江苏省淮安市涟水一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
江苏省淮安市涟水一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={﹣1，1，3}，B={x|x＜3}，则A∩B=．
2．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则cosα=．
3．方程22x﹣1=的解x=．
4．某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家家听到状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽样的样本容量为．
5．如图是一个算法的流程图，当n是时运算结束．
6．已知函数f（x）=（m?2x+2﹣x）cosx（x∈R）是奇函数，则实数m=．
7．现有7根铁丝，长度（单位：cm）分别为2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm的概率是．
8．已知函数，则f（x）的最大值为．9．已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11．
10．已知实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值是．
11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．
12．如图，在△ABC中，若=2，=2，=λ（﹣），则实数λ=．
13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为．
14．已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx ＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置上.
15．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+2﹣4．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设等差数列{b n}满足b7=a3，b15=a4，求数列{b n}的前n项和T n．
16．在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点A（﹣，y0）．
（1）求2sin2α+sin2α的值；
（2）若向量与夹角为60°，且||=2，求直线AB的斜率．
17．如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．
（1）求x，y的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．
18．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：；
第二组：；
（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
19．（16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半
圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．
（1）若CE=，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
20．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a i b i=（n﹣1）?2n+1+2．
（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；
（2）设C n=，数列{C n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．
江苏省淮安市涟水一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={﹣1，1，3}，B={x|x＜3}，则A∩B={﹣1，1}．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：由A与B，求出两集合的交集即可．
解答：解：∵A={﹣1，1，3}，B={x|x＜3}，
∴A∩B={﹣1，1}，
故答案为：{﹣1，1}
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则cosα=．
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：三角函数的求值．
分析：先求出角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．
解答：解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r=5，
由任意角的三角函数的定义得cosα==．
故答案为：．
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．3．方程22x﹣1=的解x=﹣．
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：函数的性质及应用．
分析：原方程转化为22x﹣1=2﹣2，根据指数函数的性质得到2x﹣1=﹣2，解得即可．
解答：解：22x﹣1==2﹣2，
∴2x﹣1=﹣2，
解得x=﹣，
故答案为：﹣
点评：本题考查了指数方程的解法，属于基础题．
4．某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家家听到状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽样的样本容量为30．
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
解答：解：设样本容量为n，
则，
解得n=30，
故答案为：30．
点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
5．如图是一个算法的流程图，当n是5时运算结束．
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63，此时n=5．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
S=1，n=1
S=3
不满足条件S≥33，n=2，S=7
不满足条件S≥33，n=3，S=15
不满足条件S≥33，n=4，S=31
不满足条件S≥33，n=5，S=63
满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63，此时n=5．
故答案为：5．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n，S的值是解题的关键，属于基础题．
6．已知函数f（x）=（m?2x+2﹣x）cosx（x∈R）是奇函数，则实数m=﹣1．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以得到m+1=﹣（m+1）?22x，由于22x＞0，从而m+1=0，这便求得m的值．
解答：解：f（x）是奇函数；
∴f（﹣x）=﹣f（x）；
∴（m?2﹣x+2x）cosx=﹣（m?2x+2﹣x）cosx；
∴m?2﹣x+2x=﹣m?2x﹣2﹣x；
∴m+1=﹣（m+1）?22x；
∴m+1=0；
∴m=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：考查奇函数的定义，以及指数函数的值域，指数的运算．
7．现有7根铁丝，长度（单位：cm）分别为2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm的概率是．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：计算题；概率与统计．
分析：用列举法列出基本事件数，求出对应的概率即可．
解答：解：从2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5这7个数中，随机抽取2根铁丝，
基本事件数是
（2.01，2.2），（2.01，2.4），（2.01，2.5），（2.01，2.7），（2.01，3.0），（2.01，3.5）
（2.2，2.4），（2.2，2.5），（2.2，2.7），（2.2，3.0），（2.2，3.5），
（2.4，2.5），（2.4，2.7），（2.4，3.0），（2.4，3.5），
（2.5，2.7），（2.5，3.0），（2.5，3.5），
（2.7，3.0），（2.7，3.5），（3.0，3.5）共21种；
其中它们长度恰好相差0.3cm的基本事件数是：
（2.2，2.5），（2.4，2.7），（2.7，3.0）共3种；
所求的概率是P==．
故答案为：．
点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．
8．已知函数，则f（x）的最大值为2．
考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域，求得f（x）的最大值．
解答：解：由题意可得，函数f（x）=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2cos（x﹣），
故函数的最大值为2，
故答案为：2．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式，余弦函数的值域，属于基础题．
9．已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a1111．
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等比数列的性质得：a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6=，根据对数的运算性质和条
件化简式子求出式子的值．
解答：解：由等比数列的性质得，a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6=，
∵a6=2，公比q＞0，
∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…+a11）
==11=11，
故答案为：11．
点评：本题考查等比数列的性质，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．
10．已知实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值是13．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，
直线y=的截距最大，此时z最大．
由，解得，
即B（2，3）．
此时z的最大值为z=2×2+3×3=13，
故答案为：13．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．
考点：函数的零点．
专题：数形结合法．
分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．
解答：解：函数f（x）==，
得到图象为：
又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
知f（x）=m有三个零点，
则实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，12．如图，在△ABC中，若=2，=2，=λ（﹣），则实数λ=．
考点：向量的线性运算性质及几何意义．
专题：平面向量及应用．
分析：根据几何图形得出=，=，表示==，=λ（
﹣）==，对于基底向量的系数相等，即可求解．解答：解：∵=2，=2，
∴=，=，
，∵==，
=λ（﹣）==，
∴，
故答案为：．
点评：本题考察了平面向量的分解表示，运用基底表示向量，对于系数相等，考察了几何图形的运用能力．
13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为2．
考点：等差数列的性质．
分析：先由a1，a3，a4成等比数列，寻求首项和公式的关系，再将用首项和公差
表示求解．
解答：解：∵a1，a3，a4成等比数列
∴（a1+2d）2=a1?（a1+3d）
∴a1=﹣4d
=2
故答案是2
点评：本题主要考查等差、等比数列的综合运用．
14．已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx ＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是（0，）．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：运用对数的真数大于0，可得A=（0，1），对已知不等式两边除以x，运用参数分离和乘1法，结合基本不等式可得不等式右边+的最小值，再解m的不等式即可得到
m的范围．
解答：解：由函数y=lg（﹣1）可得，
﹣1＞0，解得0＜x＜1，
即有A=（0，1），
对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，即有
﹣m2﹣2m＞﹣，整理可得m2+2m＜+在（0，1）恒成立，
由+=（+）（1﹣x+x）=+2++
≥+2=．
即有m2+2m＜，由于m＞0，
解得0＜m＜，
故答案为：（0，）．
点评：本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置上.
15．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+2﹣4．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设等差数列{b n}满足b7=a3，b15=a4，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）求解n=1时，得出a1，n≥2时，运用a n=S n﹣S n﹣1，合并通项公式即可．（2）所以根据条件得出方程组，运用求和公式求解即可．
解答：（1）因为数列{a n}的前N项和S n=2n+2﹣4．
所以a1=S1=23﹣4=4
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n+2﹣4）﹣（2n+1﹣4）=2n+1，
因为n=1时也适合，所以a n=2n+1（n∈N*）；
（2）设等差数列{b n}的首项为b1，公差为d，因为b7=a3，b15=a4，a n=2n+1
所以，
解得，
所以数列{b n}前n项和T n=nb1d=n2+3n．
点评：本题考察了数列的递推关系式的运用求解通项公式，关键是n=1别忘了，运用条件的方程组，计算能力．
16．在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点A（﹣，y0）．
（1）求2sin2α+sin2α的值；
（2）若向量与夹角为60°，且||=2，求直线AB的斜率．
考点：任意角的三角函数的定义；直线的斜率．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由条件求得y0=，再利用任意角的三角函数的定义求得cosα和sinα的值，可得2sin2α+sin2α的值．
（2）利用两个向量的数量积的定义求得=1，设B（x，y），则由题意可得x2+y2=4，
且﹣x+y=1，再利用个向量的数量积公式求得，解出x、y的值，可得点B坐标，再利用斜率公式求得AB的斜率．
解答：解：（1）由题意可得+=1，y0＞0，求得y0=，
∴cosα=﹣，sinα=，故2sin2α+sin2α=2sin2α+2sinαcosα=2×+2××（﹣）=．
（2）∵向量与夹角为60°，且||=1，||=2，
∴=1×2×cos60°=1．
设B（x，y），则由题意可得x2+y2=4，且﹣x+y=1．
求得x=，y=；或x=﹣，y=，
即B（，），或B（﹣，）．
再根据A（﹣，），根据斜率公式求得AB的斜率为=﹣或
=+．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，直线的斜率公式，属于中档题．
17．如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．
（1）求x，y的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．
考点：极差、方差与标准差；茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y，
（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解．
（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大．得出结论：甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．
解答：解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知
高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，
65，64，所以x=6，
因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为
5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，
7，7，19，和为41，所以y=3，
（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；
乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，
甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，
其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，
（3）因为甲的平均数为：
=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，
所以甲的方差S2甲=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，
又乙的方差S2乙=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=70.3，
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．
点评：本题考察了茎叶图的运用，求解方差，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度．
18．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：；
第二组：；
（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由条件利用生成函数的定义，判断h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数，从而得出结论．
（2）由题意可得不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，等价于
在[2，4]上有解．令s=log2x，则s∈[1，2]，由，求得y的最小值，可得t的范围．
解答：解：（1）①设，即，取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．
②设a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2﹣（a﹣b）x+b=x2﹣x+1，
则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．
（2）因为，
所以，
不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
等价于在[2，4]上有解，
令s=log2x，则s∈[1，2]，由，
知y取得最小值﹣5，所以t＜﹣5．
点评：本题主要考查新定义，两角和差的正弦函数，属于中档题．
19．（16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半
圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．
（1）若CE=，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
解答：解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，
∴13=16+AE2﹣2×，
∴AE=1或3；
（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．
在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；
在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，
该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，
S△CEF==，
∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，
∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a i b i=（n﹣1）?2n+1+2．
（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；
（2）设C n=，数列{C n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：（1）由数列的通项和求和的关系，当n=1时，a1=S1=2（a1﹣1），解得a1=2，当n ＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，由等比数列的通项即可得到，再由n换成n+1，相减可得数列{b n}的通项公式；
（2）求出C n=，运用错位相减法，求得前n项和为T n，再由数学归纳法，即可得证．
解答：解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），
当n=1时，a1=S1=2（a1﹣1），解得a1=2，
当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），
化简可得a n=2a n﹣1，
由等比数列的通项公式，可得a n=2n，
数列{b n}满足：对任意n∈N*有a i b i=（n﹣1）?2n+1+2．
即有a i b i=n?2n+2+2，
两式相减，可得a n+1b n+1=n?2n+2+2﹣（n﹣1）?2n+1﹣2
=（n+1）2n+1，
由a n+1=2n+1，可得b n+1=n+1，
即有b n=n，
当n=1时，a1b1=2，可得b1=1，
故有a n=2n，b n=n；
（2）C n==，
则T n=+++…+，
T n=+++…+，
两式相减，可得T n=++…+﹣=﹣，
解得T n=2﹣，
当n≥6时，n|2﹣T n|＜1，即为＜1，即证2n＞n（n+2）．
运用数学归纳法证明．
当n=6时，26=64，6×8=48，则64＞48，成立．
当n=7时，27=128，7×9=63，则128＞63，成立．
假设n=k（k≥7）时，2k＞k（k+2）．
当n=k+1时，2k+1＞2k（k+2）．
由2k（k+2）﹣（k+1）（k+3）=k2﹣3＞0，
即有2k（k+2）＞（k+1）（k+3），
则当n=k+1时，2k+1＞（k+1）（k+3）．
综上可得，
当n≥6时，2n＞n（n+2）．
即有n|2﹣T n|＜1．
点评：本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查等差数列和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法和数学归纳法的证明不等式，属于中档题．