2015届高考数学必考题型过关练：专题五+数列 学生版
第24练 基本量——破解等差、等比数列的法宝
题型一 等差、等比数列的基本运算
例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .
题型二 等差、等比数列的性质及应用
例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在
(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10＝2，则S 2 013的值为( )
A ．－2 011
B ．－2 012
C ．－2 010
D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列；
(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a 1，a n ，S n ，n ，d (q )五个量的三个，知三求二，完全破解．
(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘．
(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a 1≠0，利用等比数列求和时注意公比q 是否为1.
1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )
A ．－110
B ．－90
C ．90
D ．110
2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1
4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64
6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n 为整数的正整数n
的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式是a n ＝________.
8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比数列，k 称为公
差比．现给出下列问题：
①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；
③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________．
11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
2n }的前n 项和．
12．(2014·北京)已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和．
第25练常考的递推公式问题的破解方略
题型一由相邻两项关系式求通项公式
例1已知正项数列{a n}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋a n a n＋1＝0，则它的通项公式为()
A．a n＝1
n＋1B．a n＝
2
n＋1
C．a n＝
n＋1
2D．a n＝n
题型二已知多项间的递推关系求通项公式
例2已知数列{a n}满足a1＝1
2，a n a n－1＝a n－1－a n，则数列{a n}的通项公式为________．
题型三构造法求通项公式
例3(1)已知a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，求a n；
(2)已知a1＝1，a n＋1＝a n
a n＋1
，求a n.
总结提高求数列通项公式常见的方法：
(1)观察法：利用递推关系写出前n项，根据前n项的特点观察，归纳猜想出a n的表达式．
(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝?????
S 1， n ＝1，
S n －S n －1
， n ≥2.
(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (4)在已知数列{a n }中，满足
a n ＋1
a n
＝f (n )且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3
a 5的值是( )
A.1516
B.158
C.34
D.38
2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30%改选A 种菜．用a n ，b n 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的人数，如果a 1＝300，则a 10为( ) A ．350 B ．300 C ．400 D ．450
3．已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n )，n 为正整数，则a 2 015等于( )
A ．2 014
B ．2 009
C ．1 005
D ．1 006
4．在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为________．
5．数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为________． 6．设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －
1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项
a n ＝________.
7．若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f (6)＝3＋7＝10，f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2 014(4)＝________.
8．数列{a n }，{b n }满足a n ＝ln n ，b n ＝1
n
，则数列{a n ·b n }中第________项最大．
9．对于正项数列{a n }，定义H n ＝n
a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为
H n ＝2n ＋2
，则数列{a n }的通项公式为________．
10．(2014·课标全国Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝1
1－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.
11．(2014·大纲全国)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．
12．(2014·湖南)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；
(2)若p ＝1
2
，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．
第26练数列求和问题大全
题型一分组转化法求和
例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.
题型二错位相减法求和
例2已知：数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n－n(n∈N*)．
(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{a n}的通项公式；
(3)若数列{b n}的前n项和为T n，且满足b n＝na n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.
题型三 倒序相加法求和
例3 已知函数f (x )＝1
4x ＋2(x ∈R )．
(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝1
2
；
(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n
m
)(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；
(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1
b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m 题型四 裂项相消法求和 例4 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差． 总结提高 数列求和的主要方法： (1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n 分类讨论后再求和． (2)错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法： 这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为 1 a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1 a n ＋1)． 其余还有公式法求和等． 1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2 n (n ＋2)，则其前n 项和S n 为( ) A ．1－1n ＋2 B.32－1n －1n ＋1 C.32－1n －1n ＋2 D.32－1n ＋1－1 n ＋2 2．已知数列112，314，518，71 16 ，…，则其前n 项和S n 为( ) A ．n 2＋1－12n B ．n 2＋2－12n C ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2＋2－1 2 n －1 3．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．在数列{a n }中，若存在一个确定的正整数T ，对任意n ∈N *满足a n ＋T ＝a n ，则称{a n }是周期数列，T 叫作它的周期．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝a (a ≤1)，x n ＋2＝|x n ＋1－x n |，当数列{x n }的周期为3时，则{x n }的前2 013项和S 2 013等于( ) A ．1 340 B ．1 342 C ．1 344 D ．1 346 5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A ．2 008 B ．2 010 C ．1 D ．0 6．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 7．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列???? ?? 1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1.{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 9．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列； (2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)·(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项公式及T n 关于n 的表达式． 10．(2014·湖南)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋1 2}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3 2. 12．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －1 4n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n .