非线性拟合方法

非线性拟合方法
非线性拟合方法

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中,变量间未必都有线性关系,如服药后血药浓度与时间的关系;疾病疗效与疗程长短的关系;毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合(curve fitting)是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据,并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化,这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程,在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线,同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程,实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中,通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对(X i ,Y i )(i=1,2,...m),其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式,y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系,即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x,c)常称作拟合模型,式中c=(c 1,c 2 ,…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时,称为线性模型,否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准,最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

第4章_隶属函数的确定方法

第4章隶属函数的确定方法 在模糊理论的应用中,我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。对于一个特定的模糊集来说,隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性,而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。因此,“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础,也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。 然而,建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数,并不是一件容易的事情。其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映,隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程,人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性,也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法,没有通用的定理或公式可以遵循。 但即便如此,鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位,确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视,至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法,而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍,它们是:直觉方法,二元对比排序法,模糊统计试验法,最小模糊度法。 4.1 直觉方法 直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解,或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函 例1、“正好”、“热”和“很热” 图1 空气温度的隶属函数 例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同,可以给出描

图2 汽车行驶速度的隶属函数 虽然直觉的方法非常简单,也很直观,但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识,也包含了对这些知识的语言学描述。因此,对于同一个模糊概念,不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。例如,模糊集A = “高个子”的隶属函数。如果论域是“成年男性”,其隶属函数的曲线如图3(a )所示;而如果论域是“初中一年级男生”,其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。 (a) (b) 图3 不同论域下“高个子”的隶属函数 4.2 二元对比排序法 建立一个模糊集的隶属函数,实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。但一般来讲,人们对多个事物的同时比较存在着度量上的困难,为此Saaty 教授在设计层次分析法时提出了两两比较的策略。借鉴两两比较排序的思想,人们提出了确定隶属函数的二元对比排序法。 二元对比排序方法就是通过对多个事物进行两两对比来确定某种特征下的顺序,由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形,可以通过一名专家或者一个委员会,甚至一次民意测验来实施,是一种比较实用的确定隶属函数的方法。 二元对比排序方法的基本步骤如下:设X = {x , y , z , …} 为给定的论域。对于某一模糊概念A ,任取一

最小二乘法圆拟合

最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r] 最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化 误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squar es fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。

此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样,但是仍然具有实用估计价值,并且可以化简公式。

VC实现的代码:C++类 void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if(m_nNum<3) { return; } int i=0; double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0; double X3=0;

double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for(i=0;i

数学建模课件--最小二乘法拟合

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1 / 11 数学建模课件--最小二乘法拟合 4. 最小二乘法线性拟合 我们知道, 用作图法求出直线的斜率 a 和截据 b , 可以确定这条直线所对应的经验公式, 但用作图法拟 合直线时, 由于作图连线有较大的随意性, 尤其在测量数据比较分 散时, 对同一组测量数据, 不同的人去处理, 所得结果有差异, 因 此是一种粗略的数据处理方法, 求出的 a 和 b 误差较大。 用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据, 只要处理过程没有错误, 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。 最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据, 用计算 的方法求出最佳的 a 和 b 。 显然, 关键是如何求出最佳的 a 和 b 。 (1) 求回归直线 设直线方程的表达式为: (2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。 对满足线性关系的一组等精度测量数据(xi , yi ),假定自变量 xi 的误差可以忽略, 则在同一 xi 下, 测量点 yi 和直线上的点 a+bxi 的偏差 di 如下: 显 然最好测量点都在直线上(即 d1=d2==dn=0), 求出的 a 和 b 是最 理想的, 但测量点不可能都在直线上, 这样只有考虑 d1、 d2、 、 dn 为最小, 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小, 但因 d1、 d2、 、 dn

圆曲线拟合

最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

VC实现的代码: void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if (m_nNum<3) { return; } int i=0;

double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0; double X3=0; double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for (i=0;i

最小二乘法圆拟合

最小二乘法圆拟合 1.最小二乘法圆拟合原理 理论 最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 最小二乘圆拟合模型公式推导 在二维平面坐标系中,圆方程一般可表示为: ()22020)(r y y x x =-+- (1) 对于最小二乘法的圆拟合,其误差平方的优化目标函数为: [] 2 12020)()(∑=--+-=n i i i r y y x x S 式中:()i i y x ,n i ,...,2,1=为圆弧上特征点坐标;n 为参与拟合的特征点数。 在保持这优化目标函数特征的前提上,我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方,且其避免了平方根,同时可得到一个最小化问题的直接解,定义如下: [] 2 122020)()(∑=--+-=n i i i r y y x x E (2) 则(2)式可改写为: ( )2 12 20 0220 02 22∑=-+-++-=n i i i i i r y y y y x x x x E (3) 令,02y B -=,02x A -=22020r y x C -+= 即(3)式可表示为:

() 2 22∑=++++=n i i i i i C By Ax y x E 由最小二乘法原理,参数A ,B ,C 应使E 取得极小值。根据极小值的求法,A ,B 和C 应满足 () 020 22=++++=??∑=i n i i i i i x C By Ax y x A E (4) () 020 22=++++=??∑=i n i i i i i y C By Ax y x B E (5) () 020 22=++++=??∑=n i i i i i C By Ax y x C E (6) 求解方程组,先消去参数C ,则 式()()∑=*-*n i i x n 064得 ( )0 02 202 030000002=+-++?? ? ??-+??? ??-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n i i n i i i n i i i n i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i x y x y x n x n B y x y x n A x x x n (7) 式()()∑=*-*n i i y n 065得 ( )0 02 202 030002000=+-++?? ? ??-+??? ??-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n i i n i i i n i i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i i y y x y x n y n B y y y n A y x y x n (8) 令 ??? ??-=∑∑∑===n i n i n i i i i x x x n M 000211(9) ?? ? ??-==∑∑∑===n i n i i i n i i i y x y x n M M 0002112(10) ?? ? ??-=∑∑∑===n i n i i i n i i y y y n M 000222(11)

(完整版)最小二乘法拟合椭圆附带matlab程序

最小二乘法拟合椭圆 设平面任意位置椭圆方程为: x 2+Axy +By 2+Cx +Dy +E =0 设P i (x i ,y i )(i =1,2,…,N )为椭圆轮廓上的N (N ≥5) 个测量点,依据最小二乘原理,所拟合的目标函数为: F (A,B,C,D,E )=∑(x i 2+Ax i y i +By i 2+Cx i +Dy i +E)2 N i=1 欲使F 为最小,需使 ?F ?A =?F ?B =?F ?C =?F ?D =?F ?E =0 由此可以得方程: [ ∑x i 2y i 2∑x i y i 3∑x i 2y i ∑x i y i 2∑x i y i ∑x i y i 3∑y i 4∑x i y i 2∑y i 3∑y i 2∑x i 2y i ∑x i y i 2∑x i 3∑x i y i ∑x i ∑x i y i 2∑y i 3∑x i y i ∑y i 2∑y i 2∑x i y i ∑y i 2∑x i ∑y i N ] [ A B C D E ] =-[ ∑x i 3y i ∑x i 2y i 2∑ x i 3∑x i 2y i ∑ x i 2] 解方程可以得到A ,B ,C ,D ,E 的值。 根据椭圆的几何知识,可以计算出椭圆的五个参数:位置参数(θ,x 0,y 0)以及形状参数(a,b )。 x 0=2BC?AD A 2?4B y 0=2D ?AD A 2?4B a =√2(ACD ?BC 2?D 2+4BE ?A 2E )(A 2?4B )(B ?√A 2+(1?B 2)+1) b =√2(ACD ?BC 2?D 2+4BE ?A 2E )(A 2?4B )+√A 2+(1?B 2)+1) θ=tan ?1√ a 2? b 2B a 2B ?b 2

实验四 插值法与曲线拟合

计算方法实验报告 专业班级:医学信息工程一班姓名:陈小芳学号:201612203501002 实验成绩: 1.【实验题目】 插值法与曲线拟合 2.【实验目的】 3.【实验内容】 4. 【实验要求】

5. 【源程序(带注释)】 (1)拉格朗日插值 #include #include #include #include #include #define n 4 //插值节点的最大下标 main() { double x1[n+1]={0.4,0.55,0.65,0.8,0.9}; double y1[n+1]={0.4175,0.57815,0.69657,0.88811,1.02652}; double Lagrange(double x1[n+1],double y1[n+1],float t); int m,k;float x,y;float X;double z; printf("\n The number of the interpolation points is m ="); //输入插值点的个数 while(!scanf("%d",&m)) { fflush(stdin); printf("\n输入错误,请重新输入:\n"); printf("\n The number of the interpolation points is m ="); } for(k=1;k<=m;k++) { printf("\ninput X%d=",k); while(!scanf("%f",&X)) { fflush(stdin); printf("\n输入错误,请重新输入:\n"); printf("\ninput X%d=",k); } z=Lagrange(x1,y1,X); printf("P(%f)=%f\n",X,z); } getch(); return (0); } double Lagrange(double x[n+1],double y[n+1],float X) { int i,j;

最小二乘法圆拟合资料讲解

最小二乘法圆拟合

最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r] 最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。

此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样,但是仍然具有实用估计价值,并且可以化简公式。

VC实现的代码:C++类 void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if (m_nNum<3) { return; } int i=0; double X1=0; double Y1=0; double X2=0; double Y2=0;

double Y3=0; double X1Y1=0; double X1Y2=0; double X2Y1=0; for (i=0;i

隶属函数确定方法探讨

隶属函数确定方法探讨 袁 力,姜 琴 (郧阳师范高等专科学校,湖北丹江口442700) [摘 要]隶属函数描述了研究对象对于某模糊子集的隶属程度,是模糊数学最显著的特征,也是模糊数学应用中最关键的参量.隶属函数有很多不同的确定方法,确定过程中又有很多人为的技巧.文中就隶属函数的一般确定方法以及其它确定方法进行了探讨. [关键词]模糊;隶属函数;隶属度 [中图分类号]TP391.4 [文献标识码]A [文章编号]1008—6072(2009)06—0044—03 1 引言 模糊集理论由Zadeh首次提出后,得到了迅速的发展,并广泛应用于控制系统、人工智能、数据挖掘、模式识别等领域.在应用模糊集理论时,一个不容忽视的问题就是隶属函数的构建,它是正确运用该模糊集理论的关键所在. 隶属函数是模糊数学最显著的特征,它描述了事物的不确定性,加上其值域与概率密度函数的值域相同,使人容易将两者混淆.虽然两者都研究不确定性,但却有着本质的区别.概率论研究的是事物出现与否所表现的不确定性,而事物本身的含义十分明确.比如某市车祸的概率,车祸本身没有什么不明确,只是它发生的频数是个不确定的数,但徘徊在某一数值的左右.然而模糊数学所研究的不确定性则是事物本身.这种事物被说成是甲还是乙,有时到了模棱两可的地步,最后只能说它是甲的程度是多少,是乙的可能性是多少,即这一事物是否符合某一概念没有明确的界限,仅用隶属度对符合的程度进行度量. 隶属函数的确定有很多方法,可以通过模糊统计,可以通过推理,可以采用二元对比排序的方法,可以通过“学习”逐步修改、调整和完善,也可以采用典型的隶属函数作为近似[1].确定的过程是客观的,但期间又可以加上人为的技巧. 2 常见的方法 2.1 模糊统计法 概率统计是通过大量随机试验确定某事物发生的概 率,如食物A在n次试验中出现了k次,则A事物出现的概率表示为: P A=Lim N→∞ k n (1) 一般在n足够大时,P A值稳定于[0,1]中某一个数 值,从而得到A发生的概率. 模糊统计在形式上类似于概率统计,并且都是用确定性手段研究不确定性.但两者属于不同的数学模型,它们有如下的重要区别. 随机试验最基本的要求是:在每次试验中,事件A发生(或不发生)必须是确定的.在各次试验中,A是确定的,基本空间Ω中的元素ω是随机变动的.做n次试验,计算A发生的频率= “ω∈A”的次数 n (2) 随着n增大,通常会表现出频率稳定性.频率稳定所在的那个数,叫做在某种条件下的概率. 模糊统计试验的基本要求[2]是:要对论域上固定的元 μ 0是否属于论域上一个可变动的普通集合A3(A3作为模糊集A的弹性疆域),作一个确切的判断.这要求在每次试验中,A3必须是一个取定的普通集合.在各次试验中,μ0是固定的,而A3在随机变动,做n次试验,计算μ0对A的隶属频率=“ μ 0∈A3”的次数 n (3) 随着n的增大,隶属频率也会呈现稳定性.频率稳定值就叫做μ0对A的隶属度. 在进行模糊统计试验时,必须遵循一个原则:被调查的对象一定要对模糊词汇的概念熟悉并有用数量近似表达这一概念的能力;对原始数据要进行初步分析,删去明 2009年12月郧阳师范高等专科学校学报Dec.2009第29卷第6期Journal of Yunyang Teachers College Vol.29No.6 3 33[收稿日期]2009-08-10 [作者简介]袁 力(1977-),男,湖北丹江口人,郧阳师范高等专科学校数学系讲师,硕士,主要从事统计与金融数 学方面的研究. YYSZXB44

最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现

2014-10-01 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现 最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。 这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

matlab 实现: function [xc,yc,R,f] = circfit(x,y) %CIRCFIT Fits a circle in x,y plane % [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y) % Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an % optional output describing the circle's equation: % x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0 close all; clear all;clc; n=length(x); xx=x.*x; yy=y.*y; xy=x.*y; A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)... sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)]; B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)]; f=A\B; xc = -.5*f(1); yc = -.5*f(2); R = sqrt((f(1)^2+f(2)^2)/4-f(3)); end

曲线的圆弧拟合

曲线的圆弧拟合 —数学应用于实践之一 一、问题的提出 在实践中常出现需要将曲线拟合成圆弧的场合,例如数控机床通常只能作直线、圆弧或圆柱螺旋线的运动,因此必须把不同曲线轨迹转化成机床运动能够接受的形式。我们可以把直线看着为半径值非常大的圆弧,而圆柱螺旋线在圆柱底面的投影就是一段圆弧,因此下面着重由简到繁地介绍曲线拟合成圆弧的几种方法。 二、椭圆曲线的拟合 椭圆曲线是一种简单常见的曲线。现以椭圆曲线长轴为对称轴,取曲线的一半。这部分曲线可以用3圆弧法或5圆弧法拟合。这部分曲线拟合后,另部分曲线以长轴为对称,其拟合结果也容易得到了。 ⑴ 3圆弧法 如图1示,3圆弧法用3段相切圆弧拟合椭圆曲线段 。 a 设椭圆长半轴为a ,短半轴为b 。,则各圆弧半径计算公式如下: R 1=a b a b a b a 2)(2 222+--+ R 2= b b b a b a b a ++-+-2)(2 222 R 3=R 1 各圆心坐标为:)0,();,0();0,(132211a R O R b O R a O --- 用3圆弧法拟合椭圆曲线,计算方法简单,拟合圆弧段少,但对于长、短轴长度相差较大的椭圆曲线,拟合精度降低,如采用5圆弧法拟合,可以取得比较好的效果。 ⑵ 5圆弧法 如图2示,5圆弧法用5段相切圆弧拟合椭圆曲线段。

同样设椭圆的长半轴为a ,短半轴为b 。 各圆弧半径计算公式如下: R 1=a b /2; R 2=ab R 3=b a /2; R 4= R 2 R 5= R 1 各圆心坐标为: ) 0,();,();,0();,();0,(152243322211a R O y x O R b O y x O R a O ---- 从图2知:23213123321221)()(;;R b R a O O R R O O R R O O -+-=-=-= ∴υ=arc cos(32312 2 12322312O O O O O O O O O O ?-+) ω=arc tan( b R R a --31 ) )s i n ()(232υω --=R R x b R R R y +---=3232)c o s ()(υω 与3圆弧法相比,5圆弧拟合比3圆弧更接近理论曲线,因此5圆弧法有较 高的拟合精度。 三、复杂曲线的拟合 在这里复杂曲线是指非圆函数曲线和列表曲线。非圆函数曲线通过计算可转化成列表曲线。列表曲线由一系列有序点列P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P i (x i ,y i ),…,P n (x n ,y n )组成,可列成表格形式。列表曲线的数据也可以通过检测工具对实物逐点测量后获得。 下面介绍两种较常见的列表曲线拟合方法:

数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列,当所得数据比较准确时,可构造插值函数逼近客观存在的函数,构造的原则是要求插值函数通过这些数据点,即。此时,序列与 是相等的。 如果数据序列,含有不可避免的误差(或称“噪音”),如图6.1 所示;如果数据序列无法同时满足某特定函数,如图6.2所示,那么,只能要求所做逼近函数最优地靠近样点,即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数,称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点;拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如: 用各点误差绝对值的和表示: 用各点误差按模的最大值表示: 用各点误差的平方和表示: 或(6.1)

其中称为均方误差,由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中,最小二乘法都是很重要的求解方法。例如,它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权,在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文,这时高斯指出,他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中,怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线?关键在选择适当的拟合曲线类型,有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型;在对拟合曲线一无所知的情况下,不妨先绘制数据的粗略图形,或许从中观测出拟合曲线的类型;更一般地,对数据进行多种曲线类型的拟合,并计算均方误差,用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如,某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路,景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列;设主干路为一条直线 ,即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程(见图6.2)。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据,做拟合直线,均方误差为 (6.2) 是二元函数,的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程:

隶属函数确定问题

隶属函数确定问题 一、隶属函数的确定原则 1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合; 即:在一定范围内或者一定条件下,模糊概念的隶属度具有一定的稳定性;从最大的隶属度函点出发向两边延伸时,其隶属度是单调递减的,而不许有波浪性,呈单峰;一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线。 2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的 模糊变量的标值选择一般取3-9个为宜,通常取奇数(平衡),在“零”“适中”等集合的两边语言值通常取对称。 3、隶属度函数要避免不恰当的重复 在相同的论域上使用的具有语意顺序的若干标称的模糊集合,应该合力排序。 4、论语中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域,同时它一般应该属于之多不超过两个隶属度函数的区域。 5、对于同一输入,没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度 6、对两个隶属度函数重叠时,重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。 二、隶属度函数确定的方法 1、模糊统计法 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是否属于论

域上的一个可变的清晰集的判断。(清晰集、模糊集) 模糊统计法计算步骤: Step1 确定论域 Step2形成调查表 Step3统计成频数分布表 Step4建立隶属函数 Step5隶属度(由频数分布表或者隶属函数可得) 所谓模糊统计实验包含以下四个要素: 假设做n次模糊统计试验,则可计算出: 实际上,当n不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频率的稳定值称为0x对A的隶属度,即 2、例证法例证法由已知的有限个隶属度函数的值,来估计论域U 上的模糊子集A的隶属函数。 3、专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或

最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现

2009-01-17 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现 最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。 这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。

matlab 实现: function[R,A,B]=irc(x,y,N) %x,y是平面点的坐标,N是点个数 %R是拟合半径,A,B是圆心的平面坐标 x1=0; x2=0; x3=0; y1=0; y2=0; y3=0; x1y1=0; x1y2=0; x2y1=0; for i=1:N x1=x1+x(i); x2=x2+x(i)*x(i); x3=x3+x(i)*x(i)*x(i); y1=y1+y(i); y2=y2+y(i)*y(i); y3=y3+y(i)*y(i)*y(i); x1y1=x1y1+x(i)*y(i); x1y2=x1y2+x(i)*y(i)*y(i); x2y1=x2y1+x(i)*x(i)*y(i); end C=N*x2-x1*x1; D=N*x1y1-x1*y1; E=N*x3+N*x1y2-(x2+y2)*x1; G=N*y2-y1*y1; H=N*x2y1+N*y3-(x2+y2)*y1; a=(H*D-E*G)/(C*G-D*D); b=(H*C-E*D)/(D*D-G*C); c=-(a*x1+b*y1+x2+y2)/N; A=a/(-2); B=b/(-2); R=sqrt(a*a+b*b-4*c)/2; VC void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() {

隶属函数及其确定方法

美国加利福尼亚大学控制论教授扎得(L、A、Zadeh)经过多年的琢磨,终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。指出:若对论域(研究的范围)U中的任一元素x,都有一个数A(x)∈[0,1]与之对应,则称A为U上的模糊集,A(x )称为x对A的隶属度。当x在U中变动时,A(x)就是一个函数,称为A的隶属函数。隶属度A(x)越接近于1,表示x属于A的程度越高,A(x)越接近于0表示x属于A的程度越低。用取值于区间[0,1]的隶属函数A(x)表征x 属于A的程度高低,这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。 隶属度属于模糊评价函数里的概念:模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法,其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定,而是以一个模糊集合来表示。 隶属度函数及其确定方法分类 隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。 隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息 的问题中仍然殊途同归。下面介绍几种常用的方法。 (1)模糊统计法: 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n 随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A 的隶属度值。这种方法较直观地反映了模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。 (2)例证法: 例证法的主要思想是从已知有限个μA的值,来估计论域U 上的模糊子集 A 的隶属函数。如论域U代表全体人类,A 是“高个子的人”。显然 A 是一个模糊子集。为了确定μA,先确定一个高度值h,然后选定几个语言真值(即一句话的真实程度)中的一个来回答某人是否算“高个子”。如语言真值可分为“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”和“假的”五种情况,并且分别用数字1、0.75、0.5、0.25、0来表示这些语言真值。对n个不同高度h1、h2、…、hn都作同样的询问,即可以得到 A 的隶属度函数的离散表示。 (3)专家经验法: 专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来 确定隶属函数的一种方法。在许多情况下,经常是初步确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。

计算方法离散数据曲线拟合

第三章 数据拟合 知识点:曲线拟合概念,最小二乘法。 1.背景 已知一些离散点值时,可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数 曲线拟合方法也可以实现这个目标,不同的是构造拟合函数。两种方法的一个重要区别是:由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点,而曲线拟合方法则没有这个要求,只要求拟合函数(曲线)能“最好”靠近这些离散点就好。 2.曲线拟合概念 实践活动中,若能观测到函数y=f(x )的一组离散的实验数据(样点):(x i ,y i ), i =1,2…,n 。就可以采用插值的方法构造一个插值函数?(x),用?(x)逼近f(x )。插值方法要求满足插值原则 ?(x i )=y i ,蕴涵插值函数必须通过所有样点。另外一个解决

逼近问题的方法是考虑构造一个函数?(x )最优靠近样点,而不必通过所有样点。如图。 即向量T=(?(x 1), ?(x 2),…?(x n ))与Y=(y 1,y 2,。。。,y n )的某种误差达到最小。按T 和Y 之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。 曲线拟合问题:如何为f(x )找到一个既简单又合理的逼近函数?(x)。 曲线拟合:构造近似函数?(x),在包含全部基节点x i (i =1,2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x )(不必满足插值原则)。 逼近/近似函数y =?(x)称经验公式或拟合函数/曲线。 拟合法则:根据数据点或样点(x i ,y i ),i =1,2…,n ,构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y =?(x),不要求曲线?(x )经过所有样点,但要求曲线?(x)尽可能靠近这些样点,即各点误差δi =?(x i )-y i 按某种标准达到最小。 均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方: 常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量,以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法(最小二乘原理)。 3.多项式拟合 2 4 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? -4 -2 样点 y =?(x) ?(x i ) y i =f(x i ) ∑==n i i 122 2 ||||δδ

隶属度函数

隶属度函数 ----------------------------精品word文档值得下载值得拥有---------------------------------------------- 美国加利福尼亚大学控制论教授扎得(L、A、Zadeh)经过多年的琢磨,终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。指出:若对论域(研究的范围)U中的任一元素x,都有一个数A(x)?[0,1]与之对应,则称A为U上的模糊集,A(x )称为x对A的隶属度。当x在U中变动时,A( x)就是一个函数,称为A的隶属函数。隶属度A(x)越接近于1,表示x属于A的程度越高,A(x)越接近于0表示x属于A的程度越低。用取值于区间[0,1]的隶属函数A(x)表征x 属于A的程度高低,这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。 隶属度属于模糊评价函数里的概念:模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法,其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定,而是以一个模糊集合来表示。 隶属度函数及其确定方法分类 隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。 隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。下面介绍几种常用的方法。 (1)模糊统计法:

最小二乘法平面拟合

最小二乘法平面拟合 在介绍平面拟合之前,我先给大家介绍一下有关平面的相关知识(相关介绍来自QVPak 3D,日本三丰) Definition of the Plane Feature A plane feature is reported as the projection of the centroid of the points used to fit the plane, which is projected onto the plane feature, a measurement of the direction measured as an angle, a measurement of the flatness of the plane and a measurement of the parallelism of the plane. If measured in a Cartesian coordinate system, the coordinates of the plane's centroid are reported as follows: X: The distance from the origin to the centroid, as measured along the x-axis. Y: The distance from the origin to the centroid, as measured along the y-axis. Z: The distance from the origin to the centroid, as measured along the z-axis. If measured in a Cylindrical coordinate system, the coordinates of the plane's centroid are reported as follows: R: The distance from the z-axis of the coordinate system to the centroid, as measured within a plane which contains the centroid and is orthogonal to the z-axis of the coordinate system. A: The direction, measured as an angle, between a reference radius vector and a radius vector that contains the centroid and is projected onto the xy-plane. The reference radius vector may be considered to be the x-axis. Z: The height from the origin to the centroid in the cylindrical coordinate system, as measured along the z-axis. The other attributes of the plane feature are: Angle: The angle between the projection of the plane’s normal vector onto the xy-plane and the x-axis of the current coordinate system. X-angle: The angle between the plane’s normal vector and the x-axis of the current coordinate system. (X-Angle = arc cosine k). The x-angle is a positive number between 0 and 180 degrees. Y-angle: The angle between the plane’s normal vector and the y-axis of the current coordinate system. (Y-Angle = arc cosine l). The y-angle is a positive number between 0 and 180 degrees. Z-angle: The angle between the plane’s normal vector and the z-axis of the current coordinate system. (Z-Angle = arc cosine m). The z-angle is a positive number between 0 and 180 degrees.

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