2018年省际名校联考三数学试题(理科)(定稿)

2018年省际名校联考三数学理科试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1. 已知集合(){}

158log |22+-==x x y x A ，{|1}B x a x a =<<+，若A B =?I ，则a 的取值范围是

A.(]3，∞-

B.(]4，∞-

C.(3,4)

D.[]4,3

2.若54)6πcos(=+

α，则=-)3π

sin(α A. 54 B.53 C.53- D.54-

3.设函数()f x 在R 为增函数，则下列结论一定正确的是

A.1

()

y f x = 在R 为减函数 B.()y f x =在R 为增函数

C.()2f x y -= 在R 为减函数

D.3[()]y f x =-在R 为增函数

4.投掷两枚质地均匀的正方体骰子，将两枚骰子向上点数之和记作S . 在一次投掷中，已知S 是奇数，则 9S =的概率是

A.16

B.2

9

C.19

D.15 5. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC BD ?=

A. 2

B. 3

C. 6

D. 12

6.以(0,b)为圆心，a 为半径的圆与双曲线22

22:1y x C a b

-=(,0)a b >的渐近线相离，

则C 的离心率的取值范围为

A.1? ??

B.+?

∞????

C.1? ??

D.+?

∞????

7.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对*

n ?∈N ， 都有234n n S a =+，则

A.223n

-? B.C.1

43n --? D.8. 小正方形的边长均为1 体积是

A.

3

32 C.16 9. 最接近的是 A.14 C.π

4 D.1-π4

10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不容 异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积

相等.如图，设满足不等式组240,||4,0,x y x y ?-≥?

≤??≥?

的点(,)x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕y 轴旋转

2222

224,x y r ?+≤?A.185 B.92 C.367 D.16

3

12.记函数()sin 2cos f x nx nx =-在区间[0,π]内的零点个数为*

()n a n ∈N ，则数列{}n a 的前20项的和

是( ). A.430 B.840

C.1250

D.1660

二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。 13. i 是虚数单位，复数z 满足（1+i)z =1+3i,则|z 2|=

14. 若实数y x ,满足约束条件????

???∈∈≤+≥+-≥+N

y N x y x y x y x ,623011，则y x z 2-=的所有取值的集合是

15.以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线y 2=4x 及其准线分别交于A ，B 和C ，D ，若|AB|=|CD|，则圆O 的

方程是___________.

16.若对任意的0>x ，不等式22

2(1)ln 1x m m x -++≥恒成立，则m =________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17. (12分)

已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin A =2sin C ，23b c =.

（1）求cos C ；

（2）若B ∠的平分线交AC 于D ，且△ABC

，求BD 的长.

18.(12分)

某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：

(1) 求y 关于x 的线性回归方程；

(2) 该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩；

(3) 本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀. 若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人. 能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

参考数据：回归直线的系数1

2

1

()()

?.

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

a y bx x x ==--==--∑∑，

2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，2( 6.635)0.01P K ≥=，2

(10.828)0.001P K ≥=

19. (12分)

如图，四棱柱

1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且

AD A AB A 11∠=∠.

（1）证明：四边形D D BB 11为矩形；

（2）若?=∠=60,1BAD A A AB ，A A 1与平面ABCD 所成的角为

?30，求二面角D BB A --11的余弦值.

20.(12分)

设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2

，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为2 2.

(1)求E 的方程；

(2)过E 的左焦点1F 作直线1l 与E 交于,A B 两点，过右焦点2F 作直线2l 与E 交于,C D 两点，以

,,,A B C D 为顶点的四边形的面积8

3

S =，求1l 与2l 的方程.

21.(12分)

已知()ln f x x ax a =-+，a ∈R .

（1）讨论()f x 的单调性； （2）若21

()()(1)2

g x f x x =+-有三个不同的零点，求a 的取值范围.

19题图

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(10分)

在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ = 2cos θ

1-cos 2θ，直线l 的参数方程为??

?x =2+t cos α，y =1+t sin α

(t 为参数，α为倾斜角). (1) 若4

π

3=

α，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； (2) 若l 与C 有两个不同的交点A ，B ，且P (2,1)为AB 的中点，求|AB |.

23.(10分)

已知函数f (x )=|x +1|+|x -1|. (1) 求函数f (x )的最小值a ；

(2) 若m 3+n 3=a ，且m ＞0，n ＞0，求证：m +n ≤2.

2018年省际名校联考三数学理科试题参考答案

一、选择题：

1.D 【解析】{}

{}2

|8150|35A x x x x x x =-+>=<>Q 或，

A B =?Q I ,∴3,

15,

a a ≥??+≤?34a ∴≤≤.

2. D 【解析】ππππππ4sin sin sin cos 3622665

αααα????????????-=+-=--+=-+=- ? ? ? ????

??

?

?

????

?

????

.

3.C 【解析】根据复合函数单调性判断方法，可得C 正确.

4.B 【解析】设两枚骰子向上点数分别为,X Y ，则符合X Y +为 奇数的基本事件数为18(见右表)，其中符合9X Y +=的基本事

件数为4，根据古典概型知所求概率为42=189

. 5. C 【解析】()()AC BD AB BC AD AB ?=+?-

2

2

()(2)2842262

AB BC BC AB BC AB AB BC =+?-=-+?=-

+??

=. 6.B 【解析】由条件可得，2

b a

c >，2

2

0c ac a ∴-->，2

10e e ∴-->，e ∴>

7.A 【解析】由234n n S a =+，可知，11234n n S a ++=+，两式相减，得11233n n n a a a ++=-，

整理得13n n a a +=，由11234S a =+可得14a =-，则4(13)

22313

n n n S --=

=-?-. 8. A 【解析】该几何体是如图所示的四面体ABCD .

则其体积为1132

444323

V =????=.

9. C 【解析】随机数x ，y 的取值范围分别是：0≤x≤1，0≤y≤1.共产生这样的随机

数对（x ，y ）.数值i 表示，这些随机数对中满足关系：x 2+y 2＜1的个数.

i n ≈半径为1的圆面积的四分之一边长为1的正方形面积

=π

4.

10.C 【解析】由条件可得2r =. 用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体， 设截面与原点的距离为h ，则所得截面1π(164S h =-），

222π(16)π[4(2)]π(164)S h h h =----=-，所以12S S =，由祖暅原理可得21V V =，又

3324144π

π4π22432π3233

V =

??-?=?=，132πV ∴=. 11.D 【解析】当X k =时，第k 次取出的必然是红球，而前1k -次中，有且只有1次取出的是红球，其

余次数取出的皆为黑球，故11

2C 1()C 21

k k P X k --===

，于是得到X 的分布列为 故2345672121212121213

EX =?+?+?+?+?+?=. 8题答图

12.A 【解析】令1()2cos (sin )02f x nx nx =-=，得cos 0nx =①或1

sin 2

nx =

②，

由①得ππ2nx k =+()k ∈Z ，令π

0ππ2

k n ≤+≤，得1122k n -≤≤-，故①共有n 个解，

由②得π5π

2π2π66

nx k k =++或

()k ∈Z ， 令π02ππ6k n ≤+≤，得1112212n k -≤≤-③，令5π02ππ6k n ≤+≤，得5512212n k -≤≤-④， 当n 为偶数时，③有2n 个解，④有2n

个解，故②有n 个解，故2n a n =；

当n 为奇数时，③有12n +个解，④有1

2

n +个解，故②有1n +个解，故21n a n =+.

令2122(21)12(2)81n n n b a a n n n -=+=-++=-，

故110

12201210()10

4302

b b a a a b b b +?+++=+++==. 二、填空题

13.5 【解析】

()()()()

131134221112i i i i z i i i i +-++====+++-Q ， i z 432+=∴，543222=+=∴z .

14.{}2,1,1,2-- 【解析】由约束条件可知满足条件的点为（0,1），（1,0），（1,1），（2,0），所以z 可以取得

值为-2，-1,1,2.

15.x 2+y 2=5 【解析】设C(-1,y),圆O 半径为r,则y 2=r 2-1,||||AB CD =，A ∴或B 的坐标为(1,)y ，24y ∴=，

2

14r ∴-=，解得2

5r =，∴圆O 的方程为x 2+y 2=5

16. 0或1-【解析】设21m m t ++=，则0t >. 由已知可得2

2ln 10x t x --≥对0>x 恒成立.

令2

()2ln 1,.0f x x t x x =-->,则2

22()()2t x t f x x x x

-'=-=. 由()

0f x '>得，x >()f x 单调递增，由()0f

x '<得，0x

<<()f x 单调递减. 若()0f x ≥，则需0f ≥，令()ln 1g t f t t t ==--(1)t >，则()ln g t t '=-. 当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增，当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减， 又(1)0g =，所以()0g t ≤，所以()0g t =，即1t =.

211m m ∴++=，则0m =或1m =-.

三、解答题

17.解：（1）因为sin A =2sin C ，所以a =2c .

于是，222

2

2

2

3

(2)()72cos 328222

c c c a b c C ab

c c +-+-===??

……………………4分

（2）由7cos 8C =可得sin C =，设

ABC

?的面积为

S

，

113sin 2222S ab C c c ∴==??=

2

4c ∴=,2c =，则4,3a b ==， ………………8分

BD 为B ∠的评分线，2a CD

c AD

∴==，2CD AD ∴=，

又3CD AD +=，2,1CD AD ∴==，

在BCD ?中，由余弦定理可得222

74224268

BD =+-???=，

BD ∴=

………………12分 18.解：(1)由题意可知120x =，90y =，

故22222

(145120)(11090)(130120)(9090)(120120)(10290)(105120)(7890)(100120)(7090)

(145120)(130120)(120120)(105120)(100120)b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-

5000018040010804

0.8625100022540013505

++++====++++，

901200.8a =-?=-， 故回归方程为0.86y x =-；

………………5分

(2)将110x =代入上述方程，得0.8110682y =?-=. ………………7分 (3)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36， 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人， 于是可以得到22?列联表为：

于是2

2

60(2418126)10 6.63530303624

K ??-?=

=>???， 因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关. ………………12分 19.（1）证明：连接AC ，设O BD AC = ；连接O A D A B A 111,,.

AD A AB A 11∠=∠ ，AD AB =，D A B A 11=∴. 又O 为BD 的中点，BD O A BD AO ⊥⊥∴1,. ⊥∴BD 平面11ACC A ，1AA BD ⊥∴.

1BB ∥1AA ，1BB BD ⊥∴. 又四边形D D BB 11是平行四边形，则四边形D D BB 11为矩形. ………………4分

(2)解：过点1A 作⊥E A 1平面ABCD ，垂足为E ，由已知可得点E 在AC 上，?=∠∴301AC A .

设11==A A AB ，则2

3

,211==AE E A .

在菱形ABCD 中，?=∠==60,1BAD AD AB

，2

3

,3=

=∴AO AC . ………………6分

∴点E 与点O 重合，则⊥O A 1平面ABCD . 以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz O -.

则1111111(0,0,),(0,,0),(,),(0,,0)22222

A B B D -

x

y

z

19题答图

(E )

1111131(0,,),(,0)222

A B A B ∴=-=-，131

(0,1,0),(,1,)2BD B D =-=--

设平面11BB A 的法向量为),,(z y x =m 则?????=

?=?00111B A m B A m ，1102

210

22

y

z x y ?-=??∴??+=??，即y z y =??=.

取1=x ，可得)3,3,1(=m 为平面11BB A 的一个法向量.

同理可得平面D BB 1的一个法向量为)3,0,1(=n .

………………11分

7

7

2,cos =

?=

n m n m n m . 所以二面角D BB A --11的余弦值为772.………………12分 20.解：(1)由已知得c a =22,ab=2,解得a=2,b=1,∴椭圆E 的方程为x 22

+y 2

=1. ………………4分

(2) 设2l ：x=my+1,代入x

22

+y 2=1得

(m 2+2)y 2

+2my -1=0,

设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则y 1+y 2=－2m m 2+2,y 1y 2=－1

m 2+2. ………………6分

|CD|=1+m 2?(y 1+y 2)2

-4y 1y 2=22(m 2+1)m 2+2

.

1l 的方程为x=my -1,则AB 与CD 之间的距离为d=2

m 2+1

.

由对称性可知，四边形为平行四边形，

∴S ＝|CD|d=22(m 2+1)m 2+2×2m 2+1

=42m 2+1

m 2+2,

令m 2+1=t≥1,则m 2+2=t 2+1,∴S ＝42t t 2+1=8

3

,即2t 2-32t+2=0,

解得t=2或2

2

(舍)，∴m=±1.

故所求方程为1l :x -y+1=0,2l :x -y -1=0或1l :x+y+1=0,2l :x+y -1=0. ………………12分

21. 解：（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，又11()ax

f x a x x

-'=

-=， 当0a ≤时，()0g x '>恒成立； …………………………2分

当0a >时，令()0f x '>得10x a <<

；令()0f x '<得1

x a

>； 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；

当0a >时，()f x 在1(0,)a 上为增函数；在1

(,)a

+∞上为减函数.…………………4分

（2）由题意2

1()(1)ln 2g x x x ax a =-+-+(0)x >，则1()1g x x a x

'=+--，

当1a ≤时，1

()110g x x a a x

'=+-->-≥，

()g x ∴在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； …………………………6分

当1a >时，2(1)1

()x a x g x x

-++'=，

令2()(1)1x x a x ?=-++，则2(1)4(3)(1)0a a a ?=+-=+->， 令()0x ?=的两根分别为12,x x 且12x x <， 则

1210x x a +=+>，1210x x ?=>，1201x x ∴<<<，

当1(0,)x x ∈时，()0x ?>，()0g x '∴>，()g x ∴在1(0,)x 上为增函数， 当12(,)x x x ∈时，()0x ?<，()0g x '∴<，()g x ∴在12(,)x x 上为减函数， 当2(,)x x ∈+∞时，()0x ?>，()0g x '∴>，()g x ∴在2(,)x +∞上为增函数，

…………………………8分

(1)0g =，()g x ∴在12(,)x x 上只有一个零点1，且1()0g x >，2()0g x <，

…………………………9分

1

111

()()()()22

222

11

()()2

221()22

11

()()2

21()(1)ln 2

1(1)ln 211=(1)()22

1(2)02

a a a a a a a a a g e

e e ae a e e a e a a e e -+

-+-+-+-+-+-+-+-+=-+-+<-++--++=-<

1201a e

??-+ ???

<<，又当1[,1)

x x ∈时，()0g x >，1210a e x ??

-+ ???

∴<<，

()g x ∴在1(0,)x 上必有一个零点； …………………………10分 22111

(22)(21)ln(22)(22)(21)(22)0222

g a a a a a a a a a +=

+++-++>+-+=>，

221a +>，又当2(1,]x x ∈时，()0

g x <，222a x ∴+>， ()g x ∴在2(,)x +∞上必有一个零点； …………………………11分

综上所述，a 的取值范围为(1

)+∞，. …………………………12分

22.解：(1)l 的普通方程为03=-+y x , …………………………………………………………2分

C 的直角坐标方程为x y 22=. …………………………………………………………4分

(2)把???x =2+t cos α，

y =1+t sin α

代入抛物线方程y 2=2x 得t 2sin 2α+2t (sin α-cos α)-3=0（*）,

设A ，B 所对应的参数为t 1,t 2，则t 1+t 2=－2(sin α-cos α)

sin 2α.

∵P (2,1)为AB 的中点,∴P 点所对应的参数为

t 1+t 22=－sin α-cos αsin 2α=0,∴sin α-cos α=0,即α=π

4. 则（*）变为1

2

t 2-3=0，此时t 2=6，t =±6,

∴|AB |=2 6. ………………………………………………………………………10分 23．(1)解：f (x )=|x +1|+|x -1|≥|x +1-(x -1)|=2，当且仅当-1≤x ≤1时取等号,

所以f (x )min =2，即a =2. …………………………………………………………………………5分 (2)证明：假设：m +n ＞2，则m ＞2-n ，m 3＞(2-n )3. 所以m 3+n 3＞(2-n )3+n 3=2+6(1-n )2≥2.…………① 由（1）知a =2，所以m 3+n 3=2. …………②

①与②矛盾，所以m +n ≤2. …………………………………………………………………10分