高三数学导数及其应用一轮复习

第十四章导数及其应用

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

导数

导数的概念

导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性

函数的极值函数的最值

导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.

第1课时变化率与导数、导数的计算

1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比

??的，即)(x f '＝＝． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值，就是)(x f 在0x 处的导数.

3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 . 4．求导数的方法

(1) 八个基本求导公式

)('C ＝； )('n x ＝；(n∈Q)

)(sin 'x ＝， )(cos 'x ＝

)('x e ＝， )('x a ＝

)(ln 'x ＝， )(log 'x a ＝

(2) 导数的四则运算

)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝

)('uv ＝，)('v

u ＝ )0(≠v

(3) 复合函数的导数

设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导，且)(x f '＝，即x u x u y y '?'='.

12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.

解 ∵Δy=1

1)(1

1)(11)(2

0202

020++

+?+--+?+=

+-+?+x x x x x x x x x

1)(2,1

1)()(2202002

0202

0+++?+?+=??∴

+++?+?+?=

x x x x

x x y x x x x x x

变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数.

解 )

())((lim lim lim

00000000000x x x x x x x x x x x x x x x y

x x x +?+?+?+-?+=?-?+=??→?→?→?

.211lim

x x x x x =

+?+=→?

例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 2

x x y ++=

（2）);3)(2)(1(+++=x x x y

（3）;4cos 212sin 2??

?--=x x y （4）.1111x

y ++

解 (1)∵,sin sin 2

x x x x

x x x x y +

+=++=-

∴y′.cos sin 232

3)sin

()()(23225

2323

x x x x x x x x x x

---

+-+-='+'+'=

（2）方法一 y=（x 2

+3x+2）（x+3）=x 3

+6x 2

+11x+6，∴y′=3x 2

+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）

=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2

+12x+11.

（3）∵y=,sin 2

2cos 2sin x x x =??

? ?

?--

∴.cos 21)(sin 2

sin 21x x x y ='='

??? ??='

（4）x

x x x x x

y -=

+--++=

)

1)(1(111111 ， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--=

? ??-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数.

解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x x

x x x x x x x x =+='-'=

? ??= 例3. 已知曲线y=.3

4313+x

（1）求曲线在x=2处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

解（1）∵y′=x 2

,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4. ∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=343

13+x 与过点P （2，4）的切线相切于点??? ??+343

1,300x x A ，则切线的斜率k='y |

x x ==20

x .

∴切线方程为),(343102

030

x x x x y -=??

? ??+-即.3

+-?=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,3

43223

020

+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x

∴(x 0+1)(x 0-2)2

=0,解得x 0=-1或x 0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2

+2x 相切，则k= . 答案 2或4

1- 例4. 设函数b

x ax x f ++

)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；

（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 2

)(1

)(b x a x f +-

='，

于是???

????=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得???-==,1,1b a 或???????

-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.1

1)(-+

=x x x f （2）证明在曲线上任取一点???

?-+11,00

x x x ．由2

)1(1

1)(--

='x x f 知，过此点的切线方程为 )()1(1

1110200020x x x x x x y -??

????--=-+--．令x=1，得11

00-+=

x x y ，切线与直线x=1交点为???

? ??-+11,100x x ．令y=x ，得120

-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(0

--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为

2221

211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.

变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2

+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式. 解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），∴e=1. ① 又∵f（x ）为偶函数，∴f（-x ）=f （x ）.

故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2

-dx+e. ∴b=0，d=0. ②

∴f（x ）=ax 4+cx 2

+1.

∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1. ③

∵)1('f =(4ax 3

+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④

由③④得a=2

5，c=2

9-. ∴函数y=f （x ）的解析式为.12

5)(24+-=x x x f

1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.

3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.

第2课时导数的概念及性质

1．函数的单调性

⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）

(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的；

② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.

2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念

设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；

② 求方程)(x f '＝0的；

③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .

3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：

① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的值；

② 将y ＝)(x f 的各值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的，)(b f 为函数的；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的，)(b f 为函数的 .

例1. 已知f(x)=e x

-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

解：)(x f '=e x

-a.

（1）若a≤0，)(x f '=e x

-a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.

若a>0,e x

-a≥0,∴e x

≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.

∴e x

-a≥0，即a≤e x

在R 上恒成立.

∴a≤（e x ）min ，又∵e x

>0，∴a≤0.

（3）方法一由题意知e x

-a≤0在（-∞，0］上恒成立.

∴a≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x

在（-∞，0］上为增函数.

∴x=0时，e x 最大为1.∴a≥1.同理可知e x

-a≥0在［0，+∞）上恒成立.

∴a≤e x

在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.

方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0

-a=0,∴a=1.

变式训练1. 已知函数f(x)=x 3

-ax-1.

（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）证明：f(x)=x 3

-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.

（1）解由已知)(x f '=3x 2

-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，

∴)(x f '=3x 2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x 2

对x∈R 恒成立.

∵3x 2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2

≥0,

故f(x)=x 3

-1在R 上是增函数，则a≤0.

（2）解由)(x f '=3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x 2

,x∈(-1,1)恒成立.

∵-1

-1),

在x∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.

（3）证明 ∵f(-1)=a-2

例2. 已知函数f(x)=x 3

+ax 2

+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3

时，y=f(x ）有极值.

（1）求a,b,c 的值；

（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.

解（1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2

+2ax+b,

当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①

当x=3

2时，y=f(x)有极值，则??

? ??'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②

由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2

+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=3

当x

∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

.27

变式训练2. 函数y=x 4

-2x 2

+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

解先求导数,得y′=4x 3-4x,令y′=0,即4x 3

-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:

从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.

例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax

(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

解 ∵f（x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 22（-a)e -ax =e -ax (-ax 2

+2x).

令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2

+2x)>0,得0

. ∴f(x)在（-∞,0),??

? ??+∞,2a

上是减函数，在??

??a 2,0上是增函数.

①当0<

<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f（x ）max =f （1）=e -a

. ②当1≤

≤2,即1≤a≤2时， f(x)在??

? ??a 2,1上是增函数，在??

??2,2a

上是减函数，

∴f(x)max =f ??

? ??a 2=4a -2e -2.

③当

>2时，即0

综上所述，当0

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2

当a>2时，f(x)的最大值为e -a

变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2

(x∈R ),其中a∈R .

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.

解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2

-x,

f(2)=-2,)(x f '=-3x 2

+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,

∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.

（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2

)(x f '=-3x 2+4ax-a 2

=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=

或x=a. 由于a≠0，以下分两种情况讨论.

①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：

因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3

a ），且f （

a ）=-;274

函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0. ②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：

函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3

）, 且f （

a ）=-3274

a .

例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元

（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2

万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.

解（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2

,x∈［9,11］.

(2))(x L ' =(12-x)2

-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令'L =0得x=6+3

2a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a≤5,∴8≤6+3

2a≤

. 在x=6+3

2a 两侧L′的值由正变负.

所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a＜2

9时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2

=9(6-a). ②当9≤6+3

2a≤

328，即29

≤a≤5时，

L max =L(6+32a)=(6+3

a-3-a)［12-(6+3

2a)］2

=4(3-3

1a)3

所以????

???

≤≤??? ?

?-<

≤-=.52

,3134,2

3),6(9)(3

a a a a a Q

答若3≤a＜2

，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a≤5，则当每件售价为(6+3

2a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值

Q(a)=3

3134??? ?

-a (万元).

变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3

（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x∈N *

，且1≤x≤20);

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x∈N *

,且1≤x≤19).

（2）)(x P '=-30x 2

+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，

∴当00,当x>12时，)(x P '<0,

∴x=12时，P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.

（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2

+3 305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，

所以单调减区间为［1，19］，且x∈N *

MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.

研究可导函数

)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．

导数及其应用单元检测题

一、选择题

1.曲线y=e x 在点（2，e 2

）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A.49e 2

B.2e 2

C.e 2

D.2

e 2

2.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )

3.设f(x)=x 2

(2-x),则f(x)的单调增区间是（）

A.(0,)34

B.(,34+∞)

C.(-∞,0)

D.(-∞,0)∪(3

4,+∞） 4.设a∈R ,若函数y=e x

+ax,x∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A.a<-1 B.a>-1

C.a<-e 1

D.a>-e

5.已知函数y=f(x)=x 3

+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，那么p 、q 的值分别为（）

A.6,9

B.9,6

C.4,2

D.8,6

6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x 2

y 的最大值为（）

A.36

B.18

C.25

D.42

7.下列关于函数f(x)=(2x-x 2

)e x

的判断正确的是（） ①f(x)>0的解集是{x|0

②f(-2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)没有最小值，也没有最大值.

A.①③

B.①②③

C.②

D.①② 8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( ) A.0＜)2('f ＜)3('f ＜f(3)-f(2) B.0＜)3('f ＜f(3)-f(2) ＜)2('f C.0＜f(3)＜)2('f ＜f(3)-f(2) D.0＜f(3)-f(2)＜)2('f ＜)3('f

9.若函数f(x)=x 3

-ax 2

+1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为（） A.a≥3 B.a=3 C.a≤3 D.0

10.函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2

,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（） A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B.a=-4,b=11 C.a =3,b=-3 D.以上都不正确 11.使函数f(x)=x+2cosx 在［0，2

］上取最大值的x 为（） A.0 B.

6π C.3π D.2

π 12.若函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（） A.00 D.b<2

二、填空题

13.若f(x)=x 3+3ax 2

+3(a+2)x+1没有极值，则a 的取值范围为 . 14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：

①f(x）在［-2，-1］上是增函数； ②x=-1是f(x)的极小值点；

③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数； ④x=3是f(x)的极小值点. 其中判断正确的是 .

15.函数f(x)的导函数y=)(x f '的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .

16.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足f(x)=3x 2

+2x )2('f ,则)5('f = . 三、解答题

17.已知函数f(x)=x 3

-2

1x 2

+bx+c.

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;

(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)

恒成立，求c 的取值范围.

18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R.

如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.

19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.

20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数

f(x)在x=-1处取极值.

（1）求f(x)的解析式；

（2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性.

1x2上一点，直线l过点P并与抛物线

21.如图所示，P是抛物线C：y=

C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，

求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.

1，4］22.已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［

时，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范围.

导数及其应用单元检测题答案

一、选择题 1.答案 D 2．答案 A 3.答案 A 4.答案 A 5.答案 A 6.答案 A 7.答案 D 8.答案 B 9.答案 A 10.答案 B 11.答案 B 12.答案 A 二、填空题

13.答案［-1，2］ 14.答案 ②③

15.答案［-1，0］和［2，+∞） 16.答案 6 三、解答题

17.解（1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2

-x+b≥0, ∴b≥x -3x 2

在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2

. 当x=6

1时，g(x)max =

121,∴b≥12

. (2)由题意知)1('f =0，即3-1+b=0，∴b=-2. x∈［-1,2］时，f(x)

-x-2,令)(x f '=0,得x=1或x=-32

.∵f(1)=-2

3+c, f(-,2

)1(,2722)3

c f c +=-+=

f(2)=2+c. ∴f(x)max =f(2)=2+c,∴2+c

.解得c>2或c<-1，所以c 的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.

18.解命题p:由原式得f(x)=x 3-ax 2

-4x+4a,

∴)(x f '=3x 2

-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线. 由条件得)2(-'f ≥0且)2('f ≥0, 即?

?≥-≥+.0480

84a a ∴-2≤a≤2.

命题q:a x x x >--=-1)1(222

∵该不等式的解集为R ，∴a<-1. 当p 正确q 不正确时,-1≤a≤2; 当p 不正确q 正确时，a<-2.

∴a 的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］.

19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2

+ax

∴)(x f '=3x 2

-2(a+1)x+a

要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2

-2(a+1)x+a 在（2，+∞）

上满足)(x f '≥0即可. ∵)(x f '=3x 2

-2(a+1)x+a 的对称轴是x=

+a , ∴a 的取值应满足：?????≥'≤+0(2)231f a 或???

????≥+'>+0)31(23

a f a

解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤3

20.解（1）∵函数F(x)=f(x)-3x 2

是奇函数,

∴F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3.

∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴)1(-'f =0.

f(x)=-2x 3+3x 2+cx, )(x f '=-6x 2

+6x+c ∴)1(-'f =-6-6+c=0,c=12.

∴f(x)=-2x 3

+3x 2

+12x,

（2）)(x f '=-6x 2+6x+12=-6(x 2

-x-2). 令)(x f '=0,得x 1=-1,x 2=2,

函数f(x)在［-1，2］上是增函数. 21. 解设P （x 0，y 0），则y 0=,2

x ,

∴过点P 的切线斜率k=x 0, 当x 0=0时不合题意，∴x 0≠0. ∴直线l 的斜率k l =-0

1x -

, ∴直线l 的方程为y-)(1

100

x x x x --

=. 此式与y=2

1x 联立消去y 得

x 2

.022

200

=--x x x 设Q （x 1,y 1）,M(x,y).∵M 是PQ 的中点，

∴???

????++=+---=-=+=1

2121)1(1122

02020

000010x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2

21x +1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x 2

>0,

∴y=x 2

221x +1≥2.12121·2

+=+x x 上式等号仅当x 2

221x ,即x=±42

1时成立，

所以点M 到x 轴的最短距离是2+1. 22. 解 )(t s '=3t 2

+2bt+c.

由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值. 则)1('s =0, )3('s =0. 即,0627023??

?=++=++c b c b 解得?

?=-=96

c b ∴)(t s '=3t 2

-12t+9=3(t-1)(t-3). 当t∈［2

1，1）时，)(t s '>0. 当t∈(1,3)时，)(t s '<0. 当t∈(3,4)时，)(t s '>0.

则当t=1时，s(t)取得极大值为4+d. 又s(4)=4+d ，

故t∈［2

1，4］时，s(t)的最大值为4+d. 已知s(t)<3d 2

在［2

1，4］上恒成立， ∴s(t)max <3d 2

.即4+d<3d 2

解得d>3

4或d<-1.∴d 的取值范围是{d|d>3

4或d<-1}.

五年高考荟萃 2009年高考题

一、选择题

1.(2009年广东卷文)函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是 ( )

A. )2,(-∞

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ),2(+∞ 答案 D

解析 ()()(3)(3)(2)x x

f x x e x e x e

'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D

2.（2009全国卷Ⅰ理）已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A.1 B. 2 C.-1 D.-2 答案 B

解:设切点00(,)P x y ，则0

000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01

|1x x y x a

00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B

3.（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线

()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是

( )

A.21y x =-

B.y x =

C.32y x =-

D.23y x =-+答案 A

解析由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何

2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，

即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程

12(1)y x -=-，即210x y --=选A

4.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和2

y ax x =+

-都相切，则a 等于

( )

A ．1-或25-64

B ．1-或214

C ．74-或25

-64

D ．74-或7

答案 A

解析设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为

320003()y x x x x -=-

即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或03

2x =-

，当00x =时，由0y =与2

1594

y ax x =+

-相切可得2564a =-，当032x =-时，由272744y x =-与2

1594

y ax x =+

-相切可得1a =-，所以选A . 5.（2009江西卷理）设函数2

()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为

21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为

( )

A ．4

B ．14-

C ．2

D ．12

- 答案 A

解析由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+?=故选A 力。

6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线21

y x =

-在点()1,1处的切线方程为( )

A. 20x y --=

B. 20x y +-=

C.450x y +-=

D. 450x y --= 答案 B 解

111

222121

||[]|1(21)(21)

x x x x x y x x ===--'=

=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.

7.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

解析因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢.

8.（2009辽宁卷理）若1x 满足2x+2x

=5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝ ( ) A.

52 B.3 C.7

D.4 答案 C

解析由题意1

1225x x += ①

222

22l o g (1)5x x +-= ② 所以1

1252x x =-,121log (52)x x =-

即21212log (52)x x =-

令2x 1＝7－2t,代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1) ∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2 于是2x 1＝7－2x 2

9.（2009天津卷理）设函数1

()ln (0),3

f x x x x =

->则()y f x =

( )

A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1

(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1

(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析由题得x

x x x f 33131)`(-=-=

，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(

为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又

()0131

)1(,013,31)1(>+=<-==

e f e e f f ，故选择D 。二、填空题

10.（2009辽宁卷文）若函数2()1

x a

f x x +=+在1x =处取极值，则a =

解析 f ’(x)＝22

2(1)()

(1)

x x x a x +-++ f ’(1)＝34

-＝0 ? a ＝3 答案 3

11.若曲线()2

f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .

解析解析由题意该函数的定义域0x >，由()1

x ax x

。因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x

=+存在零点。

解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1

h x x

=存在交点。当0a =不符合题意，

当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，

故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。

解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程1

20ax x

=在()0,+∞内有解，显然可得()21

,02a x

∈-∞ 12.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .解析考查利用导数判断函数的单调性。

2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，

由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3

:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .解析考查导数的几何意义和计算能力。

231022y x x '=-=?=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15）

答案 : 1>a

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

14.（2009福建卷理）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 答案 (,0)-∞

解析由题意可知'

()2f x ax x

=+，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以2

311

20(0)(,0)2ax a x a x x

=?=->?∈-∞ 15.(2009陕西卷理)设曲线1

*()n y x

n N +=∈在点

（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,

令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 .

答案 -2

1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1

1298991

...lg ...lg ...lg 2

2399100100

n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n

x n a a a x x x ++==∈∴==+?=+?-=+-=

++++====- 解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：

16.（2009四川卷文）设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有

()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则

f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+

②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；

③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；

④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）

答案 ①③④

解析 ①：令1==μλ，则)()()(b f a f b a f +=+故①是真命题同理，④：令0,==μλk ，则)()(a kf ka f =故④是真命题 ③：∵a a f -=)(，则有b b f -=)(

)()()()()()(b f a f b a b a b a f μλμλμλμλ+=-?+-?=+-=+是线性变换，故③是真命

题

②：由e a a f +=)(，则有e b b f +=)(

e b

f a f e e b e a e b a b a f -+=-+?++?=++=+)()()()()()(μλμλμλμλ

∵e 是单位向量，e ≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

17.（2009宁夏海南卷文）曲线21x

y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为。

答案 31y x =+

解析 2'++=x x xe e y ，斜率k ＝200

++e ＝3，所以，y －1＝3x ，即31y x =+ 三、解答题

18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈-∈，

（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域；

(II)证明：()21

102

f x -≤≤-

分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的

分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。

()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、

1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，

()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有

右图中阴影部分

即是满足这些条件的点(),b c 的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标()3

222233f x x bx cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）

再利用2x 的范围，并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。解析由题意有()2

2223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．①

又()3

222233f x x bx cx =++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

消去b 可得()32221322

f x x x =-+．