2009年全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)

2009年全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)
2009年全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)

最新全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 百度简介

中国大学生数学竞赛

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.设1a ,则代数式32312612a a a +--的值为( >. .,0y >,且满足3y y x xy x x y ==,,则x y +的值为( >. .

全国大学生数学竞赛预赛试题

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算__ ,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设是连续函数,且满足, 则____________. 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_____. 二、(5分)求极限,其中是给定的正整数. 三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性. 四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证: (1);(2) . 五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、(25分,每小题5分) (1)设其中求(2)求。 (3)设,求。 (4)设函数有二阶连续导数,,求。 (5)求直线与直线的距离。 二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且 且存在一点,使得,证明:方程在恰有两个实根。 三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具 有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。 四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛; (2)当且时,级数发散。 五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均 匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线

全国初中数学竞赛试题及解答

A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里) 1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( ) A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( ) 答案:C 解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A 解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案:B 解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴54 1 N ,即1 N ,2,3,4,5 5、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且 c b a b a b a ,则它的内角A 、B 的关系是

2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题: 1.已知x ,y 为整数,且满足(1x +1y ) (1x 2+1y 2)=-23(1x 4-1y 4),则x +y 的可能的值有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知非负实数x ,y ,z 满足x +y +z =1,则t =2xy +yz +2xz 的最大值为( ) A .47 B .59 C .916 D .1225 3.在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,BE ⊥AC 于E ,交AD 于P ,已知BP =3,PE =1,则AE =( ) A .62 B .2 C .3 D .6 4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( ) A .12 B .25 C .23 D .34 5.设[t ]表示不超过实数t 的最大整数,令{t }=t -[t ].已知实数x 满足x 3+1x 3=18,则 {x }+{1x }=( ) A .12 B .3-5 C .12 (3-5) D .1 6.在△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AC =1,D 在BC 上,E 在AB 上,使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE =90° ,则BE 的长为( ) A .4-23 B .2-3 C .12 (3-1) D .3-1 二、填空题: 1.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =1, 1 a +b -c + 1 a +c -b + 1 b +c -a =1,则abc =__ 2.使得不等式917<n n +k <815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________. 3.已知P 为等腰△ABC 内一点,AB =BC ,∠BPC =108°,D 为AC 的中点,BD 与PC 交于点E ,如果点P 为△ABE 的内心,则∠P AC =________.

全国大学生数学竞赛简介资料

全国大学生数学竞赛 第一届 2009年,第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月,历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛,最终,29人获得非数学专业一等奖,15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人,已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。(一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广.

全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.) 1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为(). (A)2c a-(B)22 a b -(C)a-(D)a 1(乙).如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为(). (A)2 -(B)2(C)2 (D) 22 2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y = x b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为(). (A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3) (D)(3,2) 2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x +2y的整数点坐标(x,y)的个数为(). (A)10 (B)9 (C)7 (D)5 3(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b <<,那么

1121 a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是( ). (A )1 (B ) 214a - (C )12 (D )1 4 3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=?,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )4.5 4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4(乙).如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的 个数是( ). (A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则 0123p p p p ,,,中最大的是( ). (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p 5(乙).黑板上写有1 11123100 , , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数 是( ). (A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续,故dx x ?1 02-1存在,且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i , 所以,= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中,无论a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有0=b ,当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?, 由上式可知:当0→x 时,若1≠a ,则此极限存在,且其值为0;若1=a ,则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x , 综上所述,得到如下结论:;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ,则 =I 22 20π π = ?dt , 所以,4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0, 容易看出:当e x <<0时,0<'y ;当e x >时,0>'y 。 所以,x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题(只有一个结论正确) 1、设a,b,c 的平均数为M ,a,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若a>b>c ,则M 与P 的大小关系是( ) (A )M =P ;(B )M >P ;(C )M <P ;(D )不确定。 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(ba 1,b>b 1, c>c 1,,则S 与S 1的大小关系一定是( )。 (A )S >S 1;(B )S <S 1;(C )S =S 1;(D )不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++=________。 8、如图,在梯形ABCD 中,AB∥DC,AB =8,BC = ∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数有_______个。 10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处,向两侧地面上的E 、D ;B 、F 点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类).

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性 定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性),归结原则和Cauchy 收敛准则,两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O 与o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

最新全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试 题及答案

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( )

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 (A )12; (B )13; (C )14; (D )15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 .

2017年全国数学竞赛真题AB卷

2017年全国高中数学联赛A 卷 一试 一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数,对任意实数 x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时,)9 (log )(2x x f ,则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足 1cos 22y x ,则y x cos 的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为1109:2 2y x ,F 为C 的上焦点,A 为C 的 右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点, 则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P 中,1AB ,2AP ,过AB 的平面将其体积平分,则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为 5的概率为__________. 7.在ABC 中,M 是边BC 的中点,N 是线段BM 的中点.若3A ,ABC 的面积为3,则AN AM 的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足:20171010b a ,对任意正整数n ,有n n n a a a 12,n n b b 21,则11b a 的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k,为实数,不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明:22a b . 10.设321,,x x x 是非负实数,满足1321x x x ,求)53)(53(3 21321x x x x x x 的最 小值和最大值.

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 一、 计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤). (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+,求()f x .

二、(10分)求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????; (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、(10分)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导, (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、(10分) 设()f x 在[0,)+∞上连续,无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、(12分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明:(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=;(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、(14分)设1n >为整数, 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性),归结原则和Cauchy 收敛准则,两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O 与o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

1 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间:2018年4月1日上午9:30—11:30 一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分) 1.方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 解:选(A )。当x ≥0时,则有y -|y|=6,无解;当x<0时,则y +|y|=18,解得:y=9,此时x=-3. 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ) (A )14 (B )16 (C )18 (D )20 解:选(B )。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种 3.已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数,且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax , 02 =++a cx bx ,02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根,则 ab c ca b bc a 2 22++的值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 解:选(D )。设这三条方程唯一公共实数根为t ,则20a t b t c ++ =,20bt ct a ++=,2 0ct at b ++= 三式相加得:2 ()(1)0a b c t t ++++=,因为210t t ++≠,所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=, 所以 ab c ca b bc a 222++=333 a b c abc ++=33abc abc = 4.已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相 交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经 过△ABC 的( ) (A )内心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心 解:选(B )。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ,由题意知:⊙O 与⊙F 且弧DmE =弧DnE ,所以∠EAB =∠ABE ,∠DAC =∠ACD , 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ,F 作AB ,AC 相交于点H ,则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD =∠ACD , 所以∠DHE+∠ACD =∠DHE+∠KHD =180°,即点H ,D ,C ,E 在同一个圆上, 也即点H 在⊙O 上,因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5.方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (,)y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )3 (D )无穷多 解:选(A )。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。

历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1. 计算()ln(1) d y x y x y ++=??____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?,则()f x =____________. 3.曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =?,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求()g x '并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ,且n e u n =)1(,求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、(10分)求- →1x 时,与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

2020年全国初中数学竞赛试题及答案

初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.已知非零实数a,b 满足,则等于(). (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1. 2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于(). 【答】A.解:因为△BOC ∽△ABC,所以,即,所以,. 由,解得. 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组只有正数解的概率为(). (A)(B)(C)(D) 【答】D.解:当时,方程组无解.当时,方程组的解为 由已知,得即或由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得 共有 5×2=10种情况;或共3种情况. 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为. 4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,. 动点P从点 B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为(). (A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B. 解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=×8×4=16. 5.关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为(). (A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组 【答】C.解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为. 由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.由≥,解得≤.于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然,只有时,是完全平方数,符合要求. 当时,原方程为,此时; 当y=-4时,原方程为,此时.

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

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