9 第9讲 函数模型及其应用

第9讲 函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )

(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α

(α>0)的增

长速度．( )

(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) (4)不存在x 0，使ax 0

(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )

答案：B

生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产

成本为C (x )＝1

2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应

生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件

D ．9万件

解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－1

2(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )

有最大值．

某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如

果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得

y ＝?????0.5x ，0100.

答案：y ＝?

????0.5x ，0100

(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

解析：依题意得?

????a log 48＋b ＝1

a log 464＋

b ＝4，

即?????32a ＋b ＝1，

3a ＋b ＝4.

解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. x ＝1 024(万元)． 答案：1 024

一次函数与二次函数模型(高频考点)

高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．

[典例引领]

角度一 单一考查一次函数或二次函数模型的 建立及最值问题

某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万

元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元

D ．43.025万元

【解析】 该公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆， 所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2

＋2(16－x )＝－0.1x 2

＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×212

4

＋32.

因为x ∈[0，16]且x ∈N ，

所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C . 【答案】 C

角度二 以分段函数的形式考查一次函数和二 次函数

(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自

行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【解】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x ≥2.3，因为x 为整数，所以3≤x ≤6.

当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.

令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6

故y ＝?

????50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ）－3x 2

＋68x －115（6

(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185，

对于y ＝－3x 2

＋68x －115＝－3????x －3432

＋811

3

(6185，

所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

一次函数、二次函数及分段函数

模型的选取与应用策略

(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．

(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．

(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点： ①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． [提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．

(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．

[通关练习]

1．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )

A ．上午10：00

B ．中午12：00

C ．下午4：00

D ．下午6：00

解析：选C.当x ∈[0，4]时，设y ＝k 1x ， 把(4，320)代入，得k 1＝80，所以y ＝80x .

当x ∈[4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入

可得?????k 2＝－20，b ＝400.

所以y ＝400－20x .

所以y ＝f (x )＝?????80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4

得???0≤x ≤4，80x ≥240或?????4

400－20x ≥240.

解得3≤x ≤4或4

2．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段．已知跳水板AB 的长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距离h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．

(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；

(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围． 解：由题意知抛物线的最高点为(2＋h ，4)，h ≥1，故设抛物线的方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4. (1)当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.

将A (2，3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.所以当h ＝1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y ＝－(x －3)2＋4.

(2)将A (2，3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，整理得ah 2＝－1.① 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 由①得，y ＝f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1

h

2[x －(2＋h )]2＋4，

则?

??f （5）＝－1

h 2（3－h ）2＋4≥0，

f （6）＝－1

h

2（4－h ）2＋4≤0，

解得1≤h ≤4

3.故达到较好的训练效果时h 的取值范围是

[1，43

]．

函数y ＝x ＋a

x

(a >0)模型

[典例引领]

小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100

x －38(万元)．每

件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0

L (x )＝5x －????13x 2＋x －3＝－1

3

x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －????6x ＋100x －38－3＝35－????x ＋100

x . 所以L (x )＝?

??－1

3

x 2＋4x －3，0

(2)当0

3

(x －6)2＋9.

此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－?

???x ＋100

x ≤35－2 x ·100

x

＝35－20＝15，

此时，当且仅当x ＝100

x

，

即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．

因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．

应用函数y ＝x ＋a

x

(a >0)模型的关键点

(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b

x

叠加而成的．

(2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b

x 的模型，有时可以将所列函数解析式转化为

f (x )＝ax ＋b

x

的形式．

[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．

(2)利用模型f (x )＝ax ＋b

x

求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．

某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、

右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800

x

m ，

所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)????800x －2＝808－2????x ＋1 600x (4

x

≥2

x ·

1 600

x

＝80，所以y ≤808－2×80＝648. 当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800

x

＝20，y max ＝648 m 2.

即当矩形温室的边长各为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.

指数、对数函数模型

[典例引领]

(1)(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年

D ．2021年

(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

【解析】 (1)设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x >200，即1.12x >2

1.3?x >lg

2

1.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05

＝3.8，所以该公司全年投入的研

发资金开始超过200万元的年份是2019年． (2)M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.

设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1

A 0

，则A 1

A 0

＝109， 5＝lg A 2－lg A 0＝lg

A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1

A 2

＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)B (2)6 10 000

指数型、对数型函数模型

(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．

(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢

慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae

－bt

(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的

沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

解析：当t ＝0时，y ＝a ；

当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ，故e －8b ＝1

2

.

当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝1

8＝(e －8b )3＝e －24b ，则t

＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案：16

解决实际应用问题的四大步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：

“对勾”函数的性质 函数f (x )＝x ＋a

x

(a >0)．

(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .

易错防范

(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．

(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )

解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．

2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：

A ．y ＝2x

B ．y ＝x 2－1

C ．y ＝2x －2

D ．y ＝log 2x

解析：选D.根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．

3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 2

10－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )

A ．240吨

B ．200吨

C ．180吨

D ．160吨

解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则y

x ≥2

x 10·4 000x

－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000

x ， 即x ＝200时取等号，

因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．

4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10

D ．11

解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为

????12n ，由????12n

<11 000

得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.

5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )

A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．

6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x

4m ，

则S ＝x ·200－x 4＝1

4(－x 2＋200x )．

当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 500 m 2

7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)

________秒长途电话才合算．

解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x 分钟，所需话费为y 元，若使用联通130，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝12＋0.36×5x ＋3.6x ＝5.4x ＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y 元与通话时间x 分钟的函数关系式为y ＝0.6×5x ＋4.2x ＝7.2x .若用联通130合算，则5.4x ＋12≤7.2x ，解得x ≥20

3(分钟)＝400(秒)．

答案：400

8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．

解析：当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .

故y ＝?????－x 2

＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20

(x ∈N *)．

当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．

答案：y ＝?

????－x 2

＋32x －100，0＜x ≤20，

160－x ，x ＞20(x ∈N *) 16

9．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度． (1)求x 的取值范围；

(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；

(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90.

(2)y ＝5x 2＋5

2

(100－x )2(10≤x ≤90)．

(3)因为y ＝5x 2

＋52(100－x )2

＝152x 2－500x ＋25 000＝152????x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003

时，

y min ＝

50 0003.故核电站建在距A 城100

3

km 处，能使供电总费用y 最少． 10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：

(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？

(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋10

5＝32(元)，

故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．

(2)每套丛书售价定为x 元时，由?

????15－0.1x >0，

x >0，得0

设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100

150－x －30，

因为00，所以P ＝－[(150－x )＋100

150－x ]＋120， 又(150－x )＋100

150－x

≥2

（150－x ）·100

150－x

＝2×10＝20，

当且仅当150－x ＝100

150－x ，即x ＝140时等号成立，

所以P max ＝－20＋120＝100.

故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．

1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )

A ．40万元

B ．60万元

C ．120万元

D ．140万元

解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C. 2．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( ) A ．2[x ＋1] B ．2([x ]＋1) C ．2{x } D ．{2x }

解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，

此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1排除D ，故选C.

3．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋

b (e ＝2.718…

为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 解析：由已知条件，得192＝e b ， 所以b ＝ln 192.

又因为 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2， 所以e 11k

＝(48192)12

＝(14)12＝12

.

设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×(1

2)3＝24.

答案：24

4．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．

①f (x )＝p ·q x (q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .

(1)能较准确反映超市月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________． (2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )min ＝________．

解析：(1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log p x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1

2p ，f (x )有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f (x )

＝x 2＋px ＋q 模拟函数． (2)因为f (1)＝10，f (3)＝2，

所以?????1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，

解得，p ＝－8，q ＝17，

所以f (x )＝x 2－8x ＋17＝(x －4)2＋1，所以f (x )min ＝f (4)＝1. 答案：(1)③ (2)1

5．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ???

?I

10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．

(1)平常人交谈时的声强约为10－

6W/m 2，求其声强级；

(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－

7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？

解：(1)当声强为10－6

W/m 2

时，由公式Y ＝10lg ? ????I 10－12得Y ＝10lg ? ??

??10－610－12＝10lg 106

＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ? ????I 10－12

得10lg ? ??

??I 10－12＝0.

所以I 10－12

＝1，即I ＝10－12W/m 2， 则最低声强为10－12W/m 2.

(3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ? ??

??5×10

－710－12

＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，

因为50＋10lg 5>50，

所以这两位同学会影响其他同学休息．

6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝1

20

x ＋1；

(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x

5恒成立．

(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝1

20x ＋1，

它在[10，100]上是增函数，满足条件①；

但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．

(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①， x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②， 设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －1

5，

又x ∈[10，100]， 所以1100≤1x ≤1

10

，

所以h ′(x )

5

＝0，

所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )

5

恒成立，满足条件③，

故该函数模型符合公司要求．

综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．

关于函数y ＝ax ＋b

x (a ≠0，b ≠0)性质的推广

关于函数y ＝ax ＋b

x

(a ≠0且b ≠0)性质的讨论．

当a >0，b >0时[特例] 当a ＝b ＝1时，函数化为f (x )＝x ＋1

x .

①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－x ＋

1

－x

＝－???

?x ＋1x ＝－f (x )，函数为奇函数．之后只需讨论x >0时的情况.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2

－1)，令x 1＝x 2＝x ，x 1x 2－1＝0，解得x ＝

1，当0

时，y →1x ；当x →＋∞时，y →x ＋

.⑤作出函数图象，如图1.⑥值域：当x ＝1时，f (x )有最小值2，值域为(2，＋∞)．

[推广] y ＝ax ＋b

x .①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－????ax ＋b x ＝－f (x )，

函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝ax 2＋b x 2－ax 1－b x 1＝x 2－x 1

x 1x 2·(ax 1x 2－b )，令x 1＝x 2

＝x ，ax 1x 2－b ＝0解得x ＝

ab a ，当0

a

.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，

f (x )＝a

ab a ＋ab

ab

＝2ab ，即为最小值2ab ，值域为()2ab ，＋∞.

当a <0，b <0时此情况与情况1基本相同，作出函数图象，如图2.设函数为f (x )＝－ax －b

x (此时a >0，b >0)①定义域为(－∞，0)∪(0，

＋∞)．②奇偶性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 1－x 2x 1x 2(ax 1x 2－b )，同情况1，x ＝ab a ，得f (x )在????

0，

ab a 上为增函数，在??

?

?ab a ，＋∞上为减函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x ；当x →＋∞时，y →－ax ＋

.⑤图象略．⑥值域：当x ＝ab a 时，f (x )＝－a ab a －ab ab

＝

－2ab ，即为最大值－2ab ，值域为()－∞，－2ab . 当a >0，b <0时

[特例] 当a ＝1，b ＝－1时，函数化为f (x )＝x －1

x .①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶

性：f (－x )＝－????x －1x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(x 1x 2＋1)，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－1x ；当x →＋∞时y →x ＋

.⑤作出函数图

象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．

[推广] 改函数为f (x )＝ax －b

x (此时b >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f (－

x )＝－????ax －b x ＝－f (x )，函数为奇函数.当x >0时，③单调性：Δy ＝x 2－x 1x 1x 2(ax 1x 2＋b )，得Δy >0，f (x )为增函数．④渐近线：当x →0＋时，y →－b x ；当x →＋∞时，y →ax ＋

.⑤图象略．⑥值域为(－

∞，＋∞)．

当a <0，b >0时此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为

f (x )＝－ax ＋b

x (此时a >0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶

性：f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数．③单调性：Δy ＝x 1－x 2

x 1x 2·(ax 1x 2

＋b )(x >0)，得Δy <0，f (x )为减函数．④渐近线：当x →0＋

时，y →b x

；

当x →＋∞时，y →－ax ＋

.⑤图象略．⑥值域为()－∞，＋∞.

1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )

解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．

2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表：

A ．y ＝2x

B ．y ＝x 2－1

C ．y ＝2x －2

D ．y ＝log 2x

解析：选D .根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．

3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 2

10－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )

A ．240吨

B ．200吨

C ．180吨

D ．160吨

解析：选B.依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则y

x ≥2

x 10·4 000x

－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000

x ， 即x ＝200时取等号，

因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．

4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为

????12n ，由????12n

<11 000

得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.

5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )

A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D .根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．

6.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4m ，

则S ＝x ·200－x 4＝1

4(－x 2＋200x )．

当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.