广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学(文)试题 Word版含答案

2013届高三广东六校第二次联考

（文科）数学试题

命题： 中山纪念中学 周建刚

参考学校：惠州一中 广州二中 东莞中学 中山纪中 深圳实验 珠海一中

本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟

一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1. 函数

()f x =

A ．(0,3) 2.复数3

11(i i

-

A ．(1,1) 3.“1x =A.C.充要条件4.tan 330°Ａ．3

-

5.下图为函数f A . 311a a >>

B. 321a a >>

C. 121a a >>

D. 211a a >> 6.若2

()(0)f x ax bx c a =++≠是定义在R 上的偶函数,则b 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．无法确定

7.在1和256之间顺次插入三个数,,a b c ，使1,,,,256a b c 成一个等比数列，则这5个数之积．．

为 （ ） A ．182

B ．192

C ．202

D ．212

8.若函数3()1f x x x =-+在区间(,)a b （,a b 是整数，且1b a -=）上有一个零点，则a b +的值为 （ ） A ．3

B ．2-

C ．2

D ．3-

9.如右图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=

（ ） A ．FO

B ．O G

C ．OH

D ．EO

10. 如图，将等比数列{}n a 的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{}n a 的前2013项和20134026,S =则满足

n

a n

n n

a >的n 的值为 （ ）

A ．2

B ．3

C ．2013

D ．4026

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.已知函数2log ()3

x

x f x ?=??(0)(0)

x x >≤，则(0)f =

12.已知,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C

所对的边，若11,cos 2

a b B ==

=

，则

sin A =

13.已知1||=a ，2||=b ，()a b a +⊥

，则a 与b 夹角为

14.已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 均有1(2)()2

f x f x +=-

，且()f x

在区间

Q

[]0,2上有表达式

2

()2f x x x =-+，则函数)(x f 在区间[3,2]--上的表达式为()f x =

_______________

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分） 已知函数()cos 2sin 2f x x x =+ （1）求()f x 的最大值和最小正周期；

（2）设,[0,]2

π

αβ∈，(

)(

)2

8

2

2

f f α

π

β

π+

=

+=sin()αβ+的值

16. （本小题满分12分）

已知(sin ,cos )a θθ= 、b =

（1）若//a b

，求tan θ的值；

（2）若()f a b θ=+

， A B C ?的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ，且

(0)a f =，()6

b f π

=-

，(

)3

c f π

=，求AB AC ? 。

17. （本小题满分14分）

在等比数列}{n a 中，公比1q >，且满足23428a a a ++=，32a +是2a 与4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若25log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 的和为n S ，求数列n S n ??

????

的前n 的和n T

18. （本小题满分14分）

已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且1111311

4

4131

4

4n n n n n n a a b b a b ----?=++???

?=++??（2n ≥），数列{}

n c 满足n n n c a b =+ （1）求1c 和2c 的值，

（2）求证：数列 {}n c 为等差数列，并求出数列{}n c 的通项公式 （3）设数列{}n c 的前n 和为n S ，求证：1

2

3

11111n

S S S S +

+

++

<

19. （本小题满分14分）

已知函数2()21f x x tx =-+，()ln g x b x =，其中,b t 为实数 （1）若()f x 在区间[3,4]为单调函数，求实数t 的取值范围 （2）当1t =时，讨论函数()()()h x f x g x =+在定义域内的单调性

20. （本小题满分14分）

已知三次函数3

2

() ()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、为奇函数，且在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =- (1)求函数()f x 的表达式.

(2)已知数列{}n a 的各项都是正数,且对于*

n N ?∈,都有2

11

()()n

n

i i i i a f a ===

∑∑

,求数列{}n a 的

首项1a 和通项公式

(3)在(2)的条件下，若数列{}n b 满足1

*

42

(,)n a n

n b m m R n N +=-?∈∈,求数列{}n b 的最小

值.

2013届高三六校第二次联考（文科）数学试题

参考答案及评分标准

命题： 中山纪念中学 周建刚 审题：中山纪念中学高三文科数学备课组

第Ⅰ卷选择题（满分50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．（C ） 2．（B ） 3．（A ） 4．（A ） 5．（C ）

6．（B ） 7．（C ） 8．（D ） 9．(A) 10．（B)

第Ⅱ卷非选择题（满分100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．1 12．12

13．23

π

14．()4(2)(4)f x x x =-++

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）

解：（1）()cos 2sin 2cos 22)2

2

f x x x x x =+=

+

…………………1分

)4

x π

=+………………………4分

且x R ∈()f x ∴5分 最小正周期22

T ππ=

=……………………………………6分

（2）())))2

8

2

8

4

2

f α

π

α

π

π

π

α+

=+

+

=+

…………………7分

c o s 2

α=

=

，cos 4

α∴=

…………………8分

又[0,

]2

π

α∈ ，sin 4

α∴=…………………9分

()))2)2

2

4

4

f β

β

π

π

ππβπ+=++=

+

+ …………………10分

)4

π

β=+

=…………………11分

又3[0,

],[

,],2

4

44

4

2

π

π

ππ

π

π

βββ∈∴+

∈∴+

=

? 4

π

β=

sin()sin()sin cos

cos sin

4

4

4

4

π

π

π

αβααα+=+

=?+?=

…………………12分

16. （本小题满分12分）

解：（1）//,sin 0a b θθ∴-

=

…………………3分

sin tan θθθ∴=?=…………………6分

（2）(sin cos 1)a b θθ+=++

…………………7分

a b ∴+=

==

8分

(0)a f ∴===

()6

b f π

∴=-

==

(

)33

c f π∴===…………………10分

由余弦定理可知：2

2

2

cos 230

b c a

A bc

+-==

…………………11分

7

cos cos 2

AB AC AB AC A bc A ∴?=== …………………12分（其它方法酌情给分）

17. （本小题满分14分）

解（1）由题可知：3242(2)a a a +=+…………………1分

24328a a a +=- ，3332(2)28,8a a a ∴+=-∴=…………………3分

32431208(

)20,2a a a a q q q q

q

∴+==

+=+== 或12

q =

（舍去）…………5分

3

3

382

2n n n

n a a q

--∴==?=…………………7分

（2）5

5

522,2,log 2

5n

n n n n n a a b n +++=∴===+ ，16b ∴=…………………9分

所以数列{}n b 是以6为首项1为公差的等差数列，

1()(11)22n n b b n

n n

S ++∴==

…………………11分

111112

22

n S n n n

+∴==+…………………12分

所以数列n S n ??

?

?

??

是以6为首项，12为公差的等差数列，所以2

111(6)232

2

2

4

n n n n n

T +++=

=

…………………14分

18. （本小题满分14分）

解（1）1113c a b =+=…………………1分

21131111,444a a b =

+

+=

…………………2分

2111391,444

b a b =++=

…………………3分

2225c a b =+=…………………4分

（2）证明：因为1111311

4

4131

4

4

n n n n n n a a b b a b ----?

=++???

?=++??，

11111113113(

1)(

1)2244

44

n n n n n n n n n n c a b a b a b a b c -------∴=+=+

+++

+=++=+

……………6分

12,2n n n c c -∴≥-=，即数列 {}n c 以13c =为首项，2为公差的等差数列……………7分 3(1)221n c n n ∴=+-=+…………………8分

（3）(321)(2)2

n n n

S n n ++∴==+…………………10分

解法一：

1

2

3

111111113

24

(2)

n

S S S S n n +

+

++

=

+

++

???+

因为

1111(2)(1)

1

n n n n n

n <

=-

?+?++，…………………12分

所以

11

1

1111111

()()()1113

24

(2)122311

n n n n n +

++

<-+-++-=-

…………………14分

解法二：

1

2

3

111111113

24

(2)

n

S S S S n n ++++

=

+

++

???+

因为

1111()(2)

22

n n n n =

-?++…………………12分

所以

1

2

3

111111113

24

(2)

n

S S S S n n +

+

++

=

+

++

???+

111111111111111111111()()()()()()()2132242352462221122

n n n n n n =

-+-+-+-++-+-+---++ …………………13分

11113113(1)(

)1221

2

41

2

4

n n n n =+

-

-

=

-+

<

<++++…………………14分

19. （本小题满分14分）

解：（1）2()21f x x tx =-+的对称轴为x t =，…………………2分 开口向上，所以当3t ≤时，函数在[3,4]单调递增，…………………4分 当4t ≥时函数在[3,4]单调递减，…………………6分

所以若()f x 在区间[3,4]为单调函数，则实数t 的取值范围3t ≤或4t ≥……………7分 （2）2()21ln h x x x b x =-++的定义域为(0,)+∞……………8分 2

22()22b x x b

h x x x x

-+'=-+

=

，……………9分

令2()22g x x x b =-+，(0,)+∞，

所以()g x 在(0,)+∞的正负情况与()h x '在(0,)+∞的正负情况一致 ①当480b ?=-≤时，即12

b ≥

时，则2()220g x x x b =-+≥在(0,)+∞恒成立，所以

()0h x '≥在(0,)+∞恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数……………10分

②当480b ?=->时，即12

b <

时，令方程2

()220g x x x b =-+=的两根为12,x x ，且

1202

2

x x ==

>……………11分

（i ）

当1110102

2

x b -=

>?>?<<时，不等式2

()220

g x x x b =-+>

解集为11(0,

(

)2

2

-++∞ ，2

()220g x x x b =-+<

解集为

2

2

，所以()h x

的单调增区间为)2

2

+∞；

单调减区间为2

2

……………12分

(ii)

当10102

x b =

≤?≤?≤时，不等式2

()220g x x x b =-+>解集

为)2+∞，2

()220g x x x b =-+<解集为2

，所以()h x 的单调

增区间为)2

+∞；单调减区间为2

……………13分

综上所述：当12

b ≥时，函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数

当102

b <<时，()h x 的单调增区间为(0,)

2

2+∞；

单调减区间为22

当0b ≤时，()h x 的单调增区间为1(

,)2+

+∞；

单调减区间为1(0,

2

+

……………14分

20. （本小题满分14分）

解：(1)()f x 为奇函数， ()()f x f x ∴-=-，即

3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=---- 2

220

b x d ∴+=0b d ∴==…………2分 3

()f x ax cx ∴=+，又因为在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =- (1)331,0(1)1

f a c a c f a c '=+=?∴?==?=+=?，3

()f x x ∴=…………4分 (2)由题意可知：222121

()()n

i n n i a a a a S ==+++=∑

1

()n

i i f a ==∑

3333

12123()()()n n f a f a f a a a a a +++=++++

所以33332

123n n a a a a S ++++= …….. …....①

由①式可得321111,01a a a a =>?=………….5分

当2n ≥，33332

12311n n a a a a S --∴++++= ………②

由①-②可得:

3

2

2

11()n n n n n n a S S a S S --=-=+

{}n a 为正数数列2

12n n n n n a S S S a -∴=+=-…..③

…………..6分 2

1112n n n a S a ---∴=-………..④

由③-④可得:22

11n n n n a a a a ---=+

10n n a a -+> ,11n n a a -∴-=,{}n a ∴是以首项为1，公差为1的等差数列,…………..8分

*

()n a n n N ∴=∈…………9分

（注意：学生可能通过列举然后猜测出*()n a n n N ∴=∈，扣2分，即得7分）

(3) ()n a n n N +=∈ ,12242(2)()n n n n b m m m n N ++∴=-?=--∈ 令2(2)n t t =≥,22()(2)n b t m m t ∴=--≥…………10分

(1)当2m ≤时,数列{}n b 的最小值为当1n =时,144n b b m ==-……….11分 (2)当2m >时

①若*2(,2)k m k N k =∈≥时, 数列{}n b 的最小值为当n k =时,2

k b m =-

②若1

*

22

(,2)2

k k m k N k ++=

∈≥时, 数列{}n b 的最小值为, 当n k =时或1n k =+

22

1(2)k

k k b b m m +==--

③若1

*

22

2(,2)2

k k k

m k N k ++<<

∈≥时, 数列

{}

n b 的最小值为,当n k

=时,22

(2)k k b m m =--

④若

1

1

*

22

2

(,2)2

k k k m k N k +++<<∈≥时,数列{}n b 的最小值为,当1n k =+时

1

22

1(2

)k k b m m ++=--…………14分