初中数学函数概念填空及例题讲解

一、会用函数的基本性质

1、一次函数的性质

例1 一次函数y=-2x+3的图象是经过______的______，它与y轴交于______，它不经过第______象限，y随x的增大而______。将它向______平移______个单位后图象过原点，这时就成为正比例函数.

答案：(0,3)和(1,1)（答案不惟一）；一条直线；(0,3)；三；减小；下、3或左、. 2、反比例函数的性质

例2 A是双曲线上一点，AB⊥x轴于B，O是坐标原点，那么当x>0时，y随x的增大而______，的面积是______，此双曲线关于______对称.

分析：对于反比例函数我们要牢记=的结论。对称性可由图看出.

答案：增大；3；原点或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线.

3、二次函数的性质

例3 已知二次函数，回答下列问题（1）化为顶点式是______，化

为交点式是______.（2）图象的顶点坐标是______，对称轴是______，当x______时y随x 的增大而增大。当x=______时y有最______值是______.若将抛物线向上平移2个单位，向左平移6个单位，得到的抛物线解析式为______. （3）图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______.

分析：配方的过程是

.

平移的方法是“向上平移几，顶点纵坐标就加几，向左平移几括号内的数就加几”，即“上加下减、左加右减”.

答案：；y=-3(x-3)(x-1)；(2,3)；直线x=2；<2；2；大；3；

；(0,-9)；(1,0)、(3,0).

例4 已知抛物线，（1）若抛物线与x轴交于(-3,0)，(1,0)，则对称

轴是______.（2）当a+b+c=0时，抛物线一定过点______，当a-b+c=0时，抛物线一定过点______.（3）当______0时，抛物线与x轴有两个交点.（4）当______时，抛物线过原点；当______时，抛物线的顶点在y轴上（或者说以y轴为对称轴）；当______时，抛

物线的顶点在x轴上.（5）若x取和时，y的值相等，则x取时，y的值等于_ _____.

分析：

1、根据抛物线的对称性，当抛物线与x轴交于（，0）和（，0）两点时，对称轴是直线x=.

2、根据“过点代入”的原则，当抛物线过（1，0）时，a+b+c=0；过（-1，0）时，a-b+c=0.

3、的符号是判断抛物线与x轴交点个数的依据.

4、顶点在y轴上，过原点，顶点在x轴上. 答案：直线x=-1；(1,0)；(-1,0)；>；c=0；b=0；；.

二次函数基本性质小结：

1、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线.

2、由顶点式可以解决顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性，平移等问题.

3、抛物线与x轴的两个交点(,0)、(,0)是关于对称轴对称的.

4、的值决定了抛物线与x轴的交点个数.

5、b=0时顶点在y轴上，Δ=0时顶点在x轴上，c=0时图象过原点.

6、平移时“上加下减，左加右减”.

7、已知抛物线的顶点求解析式时，可以用顶点式. 已知抛物线与x轴的两个交点求解析式时，可以用交点式.

二、会用函数图象解决问题

许多函数问题本身没有图象，如果我们画出图象，利用其图象的某些几何性质来解决，显得灵活、直观、简便。画图多多，好处多多.

例5 反比例函数和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点，A点的横坐标是2，则B 点的坐标是______.

分析：本题没有图，我们先画图象（下同）. 这两个图象都关于2、4象限角平分线对称，所以A、B两点也关于2、4象限角平分线对称.于是可以根据对称性直接写出B点的坐标，而不是通过解方程.

答案：（-1，2）

例6 抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位（）

A、7

B、6

C、5

D、4

解：设平移后的抛物线为，则C的坐标为(0,c).因为AC=BC，，所以AO=BO=CO，所以A的坐标为(-c,0）,代入得，解出c=-2（舍零）,C的值由-8增加到-2，应选B.

例7 已知抛物线与直线x＝2，直线x＝3，直线y＝1，

直线y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是______．（注：直线y＝1即为过（0, 1）点平行于x轴的直线）．

分析：当a>0时，抛物线过C点是最低位置（其中的一个极端），此时

C(3,1)代入得，9a-6a-1+a=1，a=. 抛物线过A点是最高位置（其中的另一个极端），此

时A(2,2)代入得，4a-4a-1+a=2，a=3.故a的取值范围是.这种方法是利用极端的位置来解决问题的，我称之为“极端原理”.

当a<0时，无解.

三、会看函数图象

对已经给出的函数图象，要求我们能看懂图中的有用信息，达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系.

例8 已知二次函数的图象如图所示，OA>OB，有下列5个结论：①abc>0 ；②b

A.2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

分析：（1）∵a<0,b>0,c>0, ∴①×

（2）∵x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,即b>a+c,∴ ②×

（3）∵x=2时,y<0, ∴4a+2b+c<0,∴ ③ √

（4）∵对称轴在x=1的左边, ∴, ∵a<0, ∴-b>2a即2a+b<0, ∴ ④ √

（5）∵ OA>OB, ∴在OA上有一点C使OC=OB。∵B(0,c),∴D(c,y), 且y>0将其代入得

>0, 即ac+b+1>0, ∴ ⑤×

答案：B.

例9 在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数的图象可能为（）

分析：方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有符号上的矛盾；方法2、看抛物线是否过原点；方法3、找直线和抛物线与x轴的交点.

答案：A.

小结：一次函数与二次函数中字母的符号规律

?一次函数中，k决定直线的方向（上升过下降），b决定直线与y轴的交点.

?二次函数中，a决定抛物线的开口，c决定抛物线与y轴的交点.

?二次函数中，对称轴在y轴左侧时，a、b同号，反之a、b异号（简称“左同右异”）.例10 看图写结论

（1）已知二次函数的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方

程的解为______．

分析：将(3,0)代入，得m=3, 则, 即，=3,=-1. 答案：=3,=-1.

（2）如图2所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是____ __．

分析：因为图象过(0,0)，故, a=1或a=-1, 又开口向下，故a=-1.

（3）如图3，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数,的图象相交于A、B两点，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是______.

分析：过A点的红色直线、y轴、过B点的绿色直线将整个坐标平面分成4个区域（这3条直线除外），从左至右为区域1，区域2，区域3，区域4，从图可知区域1和区域3内的直线高于双曲线，符合题意.

答案：x<-3或0

四、会与其它知识联系

前面已经提到，函数问题往往与许多其它数学知识相联系，尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切.

1、与方程的联系

例11 （1）直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是。（2）方程,的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数.

分析（1）∵两条直线的交点坐标同时满足两个解析式∴可以解方程组来获得交点坐标.

，.所以交点是（2，3）.

（2）从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是下面方程组解的个数.

.

这个方程组的解又与二次函数和反比例函数图象的交点有直接的联系，我们画出两个图象如右图.

由图可见，两个图象有3个交点，即原方程有3个解.

2、与不等式的联系

例12 （1）直线y=-3x+2上有一动点A(x,y)，设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m，经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n，当x取值范围是______时，点A在直线m、n之间.（2）不等式的解，相当于函数______的图象在x轴______方的x取值范

围.

分析：（1）先画出大致图象，我们从图中发现：-1

(2)答案：；上.

3、与几何的联系

例13 如图，点A在抛物线上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于B，延长A

O、BO分别与抛物线相交于点C、D，连接AD、BC，设点A的横坐标为m，且m>0．

（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；

（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；

（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．

分析：（1）解：将x=1代入，得，由AB∥CD得△AOB∽△COD，故 DF=

4FO,设D(4y,-y)，得，y=1/2(舍零)，故A(1,1/4), B(-1, 1/4), C(-2, -1/2), D(2, -1/2)

（2）由A在抛物线上可知，AE=m，EO=，因AO⊥BO，AO=BO，故EO=AE，∴，m=4(舍零).

（3）猜想：CD=2AB. 证明：由A在抛物线上可知，AE=m，EO=，由AB∥CD得△AOB

∽△COD， DF=FO，设D(4y,-my)，得-my=，故y=，DF=2m，DF=2 AE，即CD=2AB.

五、会用函数解决实际问题

许多实际问题有两个变量，往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题.

例14 陈琳从甲地匀速前往乙地，3h后距离乙地110km，5h后距离乙地50km。问几h 后到达乙地？

解：设x(h)后距离乙地y(km)，陈琳速度为v(km/h)，甲乙两地相距a(km)，

由已知，得y=a-vx，将x=3,y=110和x=5,y=50代入，得，解之，.，所以，y=200-30x，当y=0时陈琳到达乙地，即200-30x=0，.

答：陈琳行了h到达乙地.

例15 一学生推铅球，在距地面m的A处推出铅球，铅球经过的路线呈抛物线状（如图建立平面直角坐标系），如果抛物线的最高点M离y轴距离4m，距地面高度为3m，求该学生推铅球的成绩。

解：由已知，A(0,5/3)，顶点M(4,3)，设抛物线的解析式为，将A点坐标代入上述解析式，得16a+3=，a=，所以，令y=0，则

，解得x=10(舍负).

答：该学生推铅球的成绩为10米.

例16 有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假定放养期内蟹的个体重量基本不变.现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元.但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去.假定死蟹均于当天全部出售，售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x 的函数解析式；

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？

解：(1) p=30+x.

（2）Q=(1000-10x)(30+x)+10x·20，即Q=-10+900x+30000.

（3）设利润为y元，则y=(-10+900x+30000)-1000×30-400x y=-10+500x=-10

+6250.

答：放养25天后可以获得最大利润，最大利润是6250元.

例17 某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差,老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法。如36分的人计算方法是分,即经

过这样处理后的分数比原来高了24分。一个爱动脑筋的同学发现：不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过处理后加分最多？说明道理.

解：设原成绩为分，处理后增加的分数为y分.

则处理后的分数是10x分. 由已知，得y=, 配方，得y=+25，所以当x=5时，y有最大值是25.

答：25分的人加分最多.

例18 如图，正方形ABCD边长为2，E在AB上，FE⊥DE交BC于F，随着E点从A向B移动。（1）BF的最大值是多少？（2）F点是如何移动的？

解：（1）设AE=x，BF=y. 由已知，容易证明△ADE∽△BEF,所以，，解出.

答：BF的最大值是.

（2）如图由函数图象可知，F点由B点先升到高度为处，再倒过来回向B点移动直至与B重合。

用二次函数解决最值问题的方法:

1.寻找问题中的数量关系

2.分别用两个字母表示两个变量

3.列出二次函数关系

4.用二次函数性质求出最值

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