D1_6极限存在准则(题)
迫敛准则在极限求解中的应用
迫敛准则在极限求解中的应用 中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广. 关键词：迫敛准则；极限求解；应用 Abstract：In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion. Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application 1. 引言 迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、1000个0相加，极限等于0。 2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、，其中，，极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证： 取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。 【注意】 利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解： 由夹逼定理得： 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在 【分析】 已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证： 1、证明极限存在a) Afr .-f-e 第一早第八节 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、 了解函数和数列的极限存在准则； 2、 掌握两个常用的不等式； 3、 会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、 夹逼准则； 2、 单调有界准则； 3、 两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。首先给出极限存在准 则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（ 5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类 型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1000 3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件 (1) y n X n Z n (n 1,2,3 ) (2) lim y n a, lim z n a, n n 那么数列X n 的极限存在，且lim X n a . n 证： y a, z a, 0, N 1 0, N 2 0,使得 1、 lim n n 2 1000个0相加，极限等于 0。 2、 lim n ——2一无穷多个 .n i 0”相加，极限不能确定。 当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n 取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2. 单调有界准则 准则n 单调有界数列必有极限 几何解释： X 2 X 3 X n X n 1 A 1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。首先证明是有界的，然后证明是单 n 调的，从而得出结论 证：1、证明极限存在 例2证明数列 X n .3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在 当n > N 时，恒有 a y n x n z n a ,即 X n a 成立, lim x n a. n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 o 准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有 (1) g(x) f(x) h(x), ⑵』m g(x) A ，』m h(x) A, x x x x (x ) (x ) 那么lim f (x)存在，且等于A . x x 0 (x ) 准则 和准则'称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出 y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。 解: 又lim n 1 1 求 lim( + =+ L n “n 2+ 1 、n 2 + 2 + J 2 ： ). .n + n 1 + . < ..n 2 + n lim n 1, lim 一n - n lim n 1, 1 2 y n a 由夹逼定理得: -)1- n 如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n 满足条件X 1 x 2 x 3 少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 X 2 X 3 X n X n X n 1 X n 1 ，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减 【分析】已知X n 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 第一章 习题二 重要极限与极限存在准则 无穷小的比较 一. 选择题 1．=--∞ →n n n n n ne e 2 2 11) sin(lim （ A ） （A ）0； （B ）1； （C ）1-； （D ）∞． 2．3)2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则=k （ C ） （A ）23； （B ）32； （C ）23-； （D ）3 2-． 3．设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调有界，{}n x 为数列，则以下选项正确的是（ B ） （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 4．当0→x 时，)11(22-++x x 是x 的（ D ） （A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小． 5．当∞→n 时，4321321n n n +++是5 321321n n n -+-的（ C ） （A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小． 6．当0→x 时，下列结论正确的是（ D ） （A ）22~)1ln(x x -； （B ）x x ~121--； （C ）x e x 2~12-； （D ）x x ~)sin 1ln(+． 7．当0x +→ B ） （A ）1- （B ） （C 1 （D ）1-二．填空题 1．设0≠x ，则___________lim 2tan 2 n n n x x →∞=． 2．221___________sin(21)lim 032x x x x x →-+=-+． 3．4)2( lim =++∞ →x x c x c x ，则___________ln 4c =-． 4．0___________11 lim(sin sin )1x x x x x →-=-． 5． 220___________1sin lim 0 sin 2x x x x →=． 6．220_____ ln cos lim ln cos x ax a bx b →=. 7 ．0 ___________ 13 x →= ． 8 ．0lim x + →= 9．若0x →时，124 (1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，则________4a =-。 10．当0→x 时，x x sin 22sin -是x 的k 阶无穷小量, k= 3 ． 11．设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()n x x 更高阶的无穷小，而sin()n x x 是比2 1x e -更高阶的无穷小。则正整数_________2n =。 三．计算题 1．求n n n n )2 3()32(lim +∞ →． 解：Θ ≤+?=+≤n n n n n 1)32(23)23()32(232n 22 3 ?，且∞→n lim n 21=， 2 3 )23()32(lim =+∴∞→n n n n ． 另解：n n n n )23()32(lim +∞→n n n 1)3 2(23lim 2+?=∞→n n n n 1 lim 21)3 2(lim 23∞→? ?? ? ????? ??+=∞→2 3= ． 2 ．求n →∞+L n n < ++ < L 且1n n == ，所以n →∞ L ＝1 3．求)2211(lim 222n n n n n n n n n n n n -+ ++-++-+ ∞→Λ． 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ → 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞ →极限存在准则两个重要极限
(完整版)1极限存在准则-两个重要极限
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第1章重要极限与极限存在准则习题集及答案
极限存在准则,两个重要极限