCFS 模型的结果评价

为了对比动态病床安排模型的优劣程度，我们需要再次对2008-8-30到2008-9-11 的13天门诊情况，使用FCFS 模型来模拟住院情况，以评价该模型在这一时间段的综合指数。

利用FCFS 的原理，排序得到的详细结果见附录表4。下表是相关重要过程量：

带入综合指标评价模型计算得综合指标U 的结果为：

0.90.37 2.58 6.9610.82i i U U ω==+++=∑

3、两个综合指数的对比

对同一种数据的处理，两个模型得到了不同的综合指标评价指数：动态病床安排模型的结果为8.18，而FCFS 模型的结果为10.72。我们可以粗略地估算一下模型带来的效率提升：

%69.23%10082

.1018.882.10=?-=η

上述结果表明：使用动态病床安排模型比使用FCFS 模型的效果提升了23.69%，这样的一个效果是我们所希望看到的。 3.3问题三的解决 3.3.1模型的分析

从一个长期的角度来看，某种病情产生的门诊数与治愈的人数会处于一种动态平衡，即每天等待手术的人数只会在一个较小的范围内波动，不同的模型所能解决的只是该病情整体波动水平的高低而已。

只要医院掌握较多的历史数据，使得这些数据能够反映一个相对较长时间段内的各种患者平均等待的时间即可。 3.3.2模型的建立

由于急诊病人的人数相对很少，而且属于“即来即住”型，所以在模型建立时可以不考虑其对结果的影响。

2

11

0()

n

T

T t N

-=

∑

其中，1T 表示患者的门诊时间，2T 表示患者的入院时间，N 表示统计样本的患

者人数，n 表示统计样本的时间跨度，0t 表示患者的平均等待时间。

3.3.3模型的求解

我们采用了题目给出的所有已知数据，也包括使用模型二的动态病床安排模型解出的原未知数据。得到了下面的各种病症的平均等待时间，如下表所示：

根据表格可知，不同患者等待住院的时间区间如下表所示：

3.4问题四的解决

问题四提出，假如住院部周六、周日不安排手术，则模型二的动态病床安排模型将要进行修改，医院安排手术的时间表也要做出相应的调整。 3.4.1对动态病床安排模型的修改

从医院的角度出发，假如周六、周日不安排手术，则会造成一段时间内的手术总量有所降低，从而导致该时段内治愈的患者总量也会降低，同时排队人数的整体水平会有所增加，医院的资源利用率就会降低。而对于模型二的影响并不算大，因为周六和周日不安排手术对模型改变的只有下列两项：

01

1

()ij i ij f K K K K C μ=+???

=?? 具体改变的是1i ij K C μ=。因为如果周六和周日不安排手术，那么本该手术的病人则需要等待1-2天的额外时间，这也同样使得手术延误指数明显增加。不仅如此，由

于不同患者的术后平均恢复时间已经固定，推迟手术时间也就相当于推迟出院时间，继而影响后期空床数的变化，即1K 的后期数值变化。

3.4.2修改后的模型评价

按照周六、周日不安排手术的规则，动态病床安排模型的模拟结果见附表5。这里，仍然使用综合指标评价体系对这一修改后的模型效果进行评价，相关计算数据如下：

带入综合指标评价模型计算得综合指标U 的结果为：

==∑i i U U ω0.66+0.34+2.63+7.09=10.72

可以发现修改后的模型效果指数处于上述两个评价指标 [8.18 10.82] 之间。由于在利用修改后的模型对原始的第三组数据进行重新模拟排序后，治愈的患者数已经有所减少，但它的综合指标仍然在FCFS 模型之上，可见动态病床安排模型在医院的资源利用率上做到了相当大的倾斜，再一次验证了该模型的合理性与科学性。

3.4.3手术时间安排的调整

根据已经模拟出来的两次病床、手术安排时间表（附表3和附表5），统计得到手术次数随时间的两次安排的变化情况，详细见下表：

可以依据上表作出这两次手术安排随时间变化的折线图，详见下图：

图表17：手术安排随时间的变化

3.5模型三：固定病床比例分配模型

为了方便医院的统一管理，提高其自身的运行效率，医院可以将现有的所有病床按照病症进行分类。在对不同病症的病床分配方面，题目建议采用各类病人占用比列大致固定的方案。就此，我们通过建立一个数学模型，以得到确定的病床分配

比例。最终的分配方案必须满足所有病人在系统内的平均逗留时间总和最短。

3.5.1原理分析

对原始数据和后期的动态病床安排模型的模拟数据进行统计，可以得到各类病人占用病床的波动数据，详见下表：

图表19：五类病人占用床数的波动图像

5

10

15

20

25

30

上图中的横坐标1、2、3、4、5分别表示五类病人，上面的一条线反应的是极大值所对应这五类病人的数值变化，下面的一条线反应的是极小值所对应的五类病人的数值变化。不难发现，这些波动的范围给病床比例的设置提供了很大的调控范围，同时也增加了确定比例设置的计算难度。

下面我们需要对一些概念做一些初步的分析，以理解新模型在运行过程中所显示的新特性。

1、关于逗留时间分析

逗留时间表示的是患者自门诊开始计算，到治愈离开时的时间跨度。在固定病床比例模型中，逗留时间应该有两部分组成，一部分是等待住院的时间，另一部分是使用病床的时间。

2、关于考察人群分析

从医院的角度来说，一段时间内五种病人的出现是随机的。我们可以利用上面的所有门诊数据来计算每种病人的出现速度。

3、关于模型状态分析

这样的一个病床固定分配模型，在运行了一段时间以后，都会处于一种动态平衡，并且每个病区都会有各自的动态指数。

3.5.2模型建立

1、模型第一部分

因为医院是采取将病床以病症种类为依据进行分配的，那么既然是为了便于管理，也必然将这些病床设置在同一区域，这样就形成了5个独立的小“医院”。每一个病区之间相互独立，都具有比较大的的类似性。

取一个病区为例，分析其运行的过程，具体流程如下所示：

图表20：患者就诊示意图

若我们将病床看成是服务台，患者看成是顾客，那么这样的一个安排模型便是标准的排队论模型。由于服务台（病床）的数量肯定大于1，所以这属于M/M/S 等待制排队模型中的多服务台模型。

在每一个病区中，每一张病床（服务台）的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布。如图表20所示的顾客排成一行的排队服务系统，这时顾客的到达率及服务台的效率为：

...)3,2,1(,,,,...2,1=??

?≥<===n S

n S S

n n n n n μμμλλ）（

在较长时间后，系统达到平稳状态后，我们可以求得顾客的平均等待时间[1]，其计算公式为：

μ

ρρρμρS S C e td S C t tdF T E W S t S q q q s )1(),()

(),()()(0

)1(0

-=

-===??∞

--∞

设系统的服务时间为V ，则每位顾客的逗留时间为V T T q ==，由此顾客的平均逗留时间[1]为：

μ

1

)()()(+

=+==q q W V E T E T E W

为了简化计算过程，我们寻求了Lingo 软件，运用算法实现了这一数值的计算，详细的算法编程如下表所示：

[1]

Lambda ——表示患者的平均到达速度（λ） Mu ——表示患者的平均使用病床时间（ρ）。 其中W 统计相关数据，得到五种病症的状态输入量如下表所示：

为了描述方便，对每种病症的病床安排范围都用1-7来标记，即对于外伤来说，8-14这7个数分别折射到1-7上，但使用数据时仍然使用原数据。具体的对应关系见下表23所示：