2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.
设1a =
-，则32312612a a a +--= （ A ）
A.24.
B. 25.
C. 10.
D. 12.
2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ C ）
A. B. 10.
C.
D.
3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）
A.314
. B.
37
. C.
12
. D.
47
.
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ D ）
A.3
. B.
23
. C.
13
.
D.
10
.
6．设n 是大于1909的正整数，使得
19092009n n
--为完全平方数的n 的个数是 （ B ）
A.3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22
(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.
2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为
___
3．如果实数,a b 满足条件22
1a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=__1-____.
4．已知,a b
是正整数，且满足+
是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对.
D
C
第二试 （A ）
一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P .
（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.
解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.
设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c O A O B O D O C
c
c ?=
===.
因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.
又12AB x x =-=
=
=
，所以
1122
A B C S A B O C =
?==△
，解得b =±.
二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .
解 作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.
在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4
，AB =5=.
又C D ⊥AB ，由射影定理可得2
AC
9A D =
AB
5
=
，故16B D =A B A D 5
-=，
12C D =5
=
.
因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝
13(A D C D A C )2
5
+-=
.
连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB
＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D
，111
3
I E 5D I sin A D I sin 455
=
=
=∠?.
同理，可求得24I F 5
=
，2D I 5
=
. 所以1I 2I
=
C
三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：
32a b c ++= ① 14
b c a c a b a b c bc
ca
ab
+-+-+-+
+
= ②
证明：以. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc
ca
ab
+-+-+-+
+
++=，
即2
2
22
2
2
()()()8b c a
c a b
a b c
bc ca
ab
+-+-+-+
+
=，
即2
2
2
2
22
()()()440b c a
c a b
a b c
bc ca
ab
+-+-+--+
-+
=，
即2
2
2
2
2
2
()()()0b c a
c a b
a b c
bc
ca
ab
----+-+
+
=，
即()()
()()
()()
0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc
ca
ab
-+---+--+++-+
+=，
即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=， 即2
2
2
()
[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即
22
()
[()]0b c a c a b abc
-+--=，
即
()
()()0b c a c a b c a b abc
-++--+=，
所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.
因此，以. 证法2 结合①式，由②式可得
32232232214
a b c bc ca
ab
---+
+
=
，
变形，得2
2
2
110242()4
a b c abc -++=
③
又由①式得2
()1024a b c ++=，即2
2
2
10242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4
ab bc ca abc --++=
，即16()4096abc ab bc ca =++-.
3
(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-
3
409625632160=-+?-=，
所以16a =或16b =或16c =.
结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.
因此，以.
第二试 （B ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.
解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以A B N C B N ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以
CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=?-∠=?-∠=∠，
因此CQ NC =.
又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以C FB 90C H B ∠=?=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FB H =FB C ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. 同理可证，点E 在CH 的中垂线上.
因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.
第二试 （C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：
32a b c ++= ① 14
b c a c a b a b c bc
ca
ab
+-+-+-+
+
= ②
是否存在以. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc
ca
ab
+-+-+-+
+
++=，
即2
2
22
2
2
()()()8b c a
c a b
a b c
bc ca
ab
+-+-+-+
+
=，
即2
2
2
2
22
()()()440b c a
c a b
a b c
bc ca
ab
+-+-+--+
-+
=，
即2
2
2
2
2
2
()()()0b c a
c a b
a b c
bc
ca
ab
----+-+
+
=，
即()()
()()
()()
0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc
ca
ab
-+---+--+++-+
+=，
即
()
[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc
-+----++++=，
N
B
即222
()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22
()
[()]0b c a c a b abc
-+--=，
即
()
()()0b c a c a b c a b abc
-++--+=，
所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.
因此，以90°. 解法2 结合①式，由②式可得
32232232214
a b c bc ca
ab
---++=，
变形，得222110242()4
a b c abc -++=
③
又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4
ab bc ca abc --++=
，即16()4096abc ab bc ca =++-.
3
(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-
3
409625632160=-+?-=，
所以16a =或16b =或16c =.
结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.
因此，以90°.