2012-2013秋季学期《随机过程》第二章习题

2012-2013秋季学期《随机过程》第二章习题
2012-2013秋季学期《随机过程》第二章习题

最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

随机过程作业题及参考答案(第一章)

第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=,t -∞<<+∞,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解: 1 当0cos 0t ω=,02 t k π ωπ=+ ,即0112t k πω??= + ??? (k z ∈)时, ()0X t ≡,则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠,02 t k π ωπ≠+ ,即0112t k πω?? ≠ + ??? (k z ∈)时, ()~01X N ,,()0E X ∴=,()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴,. 则( )2202cos x t f x t ω- = ;. 2. 利用投掷一枚硬币的试验,定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??,出现正面,出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???;和()1F x ;,以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ,;, 。

00 11101222 11

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设A,B,C 为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程

《随机过程》课程教学大纲 课程编号:02200021 课程名称:随机过程 英文名称:Stochastic Processes 课程类别:选修课 总学时:72 讲课学时:68 习题课学时:4 学分: 4 适用对象:数学与应用数学、信息与计算科学专业 先修课程:数学分析、高等代数、概率论与数理统计 一、课程简介 随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科,它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需,也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随 机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。 二、课程性质、目的和任务 随机过程是概率论的后续课程,具有比概率理论更加实用的应用方面,处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习,使学生了解随机过程的基本概念,掌握最常见而又有重要应用 价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质,能够处理基本的随 机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习,可以让数学 专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程基本要求 通过本课程的学习,要求学生掌握随机过程的一般概念,知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质;掌握泊松过程的定义与基本性质,了解它的实际背景,熟悉它的若干推广;掌握更 新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程,了解更新定理及其应用,知道更新过程的若干 推广;掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念,熟练掌握转移概率、状态分类与性质,熟悉极限 分布、平稳分布与状态空间的分解,了解分枝过程;掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫 哥洛夫方程;掌握布朗运动的定义与基本性质,熟悉随机积分的定义与基本性质,了解扩散过程 与伊藤公式,会求解一些简单的随机微分方程。 四、教学内容及要求 第一章预备知识 §1.概率空间;§2.随机变量和分布函数;§3.数字特征、矩母函数和特征函数;§4. 条件概率、条件期望和独立性;§5.收敛性 教学要求:本章主要是对概率论课程的复习和巩固,为后续学习做准备。 第二章随机过程的基本概念和类型

最新第1章 随机过程的基本概念习题答案

第一章 随机过程的基本概念 1.设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求X (t )的一维概率分布 解:∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0

?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ,以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解:(1)先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0,1两种可能,于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F (x ,1) 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是

随机过程试题及答案

一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-

随机过程

随机过程 随机过程的定义 引言 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象对特定时间点上的一次观察,而且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对像随时间推移的演变过程。 首先我们观察的对象与通常意义上的函数()f t 是不同的, 观察研究的对象本身是一个随机变量X ,这个随机变量随时间的变化过程就是一个随机过程()X t ,通俗的理解。随机变量X 的所有可能取值。另一种解释是,随机过程是随机变量的函数。 随机两字的含义包含着随机过程()X t 的在某一时刻,如i t 时刻的取值, () ()i t t i i X t X t X ===仍然为一随机变量,随机变量i X 取值的样本空间Ω,样本空间中样 本值可以是连续的,也可以是离散的。如{}12,,,n x x x ,意味着在i t 时刻,随机变量i X 的 取某一样本空间的某一元素的概率是确定的(做无穷多次实验的统计规律),在该时刻,所有样本空间元素的概率之和为1。 例如,随机相位正弦波信号。()()sin X t a wt =+Θ 其中Θ服从均匀分布,则固定一个时刻i t 时,显然可求得i t 随机变量()i X t 的分布函数与概率密度。可见其随机过程的概密度是时间参数t 与随机变量Θ的二元函数。 另一种理解是,对随机信号作一次观测相当于做一次随机实验,每次随机实验所得到的观测记录结果()i x t ,是一个确定函数,称为样本函数,所有样本函数的全体构成了随机过程。 随机过程的标准定义 定义:设(?, Σ, P) 是一概率空间,对每一个参数t ∈T , X (t,ω) 是一定义在概率空间(?, Σ, P) 上的随机变量,则称随机变量族 X T ={X (t ,ω); t ∈T}为该概率空间上的一随机过程。其中T ? R 是一实数集,称为指标集或参数集。X (t,ω)通常简写为()X t 。 随机过程{X (t ); t ∈T }可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间,记作 S 。

几种常用的随机过程

第十讲 几种常用的随机过程 10.1 马尔可夫过程 10.1.1马尔可夫序列 马尔可夫序列是指时间参数离散,状态连续的马尔可夫过程。 一个随机变量序列x n (n=1,2,…),若对于任意的n 有 )|(),...,,|(112 1 x x F x x x x F n n X n n n X ---= (10.1) 或 )|(),...,,|(112 1 x x f x x x x f n n X n n n X ---= (10.2) 则称x n 为马尔可夫序列。x n 的联合概率密度为 ) ()|( ) |()|(),...,,(1 1 2 2 11 2 1 x f x x f x x f x x f x x x f X X n n X n n X n X ??---= (10.3) 马尔可夫序列有如下性质: (1) 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔

可夫序列。 (2) ) |(),...,,|(1 21x x f x x x x f n n X k n n n n X -+++= (10.4) (3) )|(),...,|(111x X x x X n n n n E E --= (10.5) (4) 在一个马尔可夫序列中,若已知现在, 则未来与过去相互独立。即 ) |() |()|,(1 x x f x x f x x x f r s X n n X r s n X -= ,n>r>s (10.6) (5) 若条件概率密度)|(1 x x f n n X -与n 无关, 则称马尔可夫序列是齐次的。 (6) 若一个马尔可夫序列是齐次的,且所 有的随机变量X n 具有同样的概率密度,则称该马尔可夫序列为平稳的。 (7) 马尔可夫序列的转移概率满足切普曼 —柯尔莫哥洛夫方程,即 ) |()| ()|(x x f x x f x x f s r X r n X s n X ? ∞ ∞ -= , n>r>s (10.7) 10.1.2马尔可夫链 马尔可夫链是指时间参数,状态方程皆

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分.

050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)10只产品中有3只是次品,每次从其中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数。 (4)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。 (5)一个小组有A,B,C,D,E5个人,要选正副小组长各一人(一个人不能兼二个职务),观察选举的结果。 (6)甲乙二人下棋一局,观察棋赛的结果。 (7)一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球,在其中任意取4只,观察它们具有哪几种颜色。 (8)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 (9)有A,B,C三只盒子,a,b,c三只球,将三只球装入三只盒子中,使每只盒子装一只球,观察装球的情况。 (10)测量一汽车通过给定点的速度。 (11)将一尺之棰折成三段,观察各段的长度。 2.设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。 (1)A发生,B与C不发生。 (2)A与B都发生,而C不发生。 (3)A,B,C都发生。 (4)A,B,C中至少有一个发生。 (5)A,B,C都不发生。 (6)A,B,C中至多于一个发生。 (7)A,B,C中至多于二个发生。 (8)A,B,C中至少有二个发生。

3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ,{}5,4,3=B ,{}7,6,5=C ,具体写出下列各等式 (1)B A 。 (2)B A ?。 (3)B A 。 (4) BC A 。 (5))(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ,?????? ≤<=121x x A ,? ?????<≤=2341x x B ,具体写出下列各式。 (1)B A ?。 (2)B A ?。 (3)B A 。 (4) B A 。 5. 设A ,B ,C 是三事件,且41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P ,1)(=AC P ,求A ,B , C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。 (1) 求恰有90个次品的概率。 (2) 至少有2个次品的概率。 7.(1)在房间里有500个人,问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少(设一年以365天计算) (2)在房间里有4个人,问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管,6只正品晶体管,随机地抽取一只测试,直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 (1) 在第5次测试发现。 (2) 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市,考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ,B 分别表示甲,乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ,28.0)(=AB P ,求)/(B A P ,)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概 率。 (1) 二只都是正品。 (2) 二只都是次品。 (3) 一只是正品,一只是次品。 (4) 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随意地拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1.随机变量,分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2.n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 3.随机变量的数字特征 数学期望:离散型随机变量连续型随机变量 方差:反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量): 相关系数(两个随机变量):若,则称不相关。 独立不相关 4.特征函数离散连续 重要性质:,,, 5.常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0-1分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 6.N维正态随机变量的联合概率密度 ,,正定协方差阵 二.随机过程的基本概念 1.随机过程的一般定义 设是概率空间,是给定的参数集,若对每个,都有一个随机变量与之对应,则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义:随机过程是随机现象的变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面,它是某种随机实验的结果,而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时,是随机变量。当固定时,时普通函数,称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类:根据参数集和状态空间是否可列,分四类。也可以根据之间的概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等。 2.随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布,二维分布,…,维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中,要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的,因此用某些统计特征来取代。(1)均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 (2)方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 (3)协方差函数且有 (4)相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻,时的线性相关程度。

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程试题及答案

1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ,则167)2(12=P ,161}2,2,1{210====X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

第2章 随机过程习题及答案

第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解:对应不同随机试验结果的时间过程的集合,随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程,则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ],随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在,则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2,把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在,则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1,t 2,…,t n ,把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ,,,;,,,称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ,,,;,,,,,,;,,, 存在,则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量,其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

随机过程知识点汇总

2 0 — 1分布 P(X 1) P,P(X 0) q EX DX pq 二项分布 P(X k) C : EX np DX npq 泊松分布 P(X k) k! EX DX 均匀分布略 正态分布 N(a, 2) f(x) (X a)2 2 2 EX DX 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x) P k 连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x) 分布函数F(x) X f(t)dt 2. n 维随机变量 X (X 1,X 2, ,X n ) 其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2, , X n ) P(X 1 X [ , X 2 X 2 , , X n X n ,) 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望:离散型随机变量 X EX X k P k 连续型随机变量 X EX xf (x)dx 2 2 2 方差:DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量 X,Y ): B XY E[(X EX )(Y 相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t _ ____________________________________ VDX v'DY 独立 不相关 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY 则称X,Y 不相关。 4 ?特征函数 g(t) E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k p k 连续 g(t) e ltx f (x)dx 重要性质:g(0) 1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g (0) EX k

第一章随机过程

第一章 随机过程 1.1 引言 对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多,因篇幅关系,只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论,这些知识主要包括:随机变量的概念及相关知识及条件期望;随机过程,特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识;随机微积分;It?公式;一些重要不等式及随机比较定理。 本章的内容参考或转引自文献(Murry ,1998陈希孺,2003;林无烈2002;Mao ,1997;Mao ,2006胡适耕等,2007;王克,2010等),谨向相应的作者表示感谢。 1.2 随机变量 概率用于度量随机事件的可能性,某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω,称为样本空间。Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数: (1)F ?∈ (2)若D F ∈,则其补集c D D F =Ω-∈; (3)若(i 1,2, )i D F ?=,则 1 i i D F ∞=∈。 F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。若C 是样本空间Ω的一个子集族,则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数,记为(C)σ,称为由C 生成的σ代数。由n 的所有开 集所生成的σ代数称为Borel σ代数,记为n B ,其中的元素称为 n 中的Borel 集。 定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度,如果它满足: (1)()1P Ω=; (2)若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ?=?≠,则()11 i i i i P A P A ∞ ∞==?? = ???∑。 三元组(),F,P Ω称为概率空间。若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集,也就是说,如果 ()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈?=, 则G F ?,此概率空间称为完备的。任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中,并重新定义概率测度来完备化。本书总假设所涉及的概率空间为完备的。

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 (1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。 解: ? ? ? ????=n n n n S 100,,1,0 ,其中n 为小班人数。 (2) 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 解:{}18,,4,3 =S 。 (3) 10只产品中有3只是次品,每次从其中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出, 记录抽取的次数。 解: {}10,,4,3 =S 。 (4) 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。 解: {} ,11,10=S 。 (5) 一个小组有A ,B ,C ,D ,E5个人,要选正副小组长各一人(一个人不能兼二个职务), 观察选举的结果。 解: {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其 中,AB 表示A 为正组长,B 为副组长,余类推。 (6) 甲乙二人下棋一局,观察棋赛的结果。 解: {}210,,e e e S =其中,0e 为和棋,1e 为甲胜,2e 为乙胜。 (7) 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球,在其中任意取4只,观察它们具有哪几种颜色。 解: {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中,,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 (8) 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出 二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 解: {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中,0为次品,1为正 品。 (9) 有A ,B ,C 三只盒子,a ,b ,c 三只球,将三只球装入三只盒子中,使每只盒子装一只球, 观察装球的情况。 解: {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中,Aa 表示 球a 放在盒子A 中,余者类推。 (10) 测量一汽车通过给定点的速度。 解:{}0>=v v S (11) 将一尺之棰折成三段,观察各段的长度。 解: (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中,z y x ,,分别表示第一段,第二段,第三 段的长度。# 2. 设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列事件。 (1) A 发生,B 与C 不发生。 解:C B A (2) A 与B 都发生,而C 不发生。 解: C AB (3) A ,B ,C 都发生。 解: ABC (4) A , B , C 中至少有一个发生。 解: C B A ?? (5) A ,B ,C 都不发生。 解: C B A (6) A ,B ,C 中至多有一个发生。 解: A C C B B A ?? (7) A ,B ,C 中至多有二个发生。 解: C B A ?? (8) A ,B ,C 中至少有二个发生。 解: CA BC AB ??. # 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ,{}5,4,3=B ,{}7,6,5=C ,具体写出下列各等式 (1)B A 。 解: {}5=B A ; (2)B A ?。 解: {}10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ;

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