2.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 教案(人教A版选修1-1)
第2课时椭圆方程及性质的应用
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法
通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．
3．情感、态度与价值观
培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．
●重点、难点
重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．
难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．
教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．
(教师用书独具)
●教学建议
由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．
●教学流程
创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？?
引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.?
引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.
?通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.
?
通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.?
错误
!?错误!?错误!
(对应学生用书第25页)
点与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外． 设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
(1)点P 在椭圆上?x 20
a 2＋y 2
0b 2＝1；
(2)点P 在椭圆内?x 20
a 2＋y 2
0b 2＜1；
(3)点P 在椭圆外?x 20
a
2＋y 2
0b
2＞1.
1．直线与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．
2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 不能．
3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．
直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立?????
y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y
2b 2＝1，消y
得一个一元二次方程．
(对应学生用书第26页)
当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24
＋y 2
＝1相交、相切、相离？
【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得
?????
y ＝x ＋m ， ①x 24
＋y 2
＝1， ② 将①代入②得x 2
4＋(x ＋m )2＝1，
整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0 ③
Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．
当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆位置关系的步骤：
试判断直线y ＝x －1
2与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．
【解】 联立方程组得?????
y ＝x －12，
x 2＋4y 2＝2，
消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0， (*)
Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，
即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．
已知椭圆x 236＋y 2
9
＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B
两点．
(1)当直线l 的斜率为1
2时，求线段AB 的长度；
(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．
【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝1
2
x .
由???
y ＝12
x ，x 2
36＋y
2
9＝1，
可得x 2－18＝0，
若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋1
4(x 1－x 2)2
＝
52
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝
5
2
×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.
(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立?????
x 2
36＋y 2
9＝1，y －2＝k (x －4)，
消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2
，
由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12. 这时直线l 的方程为y －2＝－1
2(x －4)，
即y ＝－1
2
x ＋4.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有???
x 2136＋y 21
9
＝1，x 22
36＋y
22
9＝1，
两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 21
9
＝0.
由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1
＝－1
2，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝
－12(x －4)，即y ＝－1
2
x ＋4.
1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1
k
2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2
求解．
2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：
法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．
法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．
过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 2
2＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求
AB 所在的直线方程及弦长|AB |.
【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上，
∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.
两式相减，得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①
显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2
2(y 1＋y 2)
. ② 又点P (－1,1)是弦AB 的中点，
∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③
把③代入②得：k AB ＝1
2
，
∴直线AB 的方程为y －1＝1
2(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0
由?????
x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，
|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303
.
图2－1－3
如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行
车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？
【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!
【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1.
∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52
b
2＝1，
又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝447
7.
此时l ＝2a ＝887
7≈33.3(米)．
因此隧道的拱宽约为33.3米．
1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．
2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．
有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，
设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，
又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2
30
2＝1.
考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20
30
2≥2
x 20502·y 2
302＝2x 0y 01 500
， 当且仅当x 20502＝y 20
302＝12
，
即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，
此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.
这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).
(对应学生用书第27页)
运用“设而不求”法研究直线和
椭圆位置关系问题
(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，过点
A (－a,0)，
B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为3
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →
，求直线EF 的方程；
(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×3
2×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方
程是x 23
＋y 2
＝1.
2分
(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2
＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.
设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →
，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m
m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2
＋3得 (－
2m m 2
＋3)2＝1
m 2＋3
，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.
7分
(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2
＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋
9＝0(*)，
x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝2
3k 2＋1
.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，
∴k DM ＝y M x M ＋1
＝23k 2
＋1－6k 3k 2＋1
＋1＝－1
k ，
∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝1
3
.
10分
但k ＝1，k ＝1
3均不能使方程(*)有两相异实根，
∴满足条件的k 不存在.
1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．
2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．
1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．
直线与椭圆相交的弦长公式：
|P 1P 2|＝[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2)或|P 1P 2|＝
[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](1＋1
k
2).
2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．
3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.
(对应学生用书第28页)
1．下列在椭圆x 24＋y 2
2＝1内部的点为( )
A ．(2，1)
B ．(－2，1)
C ．(2,1)
D ．(1,1)
【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 2
2得：
14＋12＝3
4
＜1，故点(1,1)在椭圆内． 【答案】 D
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A ．(±3，0)
B ．(0，±3)
C ．(±5，0)
D ．(0，±5)
【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A
3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2
2＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A ．(23，53)
B ．(43，73)
C ．(－23，13
)
D ．(－132，－17
2)
【解析】 联立方程?????
y ＝x ＋1，x 24＋y 2
2＝1，消去y 得
3x 2＋4x －2＝0.
设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．
∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，1
3)．
【答案】 C
4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 2
4＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.
【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立方程?????
2x －y －2＝0，x 25＋y 2
4＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，
则x 1＋x 2＝5
3
，x 1·x 2＝0，
∴|AB |＝1＋k 2AB ·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1＋22
)·(53)2－4×0＝553
.
一、选择题
1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部，则a 的取值范围是( )
A ．－2＜a ＜2
B ．a ＜－2或a ＞ 2
C ．－2＜a ＜2
D ．－1＜a ＜1
【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1内部，
∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A
2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜2
2 C ．k ≤－
22或k ≥22
D ．－
22≤k ≤2
2
【解析】 由?
????
y ＝kx ＋1，
x 2＋2y 2
＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.
∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22
. 【答案】 C
3．直线l 交椭圆x 216＋y 2
12＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( )
A ．2x －3y －1＝0
B ．3x －2y －4＝0
C ．2x ＋3y －7＝0
D ．3x ＋2y －8＝0
【解析】 根据点差法求出k AB ＝－3
2，
∴l 的方程为：y －1＝－3
2(x －2)．
化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D
4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．2个
B ．至多一个
C ．1个
D ．0个
【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝
4
m 2＋n 2
＞2， ∴m 2
＋n 2
＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 2
4＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有
2个交点．
【答案】 A
5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )
A ．2(a －c )
B ．2(a ＋c )
C ．4a
D ．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的
路程是2(a －c )；
当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；
当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .
【答案】 D 二、填空题
6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83
b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及
c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.
【答案】 27
7．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，
设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m
(1＋2)m
＝2－1.
【答案】
2－1或
22
8．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于
A 、
B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．
【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 2
4＝1联立，可以解得A (0，－2)，
B (53，43
)， ∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝5
3(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，
进而求出△AOB 的面积)．
【答案】 5
3
三、解答题
9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)联立方程组?????
y ＝x ＋m ，x 24＋y 2
3
＝1，
消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.
若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2
3＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，
即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．
10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为
2
2
，求椭圆的方程． 【解】 由?
????
ax 2＋by 2＝1，
x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)
(a ＋b )2.
∵|AB |＝22，∴
a ＋
b －ab
a ＋b
＝1.①
设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a
a ＋
b ，
∵OC 的斜率为
22，∴a b ＝22
. 代入①，得a ＝13，b ＝2
3.
∴椭圆方程为x 23＋2
3
y 2＝1.
图2－1－4
11．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，2
2)，
离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分
别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3
k 2
＝2.
【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝2
2
， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22
，
又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0
x 0－1，
因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0， 又x 0＋y 0＝2，
所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3(x 0－1)y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0
y 0
＝2.
(教师用书独具)
(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2
2.直线
y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .
(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为
10
3
时，求k 的值．
【解】 (1)由题意得?????
a ＝2，c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝ 2.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由?????
y ＝k (x －1)，x 24＋y 2
2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.
所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2
.
又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离 d ＝
|k |
1＋k 2
， 所以△AMN 的面积为 S ＝1
2|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2
. 由|k |
4＋6k 21＋2k
2＝103，解得k ＝±1.
(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距；
(2)如果AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆C 的方程．
【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.
直线l 的方程为y ＝3(x －2)．
联立?????
y ＝3x －，x 2a 2＋y 2b 2＝1，
得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.
解得y 1＝－3b 2＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2－2a 3a 2＋b 2.
因为AF 2→＝2F 2B →
，所以－y 1＝2y 2. 则3b 2＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2－2a 3a 2＋b 2.
解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.
故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5＝1.
椭圆几何性质教学设计流程图
篇一：教学设计-椭圆的简单几何性质 《椭圆的简单几何性质》说教学设计 一. 教材分析 1. 地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）第二章第2节，椭圆的简单几何性质。在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了数学的对称美，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。 2. 教材的内容安排和处理 考虑到椭圆的性质有较多拓展，我将本节内容分为两课时来完成，本课为第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。 3. 重点、难点： 教学重点：知识上，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；学生的体验上， 需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。 教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 二. 学生的学情心理分析 我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 三. 教学目标 本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下： 知识与技能： 掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。 过程与方法： 通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数,由数到形的 思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学真谛，进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。 情感、态度与价值观： 在自然和谐的教学氛围中，通过师生间的、生生间的平等交流，塑造学生团结协作，钻研探究的品质和态度，培养学生研究问题的能力；通过对椭圆几何性质的发现，学生得到美的感受，体验到探究之后的成功与喜悦。
高中数学椭圆的简单几何性质教案
课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， 22 22 10 y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( )
A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学 一.教材分析 1. 教材的地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。 在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。 而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数” 的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。 2. 教材的内容安排和处理 本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。 3. 重点、难点： 教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用 教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 二.学生的学情心理分析 我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 三.教学目标 本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下： 知识与技能： 掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。 过程与方法： 通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数,由数到形，的思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”
椭圆的简单几何性质一教案
椭圆的简单几何性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点 . （二）能力训练要求 1. 使学生了解并掌握椭圆的范围 . 2 使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心 . 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆 的截距 . 4. 使学生掌握离心率的定义及其几何意义 . 教学重点 椭圆的简单几何性质 . 教学难点 椭圆的简单几何性质 . （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的） 教学方法 师生共同讨论法 . 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的 研究方法，加强对性质 的理解，掌握椭圆的几何性质 . 教学过程 Ⅰ. 课题导入 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？ 同学们知道， 2008年的 8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的 9 月 25 日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？ （出示神七发射画片并解说） ：2008年9月 25日21时， “神舟七号”载人飞船顺利升空，实现 多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请 问： “神舟七号 ”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。 据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地 点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它 们有几种形 池州第六中学 王超 师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程 22 a x 2 b y 2 1（a b 0），（焦点在 x 轴上）或 22 a y 2 b x 2 1(a ab b 0） （焦点在 y 轴上）（板书）
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的
2.2.2椭圆的几何性质(教案)
２.２.２椭圆的几何性质（教案） 教学目标： 1、理解椭圆的几何性质，掌握a、b、c、e的几何意义及相互关系； 2、掌握由曲线方程研究曲线性质的一般方法； 3、培养学生探究问题的能力。 教学重点：椭圆的几何性质。 复习: 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 讲授新课: 1、范围： 2、对称性：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心。 3、顶点：、、、 线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； a、b的几何意义：a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 思考：已知椭圆的长轴和短轴，怎样确定椭圆焦点的位置？ 4、离心率： 离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0 (2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少。 练习： 一、下列各组椭圆中，哪个更接近于圆？ 二、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标： 三、(理)根据下列条件，求椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6； （2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5）短轴长是4； （3）对称轴都在坐标轴上，长轴的长为10，离心率是0.6； （4）中心在原点焦点在x轴上，右焦点到短轴的距离为2，到右顶点的距离为1。 四、(理)设F是椭圆的一个焦点，是短轴，求这个椭圆的离心率。小结： 圆锥曲线教案椭圆的几何性质教案 教学目标 1．使学生理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率以及准线方程，并能根据其性质画出椭圆的图形． 2．使学生会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程． 3．培养学生观察、发现问题和解决问题的能力，为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备． 教学重点与难点 椭圆的几何性质、第二定义及其应用是教学的重点，难点是对离心率的理解． 教学过程 一、复习提问 师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．) 师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？ 生：当焦点在x轴上时方程为： 当焦点在y轴上时方程为： 师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？ 生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质． 师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质． 师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质． 二、讲授新课 (一)从定义方面研究 1．焦点 通过椭圆第一定义我们知道两个定点叫焦点，分别是： 当焦点在x轴上时方程为： 左焦点：F1(-c，0)，右焦点；F1(c，0)． 当焦点在y轴上时方程为： 下焦点：F1(0，-c)，上焦点：F1(0，c)． 2．椭圆的第二定义、准线方程及离心率 椭圆的简单几何性质 编写：罗万能审核：高二数学组 一、教学目标 1.知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。 2.过程与方法： （1）通过探究，掌握椭圆的简单几何性质，培养猜想能力，合情推理能力，养成发现问题，提出问题的意识； （2）通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学思想的培养。 3.情感态度与价值观： （1）在民主开放的课堂气氛中，培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神； （2）通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情；通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。 二、教学重点与难点： 【重点】椭圆的简单几何性质. 【难点】椭圆的简单几何性质. 电脑，课件，几何画板，三角板，圆规。 三、教学方法： 讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。 四、教学过程设计： （一）复习引入 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 3.椭圆中a,b,c 的关系 （二）探究问题，观察发现 1. 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的范围 引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围，进而用代数的方法，由椭圆的标 准方程22 221(0)x y a b a b +=>>得出椭圆的范围。 教师推导出横坐标x 的范围，由学生类比得出纵坐标y 的范围 结论：椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(如图)． 形依于数，数寓于形，数形相互依存，数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想，也是一个重要的方法 【师生活动】 教师：引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法，由 椭圆的标准方程22 221x y a b +=得出椭圆的范围。 学生：在老师的引导下，观察、推导出椭圆的范围，并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。 【学情预设】 在《椭圆的定义及其标准方程》中，学生已由椭圆的定义探究过|1OA |=a ，|1OB |=|2OB |=b ，因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应 1 A 2 A 1 B 2 B 2.2.2 椭圆的简单几何性质 教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 教学过程： （一）复习： 1．椭圆的标准方程. （二）新课讲解： 1．范围： 由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22 221,1x y a b ≤≤， ∴2 2 x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤， 说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. 2．对称性： 在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称. 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点： 确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，1A 2A 2B 2A O x y F 椭圆的简单几何性质 教学目标： 1.掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率。 2.能根据几何性质解决一些简单的问题，进一步体会数形结合的思想。 重点：椭圆的简单几何性质 难点：椭圆的离心率与椭圆关系。 学情分析 学习解析几何以来，利用方程讨论和研究曲线的几何性质尚属首次，学生有着强烈的求知欲望，迫切希望掌握利用方程研究曲线几 何性质的方法. 学生在学习了直线和圆的方程之后，对直线和圆方程的特点比较熟悉，通过类比能够掌握椭圆标准方程的结构特征。同时，在函数和不等式的学习过程中已经储备了利用等量关系寻找不等关系、图象的对称性、顶点的概念等基本能力。学生的思维方式和思维层次有所积累，因此，学生已经初步具备了一定的利用方程自主探究曲线性质的能力。 学生整体素质较高，独立分析问题，解决问题的能力很强,他们思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 效果分析 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。 通过本节课的学习，绝大多数的同学都能掌握椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，特别是对于本节的重难点离心 高中数学《椭圆的简单几何性质》教案 课题：8．2椭圆的简单几何性质（一） 教学目的： 1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶 2．掌握标准方程中c b a,,的几何意义，以及e c b a,,,的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据 第 2页（共12页） 曲线的方程研究它的性质、画图就是解析 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力 本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的 第 3页（共12页） 第 4页（共12页） 思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程： 一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距 2．标准方程： 12 2 22=+b y a x ， 12 2 22=+b x a y （0>>b a ） 课 题：8．2椭圆的简单几何性质（一） 教学目的： 1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程： 一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2．标准方程：12222=+b y a x ，122 22=+b x a y （0>>b a ） 第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2 例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P 《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。 2.1.2《椭圆的简单几何性质》 第一课时 科目：高二数学 授课教师：张晶晶 指导教师：韩学奎 完成时间：2017年4月6日 课工具课型：新授课 教学工具：多媒体设备 ◆知识与技能目标 通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称 性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念. ◆过程与方法目标 能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函 数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研 究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实 数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的 P的思考问题，探究椭圆概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39 的扁平程度量椭圆的离心率． ◆情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究， 教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观， 激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、 对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则， ①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能． ◆能力目标 （1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题 和解决问题的能力． （2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生 的辩证思维能力． （3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力． （4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决 问题的一般的思想、方法和途径． 教学过程设计 椭圆的简单几何性质试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 2 36＝1 B.x 2100＋y 2 64＝1 C.x 225＋y 2 16＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3 5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1，故选C. 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2. 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对 【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1， 解得y 0＝±3 2， 所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝ 椭圆的简单几何性质教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义． 培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义从哪些方面来研究 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里； ②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a c e = 叫做椭圆的离心率（10< 《2.2.2 椭圆的几何性质》教学案1 ◆ 知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义． ◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里； ②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率（10< 《椭圆的简单几何性质》（第一课时）教学设计 一、教学内容解析 1.内容 本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、对称性、离心率，以及性质的应用. 2.内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中2.2《椭圆》的第二课时，主要内容是研究椭圆的几何性质. 椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量. 从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想. 二、教学目标设置 1.教学目标 （1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力. （2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力. （3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解. （4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操九年级数学椭圆的几何性质教案
罗老师椭圆的简单几何性质教案
2.2.2 椭圆的简单几何性质 教案(人教A版选修2-1)
高中数学_椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学《椭圆的简单几何性质》教案
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椭圆的简单几何性质(二)
《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc
2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质试题
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人教版高中数学《椭圆的简单几何性质》教学设计