NOIP2005普及组复赛试题(附题解)

noip2005普及组解题报告

陶陶摘苹果

【文件名】: apple.pas/c/cpp

【问题描述】

陶陶家的院子里有一棵苹果树，每到秋天树上就会结出10个苹果。苹果成熟的时候，陶陶就会跑去摘苹果。陶陶有个30厘米高的板凳，当她不能直接用手摘到苹果的时候，就会踩到板凳上再试试。

现在已知10个苹果到地面的高度，以及陶陶把手伸直的时候能够达到的最大高度，请帮陶陶算一下她能够摘到的苹果的数目。假设她碰到苹果，苹果就会掉下来。

【输入文件】

输入文件apple.in包括两行数据。第一行包含10个100到200之间（包括100和200）的整数（以厘米为单位）分别表示10个苹果到地面的高度，两个相邻的整数之间用一个空格隔开。第二行只包括一个100到120之间（包含100和120）的整数（以厘米为单位），表示陶陶把手伸直的时候能够达到的最大高度。【输出文件】

输出文件apple.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示陶陶能够摘到的苹果的数目。

【样例输入】

100 200 150 140 129 134 167 198 200 111

110

【样例输出】

5

分析：拿到这道题，我觉得还是比较简单的。由于数据范围都不超过200，用integer完全就足够了，具体步骤如下：

1．读入

2．循环 1 to 10

3．判断，找出最优解

4．输出

【程序清单】

program apple;

var

i,n,s:integer;

a:array[1..10] of integer;

begin

assign(input,'apple.in');

reset(input);

for i:=1 to 10 do read(a[i]);

read(n);

s:=0;

for i:=1 to 10 do

if n+30>=a[i] then s:=s+1;

close(input);

assign(output,'apple.out');

rewrite(output);

write(s);

close(output);

end.

校门外的树

【文件名】tree.pas/c/cpp

【问题描述】

某校大门外长度为L的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是1米。我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴0的位置，另一端在L的位置；数轴上的每个整数点，即0，1，2，……，L，都种有一棵树。

由于马路上有一些区域要用来建地铁。这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

【输入文件】

输入文件tree.in的第一行有两个整数L

（1 <= L <= 10000）和 M（1 <= M <= 100），L代表马路的长度，M代表区域的数目，L和M之间用一个空格隔开。接下来的M行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

【输出文件】

输出文件tree.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示马路上剩余的树的数目。

【样例输入】

500 3

150 300

100 200

470 471

【样例输出】

298

【数据规模】

对于20%的数据，区域之间没有重合的部分；

对于其它的数据，区域之间有重合的情况。

分析：由于这道题存在着区域之间重合的情况，所以最好用一个数组表示状态，现将其全部置为1，若在区域之间就将其置为0。再在最后进行判断，计算值为1的个数。

【程序清单】

program tree;

var

b:array[0..10000] of integer;

a:array[1..500,1..2] of integer;

j,s,l,i,m:integer;

begin

assign(input,'tree.in');

reset(input);

assign(output,'tree.out');

rewrite(output);

read(l,m);

for i:=1 to m do

begin

read(a[i,1]);

read(a[i,2]);

end;

for i:=0 to l do b[i]:=1;

for i:=1 to m do

for j:=a[i,1] to a[i,2] do b[j]:=0; s:=0;

for i:=0 to l do

if b[i]=1 then s:=s+1;

writeln(s);

close(input);

close(output);

end.

采药

【文件名】：medic.pas/c/cpp

【问题描述】

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

【输入文件】

输入文件medic.in的第一行有两个整数T

（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包

括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

【输出文件】

输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

【样例输入】

70 3

71 100

69 1

1 2

【样例输出】

3

【数据规模】

对于30%的数据，M <= 10；

对于全部的数据，M <= 100。

分析：由于其中的数据比较大，用普通简单的搜索肯定无法在限定时间内完成，所以本题采用了动态规划来完成。这样就容易多了。

【程序清单】

方法一：

type

data=record

time,price:longint;

end;

var

t,m,ans:longint;

med:array[1..100] of data;

countline:array[0..1000] of longint; procedure indata;

var

i:integer;

begin

assign(input,'medic.in');

reset(input);

readln(t,m);

for i:=1 to m do

readln(med[i].time,med[i].price); close(input);

end;

procedure outdata;

begin

assign(output,'medic.out');

rewrite(output);

writeln(ans);

close(output);

end;

procedure count;

var

i,j,k:longint;

begin

fillchar(countline,sizeof(countline),0);

for i:=1 to m do

for j:=t downto 1 do

begin

if (j>=med[i].time) and

(med[i].price+countline[j-med[i].time]>countline[j]) then

countline[j]:=med[i].price+countline[j-me d[i].time];

end;

ans:=countline[t];

end;

begin

indata;

count;

outdata;

end.

解法二：program medic;

var

max,t,m,i,j:Integer;

a,b:array[0..1000,0..1000] of integer;

begin

assign(input,'medic.in');

reset(input);

assign(output,'medic.out');

rewrite(output);

read(t,m);

for i:=1 to m do

begin

read(b[i,1]);

read(b[i,2]);

end;

for i:=1 to m do

begin

for j:=1 to b[i,1]-1 do a[i,j]:=a[i-1,j]; for j:=b[i,1] to t do

begin

if (b[i,1]=j) and (b[i,2]>a[i-1,j]) then a[i,j]:=b [i,2];

if b[i,2]+a[i-1,j-b[i,1]]>a[i-1,j] then

a[i,j]:=b[i,2]+a[i-1,j-b[i,1]]

else a[i,j]:=a[i-1,j];

end;

end;

writeln(a[m,t]);

close(input);

close(output);

end.

circle.pas/c/cpp

【问题描述】

乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。

众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？

注意：

1．如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。

2．如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n 的a次幂和a + L次幂的最后k位都相同。

【输入文件】

输入文件circle.in只有一行，包含两个整数n（1 <= n < 10100）和k（1 <= k <= 100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。

【输出文件】

输出文件circle.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。

【样例输入】

32 2

【样例输出】

4

【数据规模】

对于30%的数据，k <= 4；

对于全部的数据，k <= 100。

刚刚看到这个题目，就知道要进行高精度的运算，这个地球人都知道。如果用直接模拟的算法，我们来计算一下时间复杂度。

1、每计算一次高精度乘法需要O(k2) //这个算法在

网上有相关的优化，本人水平太差，没能掌握

2、总共需要进行至少L次高精度乘法，而L的最大值为

10^100。

期望得分：30。

由此，我们不得不对这个算法进行改进。请看下面的推理。

因为如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a 次幂和a + L次幂的最后k位都相同。

所以如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a 次幂和a + L次幂的最后k-1位都相同。

为了方便，我们把循环长度为K的时候对应的L记为F(K)。那么可以找出一个关系

F(K)=m*F(K-1)，

其中m是整数。

由抽屉原则，我们可以容易地想到，m<=10。

由此，我们可以从F(K-1)轻易模拟求出F(K)。

需要说明的是，在求m的时候判断时要先乘上一个n。

这样我们的算法就诞生了。它的时间复杂度是

。实践证明，这个算法比传说中的标程要快好多。在我小小的C3 1.0G上面竟然只需要1.73s。

给出源代码：(写程序的时候没看原来的题目，变量名起得比较乱。)

program circle;

var start, //一开始的n

time, //每一次要向当前的运算结果上去乘的那个数。

want,//其实want=start，具体的不同请看程序，want的作用是和now进行比对，检查是否找到了合适的m

now,//现在已经运算到的数

ans:string; //答案

add, //m

n:integer; //k

i:integer;

procedure init;

var s2,s:string; t:integer;

begin

assign(input,'circle.in'); reset(input);

readln(s);

close(input);

t:=pos(' ',s);

now:=copy(s,1,t-1);

time:=now;

want:=now;

while length(want)<101 do want:='0'+want; //为了避免越界，在want前面加0(如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。)

s2:=copy(s,t+1,255);

val(s2,n,t);

start:=copy(now,length(now)-n+1,255);

end;

function min(a,b:integer):integer;

begin

if a<=b then min:=a else min:=b;

end;

function multiply(a,b:string):string;//一个高精度乘高精度的function

var a1,a2,a3:array[1..128] of integer;

k,t,l1,l2:integer;

begin

l1:=length(a); l2:=length(b);

for t:=1 to l1 do a1[t]:=ord(a[l1-t+1])-48;

for t:=1 to l2 do a2[t]:=ord(b[l2-t+1])-48;

fillchar(a3,sizeof(a3),0);

for t:=1 to l1 do

for k:=1 to min(103-t,l2) do

inc(a3[t+k-1],a1[t]*a2[k]);

t:=1;

while t<102 do begin

if a3[t]>=10 then begin

inc(a3[t+1],a3[t] div 10);

a3[t]:=a3[t] mod 10;

end;

inc(t);

end;

a:='';

k:=100;

while a3[k]=0 do begin

dec(k);

if k=0 then break;

end; //如果高精度的乘法结果只有0的话就直接输出0

if k=0 then a:='0';

while k>0 do begin

a:=a+chr(48+a3[k]);

dec(k);

end;

multiply:=a;

end;

function check(k:integer):boolean;//检查最后k位是否已经得到了循环长度L

var now2:string;

begin

now2:=multiply(now,start);

check:=(now2[length(now2)-k+1]=want[length(want)-k+1 ])

end;

function mulinteger(a:string;b:integer):string;//高乘单var a1,a3:array[1..128] of integer;

t,k,l1:integer;

begin

l1:=length(a);

for t:=1 to l1 do a1[t]:=ord(a[l1-t+1])-48; fillchar(a3,sizeof(a3),0);

for t:=1 to l1 do

a3[t]:=a1[t]*b;

t:=1;

while t<102 do begin

if a3[t]>=10 then begin

inc(a3[t+1],a3[t] div 10);

a3[t]:=a3[t] mod 10;

end;

inc(t);

end;

a:='';

k:=100; while a3[k]=0 do dec(k);

while k>0 do begin

a:=a+chr(48+a3[k]);

dec(k);

end;

mulinteger:=a;

end;

procedure noanswer;//无解

begin

assign(output,'circle.out'); rewrite(output);

writeln(-1);

close(output);

halt;

end;

begin

init;

ans:='1';//F(0)=1

i:=0;

while ((check(i+1))and(i

if i

repeat

inc(i);

add:=1;

repeat

inc(add);

now:=multiply(now,time);

if add>10 then noanswer;

until (check(i))and(add>1);

ans:=mulinteger(ans,add);

while ((check(i+1))and(i

time:=now;

until i>=n;

assign(output,'circle.out'); rewrite(output); writeln(ans);

close(output);

end.