数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案
参考答案
一． 填空(每空3分，共30分)
1. 截断误差
2. )2(--x x ，
2
)
1(-x x ， 10 3. 1
4.)
(2)
(21
k k k k k k x f x x f x x x '---
=+ 5. 6，5，26，9
二． 计算
1. 构造重节点的差商表：
所以，要求的Newton 插值为：
3()5(1)2(1)(2)(1)(2)(3)N x x x x x x x =--+--+---
3243x x =-+
插值余项是：2()
()(1)(2)3!
f R x x x ξ'''=
--
或：()[,1,2,3,4](1)(2)(3)(4)R x f x x x x x =----
2.（1）解：()1f x =时，左1
0()1f x dx ==?，右01A A =+，左＝右得：011A A +=
()f x x =时，左1
01()2f x dx ==
?，右01B A =+，左＝右得：0112
B A += 2
()f x x =时，左10
1()3f x dx ==?，右1A =，左＝右得：113
A =
联立上述三个方程，解得：
001211
,,363
A B A ===
3
()f x x =时，左101()4f x dx ==?，右113
A ==，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2
（2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：
'212021
2000
10(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==?
其求积余项为：
1
'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=?
11
2
20
1()()!
))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==??
? 12
0()(1)3!f x x dx ζ'''=
-? ()72
f ζ'''=-
所以，172
k =-
3.解：改进的Euler 公式是：
1111(,)[(,)(,)]2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++=+??
?=++??
具体到本题中，求解的公式是：
11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+??
=++++??=?
代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =
222.276, 2.4832y y ==
4．解：设3()25,f x x x =+-则2()32,f x x '=+ 牛顿迭代公式为：1()
()
k k k k f x x x f x +=-'
32
25
32
k k k k x x x x +-=-+ 32
25
32
k k x x +=+
将0 1.5x =代入上式，得
1 1.34286x =，
2 1.37012x =，
3 1.32920x =,
4 1.32827x =,
5 1.32826x =
4540.0000110x x --=<
所以，方程的近似根
5 1.32826x =
5．解，Jacobi 迭代公式是：
1123121
1131521333324k k k k k k k x x x x x x x ++++?=--??
?=-???=-??
Gauss-Seidel 迭代公式是：
11231121
1131521333324k k k k k k k x x x x x x x +++++?=--??
?=-???=-??
(2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A D L U =--，其中
300020001D ?? ?= ? ???，000021200,000100000L U --???? ? ?=-= ? ? ? ?-????
Jacobi 迭代矩阵是：
11
03
0211()0
020********J B D L U -??
--?? ? ? ?=+=- ? ? ?- ???
??
?
21033100100--??
? ?=- ?- ???
Gauss-Seidel 迭代矩阵是：
1
1300021()220000101000J B D L U ----????
? ?
=-= ? ? ? ?????
20002112300006206000--???? ???=- ??? ???-????
021********--??
?= ? ???
二． 证明
证明：00x >且11()2
k k k
a
x x x +=+
0k x ?>
所以有：111()2
2k k k a x x x +=+
≥=
即：数列k x 有下界；
2111
()()22k k k k k k k
x a x x x x x x +=+≤+=
所以，迭代序列k x 是
单调递减的，
由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列k x 极限存在。 所以，迭代法11()2
k k k
a
x x x +=+
是收敛的。