普洱学院热力学·统计物理期末考试卷

普洱学院2014—2015学年第二学期考试模拟卷 B

热力学与统计物理

注意事项：

1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。

2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间为120分钟。

一、选择题（共20分,每小题4分）

1. 下列关于状态函数的定义正确的是（）。

A ．系统的吉布斯函数是：pV TS U G +-=

B ．系统的自由能是：TS U F +=

C ．系统的焓是：pV U H -=

D ．系统的熵函数是：T

Q S = 2. 以T 、p 为独立变量，特征函数为( )。

A .内能；

B .焓；

C .自由能；

D .吉布斯函数。

3. 下列说法中正确的是（）。

A ．不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其他变化；

B ．功不可能全部转化为热而不引起其他变化；

C ．不可能制造一部机器，在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却；

D ．可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其他影响。

4. 要使一般气体满足经典极限条件，下面措施可行的是（）。 A .减小气体分子数密度； B .降低温度；

C .选用分子质量小的气体分子；

D .减小分子之间的距离。

5. 下列说法中正确的是（）。

A ．由费米子组成的费米系统，粒子分布不受泡利不相容原理约束；

B ．由玻色子组成的玻色系统，粒子分布遵从泡利不相容原理；

C ．系统宏观物理量是相应微观量的统计平均值；

D ．系统各个可能的微观运动状态出现的概率是不相等的。

二、填空题（共16分,每空2分）

1. 对于理想气体,在温度不变时,内能随体积的变化关系为=???

????T

V U 。 2. 在S 、V 不变的情形下，稳定平衡态的U 。

3. 在可逆准静态绝热过程中，孤立系统的熵变ΔS ＝。

4. 连续相变的特点是。

5. 在等温等压条件下，单相化学反应

0=∑i

i i

A ν

达到化学平衡的条件为。

6. 在满足经典极限条件1>>α

e 时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满足关系。

7. 玻色－爱因斯坦凝聚现象是指。 8. 在低温下，如果计及电子和离子振动的话，金属的定容热容量可表为。

三、简答题（共16分,每小题4分）

1. 什么是热力学系统的强度量？什么是广延量？

2. 什么是特性函数？若吉布斯函数为特性函数，其自然变量是什么？

3. 证明在F 、T 不变的情形下，平衡态的V 最小。

4. 写出玻耳兹曼关系，并说明熵的统计意义。

四．分析题(10分)

设有1mol 的理想气体，其状态参量由(111,,T V p )变化到(222,,T V p )，

假设此过程为一等温膨胀过程

)(21T T T ==，求理想气体内能的改变U ?，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS 。

五、（10分）定域系统含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级1ε

和2ε，假设21εε<。求在温度为T 的热平衡状态下系统

的内能和熵。

六、（10分）目前由于分子束外延技术的发展，可以制成几个原子层厚的薄膜材料，薄膜中的电子可视为在平面内做自由运动，电子

面密度为n 。试求0K 时二维电子气的费米能量和内能。

普洱学院2014-2015学年第二学期考试试卷 B

热力学与统计物理

参考答案

一、选择题（共18分，每小题3分）

1.A

2.D

3.C

4.A

5.C 二、填空题（共20分，每空2分） 1．0。 2. 最小。 3.0。 4. 在临界点μ及μ的一阶偏导数连续 5.

0=∑i

i ν

μ。

6. !

...N B

M D F E B Ω≈

Ω≈Ω。 7. 在C T T <时，有宏观量级的粒子在能级0=ε凝聚。 8. 3AT T C V +=γ。 9.

1++s

βεα。 10. 代表点密度。

三、简答题（共20分，每小题4分）

1．热力学系统的强度量是指与系统的质量或物质的量无关的热力学量（2分）。热力学系统的广延量是指与系统的质量或物质的量成正比的热力学量（2分）。

2．如果适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数即称为特性函数。（2分）

吉布斯函数的自然变量是：温度T 和体积p 。（2分）

3．假设系统发生一虚变动，在虚变动中，有V p T S F δδδ--<。在F ,T 不变的情形下, 有0,0==T F δδ，因此必有0

E S

Z β 或 ∑-Ω=

E l l

Z β （2分）

经典表达式：?Ω=

-d e h

N Z p q E Nr )

,(!1β （2分）

四、（12分）解：等温膨胀过程，由于温度不变，理想气体内能仅是温度的函数，所以

0=?U （3分）

2ln 2

V V RT V dV

RT pdV W V V B

-=-=-=?

? （3分）根据热力学第一定律，

V V RT W Q =-= （3分）等温膨胀过程引起的系统的熵变：

2ln V V R T Q

S ==

? （3分）

五、（10分）解：定域系统可以用玻尔兹曼分布处理。系统的配分函数为

∑------+=+==l

l e e e e e Z l ]1[)(112121εεββεβεβεβεω （2分）

得系统的内能为 kT

N N e N N Z N U )(121)

(121112121)

(1)(ln εεεεβεεεεεεβ--+-+=+-+=??-= （4分）系统的熵为

)ln (ln 11Z Z Nk S ββ

??-=}1)(]1{ln[)(12)(1212εεβεεβεεβ---+-++=e

e Nk })

1()(]1{ln[)

(12)

(1212kT

kT e

Nk εεεεεε---+-+

+= （4分）

六、（10分）解：在面积A 内，在εεεd +→的能量范围内，二维自由电子的量子态数为 επεεmd h

d D 24)(= （2分） 0K 下自由电子的分布为

??>≤=)0( ,0)

0( ,1)(μεμεεf （2分）

费米能量)0(μ由下式确定：

)0(44)()(2)0(020

μπεπεεεμm h

d m h A d D f N ==

=??∞

即 n m

h A N m h ππμ44)0(2

2==

（3分） 0K 下二维自由电子气体的内能为

)0(2)0(2

44)()(22)0(020

μμπεεπεεεεμN

m h A d m h A d D f U ===

=??∞

(3分）

物态方程 V NkT

V V N Z V p =??=??=

ln ln 1ββ （2分）内能 kT N

N Z U 2

31ln 23ln =??-=??-

=βββ （2分）熵 )(ln )ln (ln U Z k Z Z k S ββ

+=??

-= ?????

?+++=25)2ln(ln

232

32h mk Nk N V Nk NkT π (2分)

1.试用麦克斯韦关系，导出方程V V

p TdS C dT T dV T ???

=+ ????，假定V C 可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程1TV C γ-=（常量）。

2. 证明: ()

,,T P T n V

P n

μ???

?= ?????

3.证明焓态方程：p T

H V V T p T ??????

=- ? ???????。

4.导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：

3321N U N e βωωω=+- ， ()

/31

E E T

E V T

e C N k T e θθθ??= ???-

5. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：(

)

311

ln S Nk e

βω

βω-??

=--??-?

6.证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在ε~εd ε+的范围内，可能的量子态数为

7. 证明:① P S S V P T ??? ????=??? ???? ② 0>??? ????U

V S

8.导出普朗克黑体辐射公式。

9.对于给定系统，若已知 v

p R =T v -b ???

????，()3

p 2a v -b T T =v v -b Rv ???- ????，求此系统的物态方程。

11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。

12. 证明: P V V P

P V C C T T T ??????

? ???????

13. 证明，理想气体的摩尔自由能为：

14.证明，对于二维自由粒子，在面积2

L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为

()2

2mL D d d h πεεε=。

1.试用麦克斯韦关系，导出方程V V

p TdS C dT T dV T ???

????，假定V C 可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程1TV C γ-=（常量）。解：∵V T

S S dS dT dV T V ??????

=+ ? ???????，

∴V V T T S S S TdS T dT T dV C dT T dV T V V ?????????

=+=+

? ? ??????????

由麦氏关系T V

S p V T ??????

? ???????，V V p TdS C dT T dV T ???=+ ???? 绝热过程0dS =，理想气体nR p T V =

，V

p nR T V ???

= ???? 0V

dT dV

C nR T V

+=积分得ln ln V C T nR V C'+=（常量） ∵/p V C C γ=，(1)p V V nR C C C γ=-=- 故：1ln TV C'γ-=，即：1TV C γ-=（常量） 2. 证明: ()

,,T P T n V

P n

μ???

?= ????? 证明：选T, V 为独立变量，则

dG SdT Vdp dn μ=-++

()

,,,,,

T p

T n

T n T p

G G

p n p

μμ??????∴==???????? 而()

,T n

G V p

?=?，故

()

,,T p

T n

??=??

3.证明焓态方程：p T

H V V T p T ??????

? ???????。

证：选T 、p 作为状态参量时，有

p T H H dH dT dp T p ??????=+ ? ??????? （1） p T

S S dS dT dp T p ??????

=+ ? ?

??????（2）而， dH TdS Vdp =+ （3）（2）代入（3）得： p T S S dH T dT V T dp T p ????????

=++?? ?

????????

? （4）比较（1）、（4）得：p p

H S T T T ??????=

? ??????? （5） T T

H S V T V p ??????

=+ ? ???????（6）将麦氏关系p T

S V p T ??????

? ???????代入（6）

，即得 T p

H V V T V T ??????

=- ? ???????

4.导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：

3321N U N e βωωω=+- ， ()

/31

E E T

E V T

e C N k T e θθθ??= ???-

解：按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：(1/2)(0,1,2)n n εω=+=

则，振子的配分函数为：/2

(1/2)

()1n n

n n e Z e

e βωβωβωβωβω

-∞

∞

-+---====?=-∑∑

∵11

ln ln(1)2

Z e βωβω-=-

-- ∴1ln 333332121

Z N e N U N N N e e βωβωβωωω

ωωβ--?=-=+=+?-- 2

13(1)V V V U U e C Nk T kT kT e βωβωωβ????????

==-= ? ? ???-??????

引入爱因斯坦特征温度E θ：E k ωθ=，即得：()

/31

E E T

E V T e C Nk T e θθθ??= ?

??-

5. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：(

)

311

ln S Nk e

βω

βω-??=--??-??

解：设固体系统含有N 个原子，按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子

的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：

0,1,21(),(,

n n εω=+=

则，振子的配分函数为：

112

()

1n n e e

e βωβωβω

-∞

-+-=Z ==

-∑

1111(1),

ln ln ln e e βωβω

ωβωωβ-?Z Z =---=--?-

113()3[(1)]1

ln ln ln S Nk Nk

e e βω

βωβωβ

β-?Z ∴=Z -=--?- 6.证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在ε~εd

ε+的范围内，可能的量子态数为

7. 证明:① P

S S V P T ??? ????=??? ???? ② 0>??? ????U

V S

①证明：

dH TdS VdP =+，由全微分条件得：()

()S

T V P S ????= ②证明：由

dU TdS PdV =-，令 0dU = 得：

()

S P V T

??=

0,0P T >> ()

V ?∴

8.导出普朗克黑体辐射公式。

解：在体积V 内，动量在p ~p+dp 范围的光子的量子态数为

238V p dp h

π 因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为

f e

ω=

又 =

=p c

εω

所以，在体积V 内，圆频率在~+d ωωω范围内的光子的量子态数为

323

()8V V D d d d h c c

πωωωωωωπ=?=?

在此范围内的光子数为 2

23/()1

kT V N d f D d d c e ωωωωωωωπ=?=?- 故，在此范围内的辐射能量为：

23/(,)1kT

V U T d N d d c e ωωωωωωωωπ=?=?-

9.对于给定系统，若已知 v p R =T v -b ???

????，()3

p 2a v -b T T =v v -b Rv ???- ????，求此系统的物态方程。解：设物态方程为(,)p p T v =，则

v T

p p dp dT dv T v ??????

=+ ? ??????? （1）

∵1v p T

p T V T v p ?????????=-

? ? ?????????? ∴T v p

p p T v T v ?????????=- ? ? ?????????? （2）将v

p R =T v -b ???

????和()3

p 2a v -b T T =v v -b Rv ???

- ????代入（2）得 ()()233

T v p 2a v -b p p T R T 2a RT v T v v -b v -b Rv v

v -b ???????????

=-=--=-?? ? ? ???????????? （3）将v p R =T v -b

???

???和（3）代入（1）得

()

23R RT 2a RT a RT a dp dT dv dv d d d v -b v v -b v v -b v v -b ??=

-+=-=- ??? 积分得： 2RT a p v -b v =

-，即：()2a p v -b RT v ?

?+= ??

11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。

解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为

l l

Z e

βεβεω--==∑∑（对所有量子态s 求和）

当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用μ空间积分替代。因为，在6维μ空间中，~d x x x +，~d y y y +，~d z z z +，~d x x x p p p +，~d y y y p p p +，~d z z z p p p +范围内的粒

子，其可能的量子态数为

1d d d d d d x y z x y z p p p h

且，粒子的能量为：2221=

()

y z

p p p 2m ε++。所以 2

()

1331d d d d d d d x y z x p p p p 2m

2m x y z V Z e

x y z p p p e x h h β

β-

++-∞-∞??

==?????

即

3/2

132V m Z h πβ??

= ?

，而 1

2323ln ln ln ln 22m Z V h πββ??=+- ???

由内能的统计表达式 1ln Z U N β?=-?，得： 33

N U NkT β=-=- 12. 证明: P V V P

P V C C T T T ??????-= ? ??????? 证：P V P V S S C C T T T T ??????

-=-

? ???????

（1） ∵ (,)(,(,))S T p S T V T p =

P V T P

S S S V T T V T ????????????

=+ ? ? ? ????????????? （2）

（2）代入（1）

P V V P

S V C C T V T ??????

-= ? ??????? （3）

将麦氏关系：T V S P V T ??????

? ?

??????

代入（3）得 P V V P

P V C C T T T ??????

-= ? ???????

13. 证明，理想气体的摩尔自由能为：证明：选T, V 为独立变量，则

()

,V V V

c p

p du c dT T

p dv ds dT dv T

T T

????=+-=

+??

理想气体的物态方程为：pv RT =

()

R T

?∴

=? ， V du c dT =，V

c dv ds dT R T v =+ 故: 0V u c dT u =+?

，00ln V

c s dT R v s T =

++? 00ln v v c

u Ts c dT T dT RT v u Ts T

f =-=--+-∴??

14.证明，对于二维自由粒子，在面积2

L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为

()2

2mL D d d h πεεε=。

证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元

x y dxdydp dp 内的可能的量子态数为

x y

dxdydp dp h 。

因此，在面积2

L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为

2L pdp h π 而，2

12p m

ε=

，pdp md ε= 故，在面积2

L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为

()2

2mL D d d h

πεεε=。