等腰三角形综合练习

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难)

等腰三角形专题复习（1）

（中）1. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）1.A

A．42° B．60° C． 36° D． 46°

（中）2. △ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（）2.B

A.35°

B.40°

C.70 °

D.110°

（易）3. 等腰三角形的对称轴是（）3. D

A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线（中）4. 一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长是5cm，那么这个等腰三

角形的周长是（）．4. D

A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm

（中）5. 如下图，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）5.C

A A．10° B．12．5° C．15° D． 20°

（易）1．等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线 B．底边上的高

C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线

（易）2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

E A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm

C B

D （中）4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）

A．100° B．100°或40° C．40° D．80°

（中）5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）

AA．80° B．90° C．100° D．108°

G

E

C

AFFEB图2

（中）6．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三

角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上

的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④

（中）7.△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰

三角形有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（中）8、如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的

有（）

A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①

二、填空题

A（易）6. 在△ABC中，AB=AC，若∠B=56o，则∠C=__________．6. 56o

（中）7. 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为（中）9. 如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB， DEBC延长BC

到E，使CE=CA，连接AD、AE，则∠DAE=_______．9. 115°

（难）10. 如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长

MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是 . 10. 6+2a 图1

Q

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难) 三、解答题

（中）11.如图，已知△ABC中AB=AC，点P是底边的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，

?求证：PD=PE.

11.证明：连接AP，因为AB=AC，点P是底边的中点，

所以AP平分∠BAC，又因为PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE.

P

A（中）12.如图，已知：AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,求证：∠C=∠D

12．证明：连接AC、AD，如图所示，则△ABC≌△AED（SSS）

,所以∠ACB=∠ADE,AC=AD,所以∠ACD=∠ADC,

所以∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，也即∠BCD=∠EDC BE

BE

（中）13. 下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:

学习等腰三角形后，薛老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”

同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．

(1) 假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？

(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)

13.（1）本题存在两种情况，也即当7㎝为腰时，则8㎝为底，所以三角形的周长为7+7+8=22㎝；当8㎝为腰时，则7为底，所以三角形的周长为

8+8+7=23cm，而李刚和王明同学都只说出其中一种，故他们的答案不全面。

（2）已知等腰三角形的两边长，求周长，在不能确定腰和底时，要利用分类讨论思想。

（中）14.如图，在△ABC中，AB= AC,D是AB的中点，且DE⊥AB，求AB、BC 的长.

14.解：因为 D是AB的中点，且DE⊥AB，所以AE=BE,

又因为BE+EC+BC=8,所以AE+EC+BC=8,即AC+BC=8,

又因为AC-BC=2,所以AC=6,BC=4,又因为AB=AC,所AB=6

四、探究题

（难）15．（2007.四川.乐山）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边与CE 交于点F．

（1）求证：AD=CE；

（2）求∠DFC的度数．

ο15. （1）证明：Θ△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=60，AB=AC

图

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难) 又ΘAE=BD∴△AEC≌△BDA(SAS)，∴AD=CE．

（2）解由（1）△AEC≌△BDA，得∠ACE=∠BAD

∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60ο

等腰三角形专题复习（2） AC

（易）1. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）1．A

A．3cm B．4cm C．1.5cm

D．2cm B

（中）2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）2．C

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（中）4．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）4．C

A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF

（中）5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）个5. D

A E

B C

第5题 A. 4 B. 4 C. 5 D. 6 DFB

二、填空题

（中）6.△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．6. 1

（中）7. △ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，?AE=?2cm，?且DE ?∥BC，?则AD=______

7. 2 cm

（中）8. 已知AD是△AB C的外角∠EAC的平分线，要使AD?∥BC，?则△ABC?的边一定满足_ 8. AB=AC

（中）10．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管___ 10. 8

___根．

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难) 三、解答题

（中）11.上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离．

11. 解：因为∠C+∠NAC+∠ABC =180o，∠NAC=32°，∠ABC=116°，

所以∠C=∠NAC=32 o，所以BC=AB=30×4=120（海里）

（中）12.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC,CD及BE为三角形的高且交于点O

求证：△OBC为等腰三角形.

12.证明：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又因为∠BDC=∠BEC=90°,

且BC=BC（公共边），所以△BDC≌△CEB（AAS），

所以∠BCD=∠EBC,所以OB=OC,所以△OBC为等腰三角形.

（中）13.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD=∠ACD．

求证：AD⊥BC

13.证明：延长AD交BC于E，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ABD＝∠ACD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∴D在BC和垂直平分线，

∵AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴AE为BC的垂直平分线，

∴AE⊥BC，即AD⊥BC

四、探究题

（1）若在CD上截取DE=DB，连结AE，如何证明．

（2）若延长CB到E，使BE=AB，连结AE，是否可以证出结论．

第5题

DADBCABE（难）15. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，求证：

CD=AB+BD．请思考：

15.（1）∠AEB=∠B=2∠C，∠EAC=∠C，AE=EC=AB，CD=CE+DE=AB+DB；

（2）∠ABC=2∠E=2∠C，∠E=∠C，DC=DE=DB+BE=DB+AB

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难) 等腰三角形专题复习（3）

一、选择题

（中）1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）1．C

A．60° B．90° C．120° D．150°

（中）2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）2．D

A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④

（中）3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）3．A

A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形 D．不等边三角形

（中）4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）4．C

A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm

（中）5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）5．B

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状

AAD

EF

D

（易）4. 有一个外角是120°，另两个外角相等的三角形是（）

A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定

答案：C

（中）5. 在下列命题中:①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

答案：C

（易）7. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）

A．过顶点的直线 B．底边上的垂线 C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线答案：Ｃ

3. 如下图，∠P=60°MN=NP，MQ⊥PN，（中）△MNP中，，垂足为Q，延长MN 至G，取NG=NQ，若△MNP 的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）

A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a

答案：D

（中）4. O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D， M OE∥AC交BC于E点，若BC=10cm，那么△ODE的周长为（）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm

答案：Ｃ

B D E

C Q N G

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难)

（中）20. 如下图，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于

（） A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5°

答案：A

C B

（中）2．等腰三角形的底角和相邻外角的关系是（）．2．B

A．底角大于相邻的外角 B．底角小于相邻的外角

C．底角大于或等于相邻的外角 D．底角小于或等于相邻的外角

（中）3．下列说法中错误的是（）．3．D

A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等

C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等

（中）6．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）． 6．C

A．顶角 B．顶角的2倍 C．顶角的一半 D．底角的一半

二、填空题

（易）6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．6．60°

（中）7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．7．60°（易）8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是________．8．三；三边的垂直平分线（中）9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，

?则CD?的长度是_______． 9．1cm

（中）10. 如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，

则PD等于_______．10. 2

（中）10. 如下图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD 的周长为12，AE=5，则△ABC周长为_______． A B 答案：22

E D

第10题D B C

（中）6. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．

答案：12

（中）8. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角

度数是________．

答案：80°，50°，50°

（中）25. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难)

答案：22.5

E B A

（中）13. 在∠AOB中，OP是其角平分线，且PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE 与PF的关系是_________．答案：相等

（中）14. 在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长

分别是24和14，则AB=_______．答案：10

（中）15. 在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，∠BDC=75°，则∠

A=______．答案：40°

（中）19. 已知等腰三角形的两个内角之比为2∶1，求这个等腰三角形的顶角的度数．

答案：36°或90°

（易）3．如果三角形的三边a、b、c满足(a-b)2+(b-c)2＝0，那么这个三角形是____三角形．

3．等边

（中）4．一个等腰三角形的周长是70cm，腰长是底边的2倍，那么底边长是cm．

4．14

（中）6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC 于D，垂足为E，BD＝10cm，则AC＝．6.5 A

E

三、解答题

（中）11．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD?的夹角是多少度？ 11．60°或120°

（难）12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，

?求证：?BC=3AD.

12．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°， A∴在Rt△ADC中CD=?2AD，?

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD B

DC

（难）13. 如图，在等边三角形ABC中∠B,∠C的平分线相交于点O，作BO,CO 的垂直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E,F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．

13. 同意。理由：连结OE,OF，可得BE=OE，CF=OF，△OEF是等边三角形

从而BE=EF=FC CDB

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难)

（难）14.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；

③判断△CFH?的形状并说明理由．

14．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形． F

四、探究题

BE平分∠（难）15．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且DBC，D

求∠BDE的度数．（提示：连接CE） A15．连接

CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE?≌△BCE得到∠BDE=

∠BCE=30° D

（难）2．如图7，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠

BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=

60°，求△AEF的周长．

2．解：延长AC至点P，使CP=BE，连接PD．

∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD=CD，∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠EBD=∠DCF=90°∴∠DCP=∠DBE=90°

?BD=CD?在△BDE和△CDP中?∠DBE=∠DCP

?BE=CP?∴△BDE≌△CDP（SAS）∴DE=DP，∠BDE=∠CDP

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°∴∠BDE+∠CDF=60°∴∠CDP+∠CDF=60°

∴∠EDF=∠PDF=60°

?DE=DP?在△DEF≌△DPF中?∠EDF=∠PDF ∴△DEF≌△DPF（SAS）∴EF=FP ∴EF=FC+BE

?DF=DF?

∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2

（中）29. 已知:如下图，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．

答案：提示：∠DBC=

1∠A 2

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等腰三角形经典复习专题(易,中,难)

（难）5．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，求证：CD=AB+BD．请思考：

（1）若在CD上截取DE=DB，连结AE，如何证明．

（2）若延长CB到E，使BE=AB，连结AE，是否可以证出结论．

第5题

5．（1）∠AEB=∠B=2∠C，∠EAC=∠C，AE=EC=AB，CD=CE+DE=AB+DB；

（2）∠ABC=2∠E=2∠C，∠E=∠C，DC=DE=DB+BE=DB+AB

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