高等代数(北大版第三版)习题答案一到四章

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。命题任意数域K 都包括有理数域Q 。证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10，。进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。定义（集合的映射）设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：

高等代数北大版第章习题参考答案

第七章线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc

第五章二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2x 2 x 3 ； 2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ； 3） x 12 3x 22 2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3 ； 4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ； 5） x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ； 6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ； 7） x 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 2x 2 x 3 2x x 4 。 1 2 3 4 3 解1）已知 f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，先作非退化线性替换 x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 （ 1） x 3 y 3 则 f x 1 , x 2 , x 3 4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3 4y 2 4y y y 2 y 2 4y 2 1 1 3 3 3 2 2 y 1 3 y 32 4 y 22 ， y 3 再作非退化线性替换 y 1 1 z 1 1 z 3 2 2 y 2 z 2 （ 2） y 3 z 3 则原二次型的标准形为

f x 1 , x 2 , x 3 z 12 4z 22 z 32 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为 x 1 1 z 1 z 2 1 z 3 2 2 x 2 1 z 2 1 （ 3） z 1 z 3 2 2 x 3 z 3 于是相应的替换矩阵为 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 T 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 ， 1 0 0 1 2 1 且有 1 0 0 T AT 0 4 0 。 0 1 2 ）已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 2x 1 x 2 2x 22 4 x 2 x 3 4x 32 ，由配方法可得 f x , x , x x 2 2x x 2 x 2 x 2 4x x 3 4x 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 x 1 x 2 2 x 2 2x 3 2 ，于是可令 y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ， y 3 x 3 则原二次型的标准形为 f x , x 2 , x 3 y 2 y 2 ， 1 1 2 且非退化线性替换为

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第七章线性变换 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。