2014年高考冲刺卷二(数学)配详尽解析

2014年高考冲刺卷二

数学

命题人：罗攀

分值：150分 考试时间：120分钟

一、 选择题.(5’×10=50’)

1. 已知集合M=｛x|(x-1)2

< 4,x∈N｝，P=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩P=( ） A.｛0，1，2｝ B.｛-1，0，1，2｝ C.{-1，0，2，3} D.{0，1，2，3}

2. 实数x ，条件P:x 2

11

≥x

，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.方程04ln =-+x x 的解属于区间 （ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

4．已知函数??

?

??≤->-=)0(1)

0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为（ ）

A.}10|{<

B.}01|{≤<-x x

C. }11|{<<-x x

D. }1|{->x x 5. 偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )=

,在x ∈[0,4]上解的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。若存在两项,m n a a

14a =，则

19

m n

+的最小值为( ) A

83 B 114 C 145 D 176

7.已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，

)()(x g a x f x =，

2

5)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x

的方程2

50((0,1))2abx b ++=∈有

两个不同实根的概率为（ ）

0x

A

5

1 B

5

2 C

5

3 D

5

4 8.已知,(1)()(4)2,(1)2

x a x f x a

x x ?>?

=?-+≤??是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( )

A ．(1，＋∞) B．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)

9.在同一个坐标系中画出函数x

a y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下

列所给图象中可能正确的是（ ）

10.已知函数2342013

()12342013

x x x x f x x =+-+-++ , 2342013

()12342013

x x x x g x x =-+-+-- ,设函数，

且函数的零点均在区间内，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．

二、填空题.(5’×5=25’)

11. 若执行如图2所示的框图，输入，

则输出的数等于 。

()(3)(4)F x f x g x =+?-()F x ),,](,[Z ∈

12.已知函数

则

__________；

13. 设函数

的定义域为

,值域为,若

的最小值为,则实数a 的值为________ ；

14.若函数b x a x a

x x f +-+-=

||)3(2

||31)(23有六个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 15. 设定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”：

（1）对任意的，总有

≥0；

（2）；

（3）若

成立，则下列判断正确

的有 . （1）为“友谊函数”，则

；

（2）函数在区间[0，1]上是“友谊函数”；

（3）若为“友谊函数”，且0≤

＜

≤1，则

≤

.

三、解答题 （12’+12’+12’+12’+13’+14’=75’）

16.已知向量),(b c a m +=，),(a b c a n --=，且0=?，其中A 、B 、C 是?ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边。 （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求B A sin sin +的取值范围；（12’）

17.成都七中为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵。它们移栽后的成活率分别为21

,32

且每棵树是否存活互不影响，求移栽的5棵树中： （1）银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率； （2）成活的棵树ξ的分布列与期望. （12’）

18.已知递增等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2和a 4的等差中项， （Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若，S n =b 1+b 2+…+b n ，求使S n +n?2n+1

＞62成立的正整数n 的最小值．（12’）

19.已知函数()()()(),0ln x

g x f x g x ax a x

=

=->. （1）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值；

（2）若212,,x x e e ???∈??，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围. （12’）

20.已知函数，其中是自然对数的底数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间；

（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围. （13’）

21.已知函数f (x )＝a e x

，g (x )＝ln x －ln a ，其中a 为常数， e ＝2.718…，且函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行． (1)求常数a 的值；

2()(1)x

f x ax x e =+-e a R ∈1=a )(x f ))1(,1(f 0

g ++=2

32

131)(m

(2)若存在x 使不等式>x 成立，求实数m 的取值范围；

(3)对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )公共定义域内的任意实数x 0，我们把|f (x 0)－g (x 0)|的值称为两函数在x 0处的偏差．求证：函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有偏差都大于2. （14’）

2014年高考冲刺卷二 数学答案及解析

1.【答案】A

【解析】{}=0.1,2M ，{}012M P = ，

，选A 2.【答案】A

【解析】{}{}:01,:01,|01|01,p x q x x x x x <<<≤<

【解析】()ln 4,(2)(3)(ln 22)(ln31)0,f x x x f f =+-?=-?-< 所以

0(2,3)x ∈，选C

4.【答案】C

【解析】20,log 0,01;x x x >->∴<<当

220,10,10,1 1.10x x x x x ≤->∴-<∴-<<∴-<≤当

综上，1 1.x -<<选C

5.【答案】D

【解析】依题意可得函数f(x)是以2 为周期的函数.又因为是偶函数所以又以x=1对称，由此可得函数f(x)与函数1(

)10

x

y =的交点有4个.故选D.本题关键就是理解函数的周期性与偶函数相结合得到一个新的对称轴. 6.

7.

8.【答案】B

【解析】1

1140482(4)22

a a a a a ??>?

?

->∴≤

?≥-+??，选B

9.【答案】D 【解析】2,(0).1;01T a a a a

π

ππ=

>><<<> 时，T 2时，T 2. 故选D

10.【答案】C

【解析】f ′（x ）＞0，因此f （x ）是R 上的增函数，且f （0）=1＞0，f （﹣1）＜0，g′（x ）＜0，因此g （x ）是R 上的减函数，且g （1）＞0，g （2）＜0，函数f （x ）在（﹣1， 0）上有一个零点；函数g （x ）在（1，2）上有一个零点，然后要求F （x ）=f （x+3）?g（x ﹣4）的零点所在区间，即求f （x+3）的零点和g （x ﹣4）的零点所在区间，根据图象平移可得b a -的最小值为6(4)10--=． 选C 11.【答案】

2

3

【解析】本题程序框图主要考查方差的计算过程.即S=

22212

[(12)(22)(32)]33

-+-+-=.通过直到型循环来表示方差的计算.该类型属于基础题.. 12．

13.

14.【答案】（2,3） 【解析】32

1()||(3)||32

a f x x x a x

b =

-+-+ 32

321(3)(0)321(3)(0)3

2a x x a x b x a x x a x b x ?-+-+≥??=?

?----+

220()=(3),0()=(3),

x f x x ax a x f x x ax a ''≥-+-<----时，时，

24(3)02330a a a a ?-->∴∴<?

15．

16.【答案】（I ）3C π

=

（II ）最大值 【解析】（I ）由0m n ?= 得222

()()()0a c a c b b a a b c ab +-+-=?+-=

由余弦定理2221

cos 222

a b c ab C ab ab +-===

又0C π<<，则3

C π

= ………………………………………6分 （II ）由（I ）得3C π

=

，则23

A B π

+=

23sin sin sin sin(

)sin )326A B A A A A A ππ+=+-=+=+

203A π<< 5666A πππ∴<+< 1sin()126

A π

∴<+≤

)6

A π

<+≤

即sin sin A B +∈……………………………………12分 17.【答案】（1）1

6

p =

；（2）ξ的分布列为：

176

E ξ=

（2）ξ可能的取值：0,1,2,3,4,5001(0)()()72

P P A P B ξ=== 同理：7(1)72P ξ==

；19(2)72P ξ==；25(3)72

P ξ==； 2(4)9P ξ==

1

(5)18

P ξ==

…………………………………7分 ∴ξ的分布列为：

∴17

6

E ξ=

…………………………………………………………………………12分 18. 【解析】 （I ）由题意，得

，由此能求出数列{a n }的通项公式．

（Ⅱ），S n =b 1+b 2+…+b n =﹣（1×2+2×22+…+n×2n

），

所以数列{b n }的前项和S n =2﹣2﹣n?2，使S n +n?2＞62成立的正整数n 的最小值． 解：（I ）由题意，得

，…（2分）

解得…（4分）

由于{a n }是递增数列，所以a 1=2，q=2

即数列{a n }的通项公式为a n =2?2n ﹣1=2n

…（6分） （Ⅱ）

…（8分）

S n =b 1+b 2+…+b n =﹣（1×2+2×22

+…+n×2n

）①

则2S n =﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1

）②

②﹣①，得S n =（2+22+…+2n ）﹣n?2n+1=2n+1﹣2﹣n?2n+1

即数列{b n }的前项和S n =2n+1﹣2﹣n?2n+1

…（10分）

则S n +n?2n+1=2n+1

﹣2＞62，所以n ＞5， 即n 的最小值为6．…（12分） 19.【答案】（1）

1

4

（2）211[,)24a e ∈-+∞

【解析】由已知函数(),()g x f x 的定义域均为(0,1)(1,)+∞ ,

且()(0)ln x

f x ax a x

=

->. （1）函数22

1

ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -?

-'=

=, ………2分 因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2

ln 1()0(ln )

x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．

又()

2

2ln 111()ln ln (ln )

x f x a a x x x -'=-=-+-()

2

111ln 24a x =--+-，

故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4

f x a '=-．

所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14

． ………………………………6分

（2）命题“若212,[e,e ],x x ?∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于

“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．

由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14

f x a '+=．

问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4

f x ≤”． (8)

分

01当14

a ≥时，由（Ⅱ）

，()f x 在2[e,e ]上为减函数，

则min ()f x =2

22e 1(e )e 24

f a =-≤，故21124e a ≥-． (10)

分

2当104a <<时，由于()f x '()2

11

1ln 2

4

a x =--+-在2

[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4

a a --．

由()f x '的单调性和值域知，?唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足： 当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；

当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；

所以，min ()f x =00001()ln 4

x

f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈．

所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意… 11分

综上，得211

[,)24a e

∈-

+∞． ……… 12分 20.【答案】（1）430ex y e --=（2）31

16

m e --

<<- 【解析】（1）因为2

()(1)x

f x x x e =+-，

所以， 所以曲线()f x 在点处的切线斜率为. 又因为，

所以所求切线方程为4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=． ………………2分 （2），

①若，当或时，； 当时，. 所以()f x 的单调递减区间为，

；

单调递增区间为. …………………4分

②若，，所以()f x 的单调递减区间为.

…………………5分

③若，当或时，； ++='x

e x x

f )12()(x

x

e x x e x x )3()1(2

2

+=-+))1(,1(f e f k 4)1(='=e f =)1(++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+021<<-

a 0

a x 1

2+-

>0)(<'x f <

a 1

2+-0)(>'x f ]0,(-∞),12[+∞+-a

a ]1

2,0[a

a +-21-=a =')(x f 02

1

2≤-x e x ),(+∞-∞21

-

a x 12+-<0>x 0)(<'x f

当时，. 所以()f x 的单调递减区间为，；

单调递增区间为. …………………7分 （3）由（2）知，2

()(1)x

f x x x e =-+-在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，在处取得极大值.……8分

由，得. 当或时，；当时，()0g x '<.

所以()g x 在上单调递增，在单调递减，在上单调递增. 故()g x 在处取得极大值，

在处取得极小值.10分

因为函数()f x 与函数()g x 的图象有3个不同的交点，

所以(1)(1)(0)(0)f g f g -<-??>?，即31

61m

e m ?-<+???->?

. 所以3116m e --<<-. (12)

分

21.【答案】（1）1a =；（2）(,0)-∞；（3）参考解析

【解析】（1）依题意可得函数与坐标轴的交点通过求导函数即在两坐标轴的交点的切线的斜率相等即可求出a 的值.

（2）不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题.在对函数求导求出在定义域(0,)+∞上的单调性即可求出m 的取值范围.

012<<+-

x a

a 0)(>'x f ]1

2,(a a +--∞),0[+∞]0,1

2[a

a +-

]1,(--∞]0,1[-),0[+∞()f x 1-=x e

f 3

)1(-

=-0=x 1)0(-=f m x x x g ++=

2

32

131)(x x x g +='2)(1-x 0)(>'x g 1-0<

-6

1

)1(0=x m g =)0(