钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算

3 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算

3·1 概 述

受弯构件是指主要承受弯矩和剪力为主的构件。受弯构件是土木工程中应用数量最多，使用面最广的一类构件。一般房屋中各种类型的楼盖和屋盖结构的梁、板以及楼梯和过梁；工业厂房中的屋面大梁、吊车粱、铁路、公路中的钢筋混凝土桥梁等都属于受弯构件。此外，房屋结构中经常采用的钢筋混凝土框架的横梁虽然除承受弯矩和剪力外还承受轴向力(压力或拉力)，但由于轴向力值通常较小，其影响可以忽略不计，因此框架横粱也常按受弯构件进行设计。

按极限状态进行设计的基本要求，对受弯构件需要进行下列计算和验算：

1．承载能力极限状态计算，即截面强度计算

在荷载作用下，受弯构件截面一般同时产生弯矩和剪力。设计时既要满足构件的抗弯承载力要求，也要满足构件的抗剪承载力要求。因此，必须分别对构件进行抗弯和抗剪强度计算。

在进行截面强度计算时，荷载效应(弯矩M和剪力V)通常是按弹性假定用结构力学方法计算；在某些连续梁、板中，荷载效应也可以按塑性设计方法求得。本章主要是介绍受弯构件抗弯强度的计算方法。

2．正常使用极限状态验算

受弯构件一般还需要按正常使用极限状态的要求进行变形和裂缝宽度的验算。这方面的有关问题将在第八章中介绍。除进行上述两类计算和验算外，还必须采取一系列构造措施，方能保正构件具有足够的强度和刚度，并使构件具有必要的耐久性。在本章的3·2中将讨论梁板结构的一般构造。

3.2 梁板结构的一般构造

1、梁板截面的型式与尺寸

梁和板均为受弯构件，梁的截面高度一般都大于其宽度，而板的截面高度则远小于其宽度。钢筋混凝土梁、板可分为预制梁、板和现浇梁、板两大类。钢筋混凝土预制板的截面形式很多，最常用的有平板、槽形板和多孔板三种(图3-1)。钢筋混凝土预制梁最常用的截面形式为矩形和T形(图3-2)。有时为了降低层高将梁做成十字梁、花篮梁，将板搁支在伸出的翼缘上，使板的顶面与梁的顶面齐平。钢筋混凝土现浇梁、板的形式也很多。当板与梁一起浇筑时(图3-3)，板不但将其上的荷载传递给梁，而且和梁一起构成T形或倒L形截面共同承受荷载。

板的厚度应满足承载力、刚度和抗裂的要求，从刚度条件出发，板的最小厚度对于单跨板不得小

l（l板的计算跨度），如扳厚满足上述要求，即不需作挠度验算。现于l,对于多跨连续板不得小于40

浇板的最小厚度为：一般屋盖不宜小于60mm ，一般楼盖不宜小于70mm ，工业建筑楼板不宜小于70mm,行车道下的楼板不宜小于80mm ，双向板不宜小于80mm,密肋楼板不宜小于40mm ，悬臂板不宜小于60mm,无梁楼板不宜小于150mm 。

梁截面尺寸与梁的跨度有关，独立的简支梁的截面高度与其跨度的比值可为121左右，独立的悬臂梁的截面高度与其跨度的比值可为61左右。矩形截面梁的高宽比b h 一般取0.2～5.3；T 形截面梁的h 一般取5.2～0.4（此处b 为梁肋宽）。为了统一模板尺寸和便于施工，当梁高h ≤800mm 时，截面高度取50mm 的倍数，当h ＞800mm 时，则取100mm 的倍数。 2、混凝土强度等级的选择

现浇梁板常用的混凝土强度等级为C20～C35，预制梁板为了减轻自重可采用较高的强度等级。混凝土强度等级的选用须注意与钢筋强度的匹配，当采用HRB335、HRB400钢筋时，为了保证必要的粘结力，混凝土强度等级不应低于C25；当采用新HRB400钢筋时，混凝土强度等级不应低于C30。 3、钢筋的强度等级及常用直径

一般现浇梁板常用的钢筋强度等级为HRB235、HRB335钢筋。对受弯承载力起着决定作用的是钢筋强度，为了节约钢材，跨度较大的梁宜采用HRB400钢筋。

板中配有受力钢筋和分布钢筋。受力钢筋承受荷载作用下所产生的拉力。分布钢筋布置与受力钢筋垂直，交点用细铁丝绑扎或焊接，其作用是固定受力钢筋的位置并将板上荷载分散到受力钢筋上，同时也能防止混凝土由于收缩和温度变化，在垂直于受力钢筋方向产生的裂缝。板中受力钢筋的直径应经计算确定，一般为6～12mm ，其间距：当板厚h ≤150mm 时，不应大于200mm ；当板厚h ＞150mm 时，不应大于h 5.1，且不应大于300mm 。为了保证施工质量，钢筋间距也不宜小于70mm(图3-4b )。当板中受力钢筋需要弯起时，其弯起角不宜小于30°。板中单位长度上的分布钢筋，其截面面积不应小于单位长度上受力钢筋截面面积的10％，其间距不应大于300mm 。当由于混凝土收缩或温度变化对结构产生的影响较大或对裂缝的要求较严时，板中分布钢筋的数量应适当增加。分布钢筋应配置在受力钢筋的弯折处及直线段内，在梁的截面范围内可不配置。

梁中的钢筋有纵向受力钢筋、弯起钢筋、箍筋和架立钢筋等， 纵向受力钢筋的作用是承受由弯矩在梁内h ＜300mm 时，d (图3-4a ) 梁

4mm ；当250mm ≤h ＜800mm 时，不应小于6mm ；当h ≥800mm 时，不应小于8mm 。梁中配有计算需要的纵向受压钢筋时，箍筋直径还应不小于d ／4 (d 为纵向受压钢筋最大直径)。箍筋分开口和封闭两种形式。开口式只用于无振动荷载或开口处无受力钢筋的现浇T 形梁的跨中部分，除此之外均应采用封闭式。箍筋的肢数按如下规定采用(图3-5)

当b ＜150mm 时，（b 为梁宽） 用单肢；

当150mm≤b＜350mm时，用双肢；

当b≥350mm或在一层用的纵向钢筋多于5根，或受压钢筋多于3根时，用四肢(由两个双肢箍筋组成，

梁中的箍筋应按计算确定，但如按计算不需要时，也应按规范规定的构造要求配置箍筋。

当梁高h＞700mm时，在梁的两侧每300～400mm应设置直径不小于10mm的侧面构造钢筋(图3-6) ，并用直径为6mm的拉筋相连，拉筋的间距一般为箍筋间距的2倍。

弯起钢筋的数量、位置由计算确定，一般由纵向受力钢筋弯起而成(图3-7)，当纵向受力钢筋较少，不足以弯起时，也可设置单独的弯起钢筋。弯起钢筋的作用是：其弯起段用来承受弯矩和剪力产生的主拉应力;弯起后的水平段可承受支座处的负弯矩。弯起钢筋的弯起角度：当梁高h＜600mm时，采用45°；当梁高h ≥600mm

架立钢筋设置在梁的受压区外缘两侧，用来固定箍筋和形成钢筋骨架。如受压区配有纵向受压钢筋时，则可不再配置架立钢筋。架立钢筋的直径与梁的跨度有关：当跨度小于4m时，不小于8mm；当跨度在4～6m时，不小于10mm；跨度大于6m时，不小于12mm。

4、混凝土最小保护层厚度

1)混凝土保护层

为防止钢筋锈蚀和保证钢筋与混凝上的粘结，梁、板的受力钢筋均应有足够的混凝土保护层。如图3-4，混凝土保护层应从钢筋的外边缘起算。受力钢筋的混凝上保护层最小厚度应按表3-l采用，同时也不应小于受力钢筋的直径。对于室内正常环境的梁、板，其混凝土保护层最小厚度如图3-4所示。

混凝土保护层的最小厚度(mm) 表3-1

板墙壳梁柱

环境类别

≦C20 C25~C45 ≧C50 ≦C20 C25~C45 ≧C50 一20 15 15 30 25 25

a －20 15 －30 25

二

B －25 20 －35 30

三－30 25 －40 35

注：1 基础的保护层厚度不小于40mm；当无垫层时不小于70mm；

2 处于一类环境且由工厂生产的预制构件，当混凝土强度等级不低于C20时，其保护层厚度可按表中规定减少5mm ，但预制构件中的预应力钢筋的保护层厚度不应小于15mm ；处于二类环境且由工厂生产的预制构件，当表面另作水泥砂浆抹面层且有质量保证措施时，保护层厚度可按表中一类环境数值取用；表中环境类别的划分见本规范第3.4.1条的有关规定；

3 预制钢筋混凝土受弯构件钢筋端头的保护层厚度宜为10mm ；预制肋形板主肋钢筋的保护层厚度应按梁的数值采用；

4 板、墙、壳中分布钢筋的保护层厚度不应小于10mm ；梁、柱中箍筋和构造钢筋的保护层厚度不应小于15mm ；

5 处于二类环境中的悬臂板，其上表面应另作水泥砂浆保护层或采取其他保护措施；

6 有防火要求的建筑物，其保护层厚度尚应符合国家现行有关防火规范的规定。R

2)截面的有效高度

计算梁、板承载力时，因为混凝土开裂后，拉力完全由钢筋承担，则梁、板能发挥作用的截面高度应为从受压混凝土边缘至受拉钢筋截面重心的距离，这一距离称为截面有效高度，用0h 表示(图3-4)。在室内正常环境下，设计计算时0h 可按如下近似数值取用。

梁：一排钢筋时 0h ＝2

d C h ?

?mm 二排钢筋时 0h ＝2

25d

C h ???mm

板：0h ＝20?h mm

式中：C —保护层厚度（mm ）； d —纵筋直径（mm ）。 5、纵向钢筋在梁截面上的布置

矩形截面通常分为单筋矩形截面和双筋矩形截面两种形式。只在截面的受拉区配有纵向受力钢筋的矩形截面，称为单筋矩形截面。不但在截面的受拉区，而且在截面的受压区同时配有纵向受力钢筋的矩形截面，。

3.3 受弯构件是工程中应用最普通的构件，它主要是指各种类型的梁和板，工程中应用最多的象混凝土简支桥、连续桥、框架中的梁、各种楼板等最常见的受弯构件。

1. 正截面。一根承受均布荷载的矩形截面的简支梁,梁截面宽b,高为h,截面形心在h/2处，各截面重心的

连线是梁的计算轴线，与轴线垂直的截面即为正截面。

2. 简支梁内的主要钢筋。简支梁内通常配有以下四种钢筋。构成钢筋骨架。

①纵向受拉钢筋。位于正截面受拉区的底部，主要承受弯矩，保证正截面抗弯承载力，是本章研究的中心内容。

纵向受拉钢筋的合力点至截面受拉区边缘的竖向距离为s a ，则纵向受拉钢筋的合力点至截面受压区

边缘的竖向距离为s a h h ?=0，0h 称为截面有效高度。0bh 称为截面的有效面积。

正截面上，纵向受拉钢筋的总截面面积用s A 表示。纵向受拉钢筋的总截面面积与正截面的有效面积0bh 的比值，称为纵向受拉钢筋的配筋率，用ρ表示：

%0

bh A s

=

ρ （3—1） 纵向受拉钢筋的配筋率ρ是对梁的受力性能有很大影响的一个重要指标，

它在一定程度上标志正截面上纵向受拉钢筋与混凝土破坏方式和破坏形态。

②架立钢筋。放置在梁的受压区顶部，它的主要作用是与纵向受拉钢筋和箍筋构成钢筋骨架。架立钢筋通常按构造要求配置，一般只配两根，直径较小，所以在计算中可不考虑它的影响。

③箍筋。沿梁长按一定间距配置，主要起抗剪作用，本书第四章将专门讨论。

④弯起钢筋。一般将纵向受拉钢筋的一部分 在支座附近弯起，可在跨中抗弯，支座附近弯起部分抗剪。

箍筋和弯起钢筋统称为腹筋。

3.3.2 适筋梁正截面受弯破坏的三个阶段

对均质弹性材料做成的梁，其性能在《材料力学》中已经进行了详细的分析。但对混凝土这种非弹

性材料与钢筋复合形成的梁，它的正截面抗弯承载力国内外学者曾做了大量的试验研究。现在就将这些研究成果介绍如下： 1． 适筋梁的试验。

配筋率比较适当的梁称为适筋梁。图3—8 是一根简支的矩形截面试验梁。在跨度的三分点处两点加载，荷载为P 。于是在跨度的中部形成纯弯段，在纯弯段内承受的弯矩3/0PL M =。

图2.图3—9(e) 是试验梁的弯矩—挠度（u ）的试验曲线。图3—10是梁截面应变和应力分布图形。梁在加载开始到破坏的全过程的工作性能一直是变化的，因此可将曲线(图3—9（e ）)中有明显转折点的点作为界限点，可将适筋梁的受力性能分为I 、II 、III 三个受力阶段。

9 矩

图

①.第I阶段为混凝土开裂前。

当弯矩较小时，挠度和弯矩关系接近直线变化（图3—9（e））。这时的工作特点是梁尚未出现裂缝，

称为第I阶段。在第I阶段当刚刚开始加荷时，由于弯矩很小，量测到的梁截面上的各个纤维应变也很小，

且变形的变化规律符合平截面假定（图3—9（d ））。由于应变很小（图3—10（a ）），这时梁的工作情况与匀质弹性梁相似，混凝土基本上处于弹性工作阶段，应力与应变成正比，受拉区和受压区混凝土应力分布图形为三角形。当弯矩再增大，量测的应变也将随之加大，但其变化规律仍在斜截面假定。由于混凝土抗拉能力较抗压能力弱，又因混凝土受拉时应力—应变关系是曲线性质，故在受拉区边缘处混凝土将首先开始出现塑性性质，应变较应力增长速度为快。从而可以推断出受拉区应力图形开始偏离直线而逐渐变弯。受拉区应力图形中曲线部分的范围将不断沿梁高向上发展。

在弯矩增加到cr M 时，受拉区边缘纤维应变恰好到达混凝土受弯时极限拉应变tu ε，梁遂处于将裂未裂的极限状态，此时即第I 阶段末，以a I 表示之（图3—10(a)）。这时受拉区边缘纤维应变量测值相对还较小，故受压区混凝土基本属于弹性工作性质，即受压区应力图形接近三角形。但这时受拉区应变图形则呈曲线分布。在a I 时，由于固结力的存在，受拉钢筋的应变与周围同一水平处混凝土应变相等。

故这时钢筋应变接近tu ε值，

相应的应力较低（2

/%30~20mm N ）。由于受拉区混凝土塑性的发展，第I 阶段末中性轴的位置较第I 阶段初期略有上升。a I 可作为受弯构件抗裂度的计算依据。 2． 在cr M M =点，出现明显的转点（图3—9(e)），此时进入第II 阶段，钢筋应力随

荷载的增加而增加。当受拉钢筋刚刚达到屈服强度（对应于这时梁所受的弯矩为y M ）的一瞬间，标志着第II 阶段的终结而转化为第III 阶段开始。从截面应力—应变来分析，在cr M M =时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的截面将首先出现第一条裂缝，一旦开裂，梁即由第I 阶段进入第II 阶段。在裂缝截面处，由于

混凝土开裂，受拉区工作主要由钢筋承受。故在弯矩不变的情况下（cr M M =），开裂后的钢筋应力较开裂前将突然增大许多。故裂缝一旦出现即具有一定的开展宽度，并将沿梁高延伸到一定的高度，从而在这个截面处的中性轴的位置也将随之上移。但在中性轴以下裂缝尚未延伸到的部位上，混凝土仍可承受一部分拉力。随着弯矩继续增加，受压区混凝土压应变与受拉钢筋的拉应变的实测值均不断增加，但其平均应变的变化规律仍符合平截面假定（图3—9(d)）。

在第II 阶段中(图3-10(d))，随着弯矩M 的增加，梁的挠度将逐渐增大，裂缝开

展越来越宽。由于受压区混凝土压应变不断的增大，这时受压区混凝土裂性性质将表现得越来越明显。应力增长速度较应变增长速度越来越慢。故受压区应力图形将呈曲线变化。当弯矩继续增加使得受拉钢筋应力刚刚达到屈服强度（y f ）时，称为第II 阶段末，以a II 表示之。

3． 当y M M =的一瞬间，f M M u ~/关系曲线上出现了第二个明显转折点，即进

入第III 阶段，此时的特点是梁的裂缝急剧开展，挠度急剧增加，而钢筋应变有较大增长，但其应力始终

维持屈服强度不变。当M 从y M 增加不变时，即达到梁所承受的最大弯矩u M ，此时标志着梁开始破坏。 这时由于钢筋屈服，它将继续变形而保持应力大小不变（y f ）(图3-10(e))。当弯矩稍有增加，则钢筋应骤增，裂缝宽度随之扩展并沿梁高向上延伸，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小，但为了平衡钢筋

的总拉力T，受压区混凝土的总压力C 也将始终保持不变（T=C）。参看图3-10(f)，这时量测的受压区混凝土边缘纤维应变也将迅速增长，由混凝土应力——应变关系曲线特可知，这时受压区混凝塑性特征将表现更为充分，从而可推断出受压区应力图形将更趋丰满。

弯矩增加直至极限弯矩u M 时，成为第Ⅲ阶段末，以Ⅲa 表示。此时边缘纤维压应变到达（或接近）混凝土受弯时的极限压应变εu ，标志着梁已开始破坏。其后，在试验室一定条件下，一般试验梁虽仍可继续变形，但所承受的弯矩将有所下降（图3—9(e)），最后在破坏区段上受压区混凝土被压碎甚至崩落而告完全破坏。

在第Ⅲ阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力和混凝土所承受的总压力始终保持不变。但由于中和轴逐步上移，内力臂z 不断略有增加,故截面极限弯矩u M 较Ⅱa 时的y M 也略有增加，见图3—9(e)。第Ⅲ阶段末（Ⅲa ）可作为按照“极限状态”承载力计算时的依据。 总结上述试验梁从加荷到破坏的整个过程，应注意以下几个特点：

（1）由图3—9可知，在第Ⅰ阶段梁的挠度增长速度较慢：第Ⅱ阶段由于梁带裂缝工作挠度增长速度较

前为快；第皿阶段由于钢筋屈服，故挠度急剧增加。

（2）由图3—10a 可见，随着弯矩的增加，中和轴不断上移，受压区高度x t

逐渐缩小，混凝土边缘纤维压应变随之加大。受拉钢筋的拉应变也是随着弯矩的增长而加大。但应变图基本上仍是上下两个三角形，即平均应变符合平截面假定。受压区应力图形在第I 阶段为三角形分布；第Ⅱ阶段为微曲的曲线形状；第皿阶段呈更为丰满的曲线分布。

（3）由图3—9(f) s u M M ε~/关系曲线可以看出：在第I 阶段钢筋应力s ε增长速度较慢；当cr M M =时，开裂前、后的钢筋应力发生突变;第Ⅱ阶段s ε较第I 阶段增长速度为快；当y M M =时，钢筋应力到达屈服强度y f ，以后应力即不再增加直到破坏。

3.3.2纵向受拉钢筋配筋率对正截面受弯破坏形态和受弯性能的影响

应予指出，上述梁的正载面三个阶段的工作特点及其破坏特征，系指正常配筋率的适筋梁而言。根据试验研

。

y y u u f 。由图可知，弯矩从y M 增长到u M 时的增量 (u M -y M )虽较小，但相应的挠度增量 (u f -y f )却很大。这意味着适筋梁当弯矩超过y M 后，在截面承载力没有明显变化的情况下，具有较大的耐受变形的能力。换言之，这种梁具

性工作阶段，裂缝开展不宽，延伸不高。如图3-12(b)所示，梁的挠度亦不大。总之，它在没有明显预兆的情况下由于受压区混凝土突然压碎而破坏，故习惯上常称之为“脆性破坏”。 超筋梁虽配置过多的受拉钢筋，但由于其应力低于屈服强度，不能充分发挥作用，造成钢材的浪费。这不仅不经济，且破坏前毫无预兆，故设计中不允许采用这种梁。

比较适筋梁和超筋梁的破坏，可以发现，两者的差异在于：前者破坏自受拉钢筋；后者则始自受压区混凝土。显然，当钢筋和混凝土强度确定之后，一根梁总会有一个特定的配筋率max ρ,它使得钢筋应力到达屈服强度的同时受压区边缘纤维应变也恰好到达混凝土受弯时极限压应变值。这种梁的破坏叫做“界限破坏”，即适筋梁与超筋梁的界限。在国外多称之为“平衡配筋梁”。而对适筋梁则常称之为“低筋梁”。鉴于安全和经济的原因，在实际工程中不允许采用超筋梁，那么这个特定配筋率max ρ实质上就限制了适筋梁的最大配筋率。梁的实际配筋率ρmax ρ时，破坏始自受压区混凝土的压碎；ρ=max ρ时，受拉钢筋应力到达屈服强度的同时受压区混凝土压碎而梁立即破坏。

“界限破坏”的梁，在实际试验中是很难做到的。因为尽管严格控制施工质量、材料、实际强度也会和设计时所预期的选用数值有所不同。无疑，截面尺寸和材料强度的差异，都会在一定程度上导致梁破坏形式的不同。

3、少筋梁（图3—12（c）、3—13）

当梁的配筋率ρ很小时称少筋梁。其特点在于：梁破坏时的极限弯矩u M 小于在正常情况下的开裂弯矩

cr M 。梁配筋率ρ越小，(cr M -u M )的差值越大；ρ越大(但仍在少筋梁范围内)，(cr M -u M )的差值越小。当cr M -u M =0时，从原则上讲，它就是少筋梁与适筋梁的界限。这时的配筋率就是适筋梁最小配筋率的理

论值（min ρ）。在这种特定配筋情况下，梁一旦开裂钢筋应力立即达到屈服强度。 少筋梁破坏时，裂缝往往集中出现一条，不仅开展宽度很大，且沿梁高延伸较高。即使受压区混凝土暂未压碎，但因此时裂缝宽度大于1.5mm 甚至更大，已标志着梁的“破坏”。 从单纯满足承载力需要出发，少筋梁的截面尺寸选定的过大，故不经济；同时，它的承载力取决于混凝土的抗拉强度，属于“脆性破坏”性质。故在土木工程结构中不允许采用。

3.4 正截面承载力计算的基本假定及应用

3.4.1正截面承载力计算的基本假定

1．构件正截面在弯曲变形后依然保持平面，即截面中的应变按线性规律分布； 2．不考虑截面受拉区混凝土承担拉力，即认为拉力全部由受拉钢筋承担；

图3 当εc c f =σ (3-3)

)50(60

1

2??

=uk f n (3-4) 5,010)50(5.0002.0?×?+=k cu f ε (3-5) 5,10)50(0033.0?×??=k cu cu f ε (3-6)

式中

c σ—对应于混凝土压应变为c ε时的混凝土压应力；

0ε—对应于混凝土压应力刚达到c f 时的混凝土压应变，当计算的0ε值小于0.002时，应取为0.002。 cu ε—正截面处于非均匀受压时的混凝土极限压应变，当计算的cu ε值大于0.0033时，应取为0.0033；

正截面处于轴心受压时的混凝土极限压应变应取为0.002;l

k cu f ,—混凝土立方体抗压强度标准值；

n —系数，当计算的n 值大于2.0时，应取为2.0。

4．钢筋应力s σ，取等于钢筋应变s ε与其弹性模量s E 的乘积，但不得大于其设计强度y f 。这意味着钢筋取

用图3-15所示的理想化应力应变曲线，其数学表达式为： 当0≤s ε≤y ε时 s s s E εσ= (3-7)

当s ε＞y ε时

y s f =σ (3-8)

还须指出的是，在图3-14中，混凝土的最大应力取c f ，因为在受弯构件的受压区中，混凝土的应变并非均匀分布，其中的最大应力并不等于混凝土棱柱体轴心受压时的最大应力，但是为了计算考虑差值较小仍用c f 。

3.4.1受压区混凝土应力的计算图形

以单筋矩形截面为例，根据上述四项基本假定就可得出截面在承载能力极限状态下，也就是第III 阶段末的应变分布和应力分布，如图3-16所示。此时截面受压边缘达到了混凝土的极限压应变cu ε若假定这时截面受压区高度为c x ，则受压区某一混凝土纤维的压应变即为：

c

cu

c x y

εε= (3-9) 受拉钢筋的应变为：

c

x h ?0 (3-10)

3—16 混凝

dy b C c

x c ?=∫

σ (3-11)

分别将式(3-2)(

])1(1[0

n

c c c f εεσ?

?=)、(3-3)( c c f =σ)两式代入上式并取002.00=ε，0033.0=cu ε，2=n （50C 以下混凝土，c y ε=）积分可得：

b x f b x f C

c c c c

?=?=798.099

79

(3-12) 适筋梁破坏时，受拉钢筋应力已达到屈服强度。钢筋承受的总拉力T 为：

s y A f T = (3-13)

由水平平衡条件，即T C =的条件，可求得受压区高度c x 等于：

000253.17999h f f h f f bh A x c y c

y

s c ρ== (3-14)

由图3-16，根据弯矩平衡，即∑0=M ，可有：

)412.0(798.0)(000c c c c x

c u x h b x f dy y x h b z C M c ?=+?∫=?=σ (3-15)

将式(3-14)中的c x 代入,并以受拉钢筋所承受的拉力表示，可有：

000)516.01()253.1412.0(h f f A f h f f h A f z T M c

y

s y c y s y u ρρ?=×?=?= (3-16) 利用上述公式虽然可以计算出截面的抗弯强度，但计算过于复杂，在实际设计工作中，特别是采用手算

时难以接受。国内、外规范多采用将压区混凝土应力图形化为等效矩形应力图快的实用计算方法。因为从承载力设计角度来看，确定受压区的实际应力分布图形的意义并不大，而更加关心的问题是受压区应力图的合力及其作用点。其具体作法是采用图3-17所示的等效矩形应力图形来代替二次抛物线加矩形的应力图形。其条件是：

1．等效矩形应力图形的形心位置应与理论应力图形的总形心位置相同，即压应力合力C 的位置不变。

2．等效矩形应力图形的面积应等于理论应力图形(二次抛物线加矩形)的面积，即压应力合力C 的大小不变；

当符合上述两个条件时，应力图形的代换就不会影响抗弯强度的计算结果。

件1

图3 cm f c c c c c bx f x b f bx f C γβγγ824.0=== (3-18)

又由式（3-12）知：

b x f C

c c ?=798.0c c bx f γ824.0= 于是

968.0824.0\798.0==γ (3-19)

为了简化计算，《规范》中建议采用：

1ββ= (3-20) 1αγ= (3-21) c x x 1β= (3-22)

式中 1β—当混凝土强度等级不超过C50时，取1β=0.8,当混凝土强度等级为C80时1β取为0.74，其间按线

形内插法取值。

1α—当混凝土强度等级不超过C50时，取1α=1,当混凝土强度等级为C80时1α取为0.94，其间按线形内插法取值。

这样，我们就可以根据图3-17c 所示单筋矩形截面的应力分布规律按照基本平衡条件 ∑0=X 写出

T C =

所以 s y c A f bx f =1α (3-23) 而截面所能承担的弯矩则为

2

(01x

h bx f Cz M c u ?==α (3-24)

或

2

(0x

h A f M s y u ?= (3-25)

公式(3-23)、(3-24)和(3-25)即为单筋矩形截面抗弯强度计算的三个基本公式。利用这些 公式就可以进行受弯构件正截面的强度设计。 3.4.3 界限相对受压区高度

适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”， 即梁破坏时钢筋应力到达屈服的同时受压区混凝土边缘纤维应变也恰好到达混凝土受弯时的极限压应变值u ε。平衡配筋梁中的相对受压区高度即为界限相对受压区高度

。

如图3-18s

y y E f =

ε （3-26）

此处，为s E 钢筋的弹性模量。设界限破坏时受压区的真实高度cb x 为，则有

y

cu cu cb

h x εεε+=

0 （3-27） 由式（3-19）知，矩形应力分布图形的折算受压区高度c x x 1β=

，亦即cb b x x 1β=，代入上式可的：

y

cu cu b

h x εεεβ+=

01 设0

h x

=

ξ，则：

s

cu y

b

b E f h x εβξ+

==

11

（3-28）

当梁相对受压区高度ξ＜b ξ时，或s ε＞y ε，属于适筋梁；若ξ＞b ξ时，或s ε＜y ε，属于超筋梁。 当=ξb ξ，可求出界限破坏时的特定配筋率，亦即适筋梁的最大配筋率max ρ值。在式中，以b x 代x ，以0max bh ?ρ代s A ，则 0max 1bh f x b f y b c ρα=?? 故

y

c b y c

b f f f f h x 110max αξαρ=×=

（3-29） 在普通钢筋混凝土结构中，常用钢材的b ξ值见表3-2。

b ξ 值 表3-2

冷拉HRB335 冷拔低碳钢丝 钢材等级

y f

(N/mm)

HRB235 210

HRB335 300

HRB400 360

冷拉

HRB235 250

d ≤25mm 380

d ＞25mm 360

焊接 320

绑扎 250

b ξ

0.614 0.55 0.518 0.588 0.488 0.498 0.539 0.580

3.5单筋矩形截面正截面受弯承载力计算 3.5

u M ，即： 图3—

∑0=M M ≤2(01x

h bx f M c u ?=α (3-32) M ≤2

(0x

h A f M s y u ?= (3-33)

式中 M —设计弯矩；

c f — 混凝土弯曲抗压设计强度，见附表；

y f — 钢筋的抗拉设计强度，见附录附表6; s A —受拉钢筋截面面积；

b —截面宽度；

x —应力图形换算成矩形后的受压区高度； 0h —截面有效高度；

1α—系数，取值见3.4。

3.5.2基本计算公式的两个适用条件及意义

为了使所设计的截面保持在适筋梁的范围内，尚应满足以下两个条件。这两条件也就是 基本公式(3-31)、(3-32)和(3-33)的适用条件。 1． 适用条件1

ξ≤b ξ 或 x ≤0h x b b ξ= （3-34）

或

ρ≤y

c

b

f f 1αξ

式中b ξ按前面表3-2采用。满足该条件，则可保证截面不发生超筋破坏。若将b ξ代入公式(3-30)，即可求得单筋矩形截面所能承担的最大弯矩max u M 。因此max u M 也就是在截面尺寸及材料强度已定时，单筋矩形截面充分增加配筋后所能发挥的最大抗弯能力。

)5.01(201max b b c bh f M ξξα?= （3-35）

2．适用条件2

ρ≥min ρ

min ρ值详见附表。满足该条件，则可保证截面不发生少筋破坏。

3.5.3计算系数和应用

利用基本公式进行计算时，必须求解二次方程。这虽然不困难，但毕竟繁琐费时。为了 简化计算，常根据基本公式制成表格供设计时查用。计算表格的形式可以多种多样，下面仅 介绍一种可用于任意混凝土强度等级和钢筋等级的表格的制作原理及应用方法。

把基本公式(3-32)和(3-33)按等式关系写出，即

=?=)5.01(0

02

01h x

h x bh f M c α)5.01(201ξξα?bh f c 5.01(0

0h x

h A f M s y ?=)5.01(0ξ?=h A f s y

令 )5.01(ξξα?=s

ξγ5.01?=s

可得

c f bh M 120αα= (3-36) 0h A f M s s y γ= (3-37)

系数s α、s γ仅与受压区相对高度ξ（亦即c

y

f f 1αρ

）有关，可以预先算出，列成表格以便使用。系数s

γ代表力臂z 与0h 的比值；系数s α称为“截面抵抗矩系数”(相当于匀质弹性材料梁的截面抵抗矩前的1／6)。在适筋梁范围内，ρ或ξ越大，s α值也越大，截面抗弯强度也就越高。从公式(3-35)中可以看出，0h s γ相当于截面的内力臂z ，因此s γ称为“内力臂系数”。它同样随ξ而变化，即ξ值越大，z 值越小。系数s α、s γ值见附表。

具体计算时，若因补插由s α查表求s γ及ξ不便时，亦可直接用下式计算。

s αξ211??= （3-38） 2

211s

s αγ?+=

（3-39）

3.5.4正截面弯受承载力计算的两类问题 1．截面设计

这是结构设计中最常遇到的一种情况。此时仅知道作用在构件截面中的设计弯矩M ，要求确定构件的截面尺寸及配筋。从基本公式(3-31)、(3-32)和(3-33)可知，未知数有c f 1α、y f 、b 、0h 和s A 。因此，必须先选定钢筋等级、混凝土强度等级(即确定相应的设计强度值c f 1α和y f )和截面尺寸，再计算钢筋用量s A ；或者先选定c f 1α、y f 、b 和配筋率ρ，再计算0h 和s A 。下面就按前一种途径举例说明截面设计的步骤。 [例题3-1]一根钢筋混凝土简支梁(图3-20)，计算跨度为7.5=l m ，承受均布荷载3.25kN ／m(已考虑荷载分项系数，但不包括梁自重)，试确定梁的截面尺寸和配筋。

解

(1)选择材料

本例中选用HRB335钢筋作为受拉钢筋，混凝土强度等级选用C20。查附表6和附表2得300=y f N ／mm 2，6.9=c f N ／mm 2。

(2)假定截面尺寸 本例中选用：

47512570012===

l h mm 取500=h mm =b =5.2h 2005.2500=mm 取200=b mm

(3)内力计算

梁自重的荷载分项系数为2.1=G γ，混凝土标准重度为25kN ／m 3，则作用在梁上的总均布荷载为 3.282.1255.02.03.25=×××+=q kN ／m 梁跨中最大设计弯矩为

93.1147.53.288

1

8122=××==ql M kN-m 61093.114×= N-m

(4)配筋计算

在钢筋直径尚未选定时，可先估算截面有效高度0h 。一般，梁的保护层c 值取25mm ，钢筋直径d 可按

20mm 估计。于是当梁内只有一排受拉钢筋时

352

20

250?=??=h h h mm

当布置两排钢筋时，可近似取

50(0?=h h ～)60mm

本例取

465355000=?=h mm

1）将各已知值代入基本公式(3-23)和(3-30)，则得

s A x 3002006.91=××

)2

465(2006.911093.1146

x x ?×××=× 解上两式得

35.154=x mm 8.987=s A mm 2

查附表19，选用2Ф20+1Ф25 (1119=s A mm)。

2）还可采用系数法计算：将各已知值代入基本公式(3-36)和(3-37)，则得

6.914652001093.11426××××=×s α

4653001093.1146×××=×s s A γ

277.0=s α

查表得： 834.0=s γ 2764.0=ξ

则 9.987465

834.03001093.1146

=×××=s A

(5)验算适用条件

① 7.130=x mm ＜25646555.00=×=h b ξmm 或

%20.14652001119

0=×==

bh A s ρ＜%68.13106.9155.01max =×==y

c b f f αξρ 采用系数法计算时：

2764.0=ξ＜55.0=b ξ

②%20.1=ρ＞%15min =ρ

从上例可以看出，截面设计问题并非仅有一个单一解，当M 、c f 1α和y f 已定时，如果选择不同的截面尺寸，就会求得不同的配筋量。截面尺寸越大(特别是h 越大)，所需钢筋就越少。根据经验，在满足适筋梁要

求的整个范围内，截面选得过大或过小都会使造价相对提高。为达到较好的经济效果，在梁的高宽比适宜的情况下，应尽可能使适筋受弯构件的配筋率处在下述经济配筋率的范围内：

钢筋凝土板 3.0～%8.0

矩形截面梁 6.0～%5.1

T 形截面梁 9.0～%8.1

上例中的配筋率为%01.1=ρ，在6.0～%5.1的范围内。

此外，还须要指出的是，如果在进行截面设计时按初选截面计算出ρ＞max ρ则说明初选截面过小，这时就必须加大截面重新进行计算。若确因其它原因不可能加大截面时，可以提高混凝土标号或采用下文将要介

绍的双筋矩形截面。若初选截面得出的ρ＜min ρ，

而又不准备减小截面尺寸时，则配筋量就应按min ρ来确定。 2．截面复核

已知截面尺寸b 、0h 、

配筋量s A 和材料等级(即相应的c f 1α和y f )，要求计算截面所能承担的弯矩u M 或复核截面承受某个设计弯矩M 是否安全。

[例题3-2]一现浇钢筋混凝土简支平板(图3-21)，厚度80=h mm ，计算跨度24.2=l m ，混凝土强度等级为C15，纵向受拉钢筋采用HRB235级，并按φ8⑥150mm 配置。混凝土保护层厚度=c 15mm 。若该平板承受外加标准均布活荷载2=k q kN ／m 2，和30mm 厚细石混凝土面层自重，试复核是否安全。(注：钢筋混33

1．截面尺寸

取1m 宽板带来进行复核，则1000=b mm 。当取15=c mm 时，截面有效高度为 60612

815(80)2(0≈=+?=+?=d

c h h mm 2．求抗弯强度u M

由附录附表2和附表6查得2.7=c f N ／mm 2，210=y f N ／mm 2。由附表22查得每米板宽内的钢筋截面积为335=s A mm 2。代入基本公式(3-31)得

77.91000

2.71335

2101=×××=

=

b

f A f x c s

y αmm

再由基本公式(3-24)得 38770092

77.960(77.910002.71)2(01=?××××=?

=x h bx f M c u αN-mm 3．求设计弯矩M

当分别取自重和活荷载的荷载分项系数为2.1和4.1时，板上均布线荷载为： 99.51)24.12203.02.12508.02.1(=××+××+××=q kN ／m 跨中截面的设计弯矩则为 757.324.299.58

1

8122=××==

ql M kN-m 3757000=N-mm 4．判断是否安全

由于截面抗弯强度大于设计弯矩，即

3877009=u M N-mm ＞3757000=M N-mm 故截面是安全的。 5．验算适用条件

163.06077.90===

h x ξ＜614.0=b ξ %56.060

10003350=×==bh A s ρ＞%15.0min =ρ

故满足适用条件。说明上述复核验算是有效的。

若在复核截面时已有的受拉钢筋配筋率超过了max ρ，则由公式(3-35)直接求出M 。 若在复核截面时发现ρ小于min ρ，而截面和配筋量又都不能再变动，则应按素混凝土 截面来计算截面所能抵抗的弯矩。具体计算方法可参见钢筋混凝土结构设计规范的附录。

3.6双筋矩形截面正截面受弯承载力计算

3.6.1双筋矩形截面的形成及纵向受压钢筋的强度设计值

当单筋截面梁不满足第一个适用条件(x ≤0h b ξ)，而截面高度又受到使用要求的限制不能增大，同时混凝土强度等级也不宜再提高时，可采用双筋截面。即在截面的受压区配置纵向钢筋以补充混凝土受压能力的不足。在一般情况下采用双筋截面是不经济的，应该避免。

双筋截面也可能在另一种情况下出现，即受弯构件在不同的荷载组合情况下产生变号弯矩，如在水平荷载作用下的框架横梁。这是为了承受正负号弯矩分别作用时截面出现的拉力，需在截面的顶部和底部均配置纵向钢筋，因而形成了双筋截面。此外，受压钢筋的存在可以提高截面的延性，因此，抗震设计中要求框架梁必须配置一定比例的纵向钢筋。

双筋截面相当于在单筋截面的基础上通过增配受压钢筋和增加与其对应的受拉钢筋来承担在单筋截面基础上所增加的一部分弯矩。试验研究表明，只要满足b ξξ≤的条件，双筋梁就仍然具有适筋梁的塑性破坏特征，即受拉钢筋首先屈服，然后经历一个或长或短的变形过程，受压区混凝土才被压碎。因此在进行抗弯强度计算时，受压区混凝土仍可采用等效矩形应力图形和换算的弯曲抗压设计强度c f 1α。在此，我们遇到的唯一的新问题就是如何确定受压钢筋的抗压设计强度y f 。

图3—22 封闭箍筋对受压钢筋的约束作用

试验表明，当梁内适当地布置封闭箍筋(图3-22)从而在侧向约束了受压钢筋时，受压钢筋就不会过早向外区屈凸出，能够与受压混凝土共同变形，直到混凝土压碎为止。受压钢筋合力点到构件受压边缘的距离为 2

'

d c a s +

= 其中c 为混凝土保护层厚度，d 为受压钢筋直径。因此当受压边缘的极限压应变取为cu ε时，根据各构件的受压区高度，即可按几何关系求出受压钢筋合力点处混凝土纤维的压应变'

cs ε。由于受压钢筋的应变与同一高度的混凝土纤维应变相等，即'

s ε＝'

cs ε，所以受压钢筋所能发挥的强度为

'''s s s Ε=εσ (3-40)

如果我们认为最不利的情况是受压区按矩形应力分布图形计算时的换算受压区高度只有

'2s a x =

即理论受压区高度只有

''

5.28

.02s s c a a x ==

则从图3-23可以看出

图

1.由于钢筋的抗拉屈服强度与抗压屈服强度相等，故当钢筋的抗拉设计强度y 小于或等于公式(3-41)中求得的400N ／mm 2时，就取钢筋的抗压设计强度等于其抗拉设计强度即：

y y f f =' (3-42a )

这意味着钢筋在达到应变002.0之前就已受压屈服。

2，当钢筋抗拉设计强度大于400N ／mm 2时，取钢筋的抗压设计强度为

'

y f 400=N ／mm 2 (3-42b)

这意味着虽然钢筋的抗压屈服强度较高，但在最不利情况下，当受压区混凝土压碎时，其强度只能发挥到400N ／mm 2。

3.6.2基本计算公式

在考虑了受压钢筋参加工作后，我们就可以得出如图3-24a 所示的双筋矩形截面抗弯强度计算的应力图式。由平衡条件即可写出以下基本公式

∑0=X

s y s y c A f A f bx f =+''1α (3-43)

∑0=M

)()2

('0''01a h A f x

h bx f M s y c ?+?=α (3-44)

式中 '

y f —钢筋的抗压设计强度； 's A —受压钢筋的截面面积；

's a —受压钢筋的合力点到截面受压边缘的距离。 其它符号同前。

双筋截面受弯矩承载力可视为二项之和：

'

1M M M +=

式中 1M —压区混凝土与部分受拉钢筋截面1s A 所提供的相当于单筋矩形截面的受弯承载力 (图3-24b)，可以写出：

bx f A f c s y 11α= (3-45) 2

(011x

h bx f M c ?

=α (3-46) 'M —受压钢筋'A 与部分受拉钢筋A 所提供的受弯承载力 (图3-24c)，可以写出：