18届竞赛学案——神奇的圆锥曲线
神奇的圆锥曲线
命题人：闫霄 审题人：冯昀山
一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 问题探究1
已知动点Q 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？
（2）若BM tMQ =
，直线l 过点M 与直线QA 的交于点P ，且0BM MP ?= ，则点Q 的
轨迹又是什么？
总结：
定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是 。 定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是 。
定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是 。
02．距离定比，三线统一 问题探究2
已知定点(1,0)A -，定直线1l ：3x =-，动点N 在直线1l 上，过点N 且与1l 垂直的直线2l 上有一动点P ，满足
PA PN
λ=，请讨论点P 的轨迹类型。
总结：
动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是 。 动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是 。 动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是 。
二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 问题探究3
已知两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足条件8PA PB +=，另一动点Q 满足
0,()0P A P B
Q B P B Q P P A P B
=+=
，求动点
Q 的轨迹方程。
总结：
椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之 。
双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为 。
抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为 。
04．焦点切线，射影是圆 问题探究4
已知两定点(2,0),(2,A B
-，动点P 满足条件2P A P B -=，动点Q 满足
()0P A P B QB PA PB
?+= ，()0PA PB
QP PA PB λ++= ，求动点Q 的轨迹方程。
总结：
焦点在椭圆切线上的射影轨迹是 。 焦点在双曲线切线上的射影轨迹是 。
焦点在抛物线切线上的射影轨迹是 （无穷大圆）。
05．焦半径圆，切于大圆问题探究5
1．已知动点P在椭圆
22
1
43
x y
+=上，F为椭圆之焦点，0
PM FM
+=
，探究2OM PF
+
是否为定值
2．已知点P在双曲线
22
1
43
x y
-=上，F为双曲线之焦点，0
PM FM
+=
，探究2OM PF
-
是否为定值
总结：
以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆（简称“大圆”）与椭圆内切）。
以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此圆（简称“小圆”）与双曲线外切）。
以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）。06．焦三角形，内心轨迹
问题探究6
1．已知动点P在椭圆
22
1
43
x y
+=上，
12
,F F为椭圆之左右焦点，点G为
12
F PF
?的内心，试求点G的轨迹方程。
2．已知动点P在双曲线
22
1
43
x y
-=上，
12
,F F为双曲线之左右焦点，圆G是
12
F PF
?的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之。
总结：
椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是。
双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是。
抛物线焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是。
三、焦点之弦，相关问题 07．焦点半径，倒和定值 问题探究7
已知椭圆22
143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实
常数λ，使AB FA FB λ= 恒成立。并由此求AB 的最小值。（借用柯西不等式）
总结：
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数.
11
||||
AF BF += 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数.
AB 在同支
11||||AF BF += ；AB 在异支
11||||
AF BF -= 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数.
11
||||
AF BF += 08．正交焦弦，倒和定值 问题探究8
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点，和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=
恒成立。并由此求
四边形ABCD 面积的最小值和最大值。
总结：
椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数.
11||||
AB CD += 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数.
11||||AB CD += 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数.
11||||
AB CD +=
圆锥曲线教学设计
圆锥曲线 一、教学内容分析 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.
五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 (一)开门见山，提出问题 一上课，我就直截了当地给出—— 例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在 (2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线 【设计意图】
2019届二轮复习 圆锥曲线 学案 (全国通用)
第九讲 圆锥曲线 一、知识方法拓展： 1、直线系方程 若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。 特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=； 当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。 对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。 2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等） 圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上） 的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆， 当 1e >时, 点的轨迹是双曲线， 当 1e =时, 点的轨迹是抛物线， 其中e 是圆锥曲线的离心率c e a = ，定点F 是圆锥曲线的焦点， 定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2 a x c =±。 3、圆锥曲线和直线的参数方程 圆2 2 2 x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θ θ=?? =? ，其中θ是参数。 椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=?，其中θ是参数，称为离心角。
双曲线22 221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ =??=?，其中θ是参数。 抛物线2 2y px =的参数方程是2 22x pt y pt ?=?=?，其中t 是参数。 过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t α α=+??=+? ，t 为参数。（关注几 何意义）。 4、圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为 1cos ep e ρθ = -，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。 二、热身练习： 1、（07武大）如果椭圆()222210x y a b a b +=>> 那么双曲线22221x y a b -=的 离心率为（ ） （A （B ）2 （C （D ） 54 【答案】C 【解析】圆锥曲线的离心率c e a = ， 椭圆中：2 2 2 c a b =-∴222 2 34 a b e a -==，得22 4a b = 双曲线中：2222 2254c a b e a a +=== ，得e = C 。
圆锥曲线第二定义学案
圆锥曲线第二定义练习学案 1.过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。 2. 设椭圆22 22b y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。 3. 双曲线13 y x 2 2 =-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。 4.点P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______ 5. 抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到轴的距离为 6. 椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之值最小，则点M 的坐标为_______ 7. 已知椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。 8. 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112 y 16x 2 2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。 9.椭圆x 2/25+y 2 /9=1上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。 10. F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为： A. ex 0-a B. a-ex 0 C. ex 0-a D.e-ax 0 11.过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。 12. 已知椭圆方程为x 2/b 2+y 2/a 2=1(a>b>0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它 们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。 13. 已知椭圆x 2/4+y 2/3=1内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|值最小，求点M 的坐标
高考数学一轮 圆锥曲线的综合问题(学案)
§9.8圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系： 将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)交点个数： ①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。 (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。 3.求动点轨迹方程： ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点1F 为椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形， ||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6 ★热点考点题型探析★ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[－ 21，2 1 ] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线2 8y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)， 于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+， 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=
圆锥曲线与方程单元教学设计
圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分
(江苏专用)2020年高考数学二轮复习 专题14圆锥曲线学案
专题14圆_锥_曲_线 回顾2020～2020年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2020、2020、2020年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A级要求相符合． 预测在2020年的高考题中： (1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 1．若椭圆x2 5 ＋ y2 m ＝1的离心率e＝ 10 5 ，则m的值是________． 解析：当m>5时，10 5 ＝ m－5 m ，解得m＝ 25 3 ； 当m<5时，10 5 ＝ 5－m 5 ，解得m＝3.
答案：3或25 3 2．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M的坐标为(x，±2x)(x>0)，则x2＋2x＝3，解得x＝1，所求距离 为1＋1 2 ＝ 3 2 . 答案：3 2 3．双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y2 6 － x2 3 ＝1.设P到另一焦点的距离为d，则由|4－d|＝26 得d＝4＋26，或d＝4－26(舍去)．答案：26＋4 4．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 m － y2 m2＋4 ＝1的离心 率为5，则m的值为________． 解析：由题意得m＞0，∴a＝m，b＝m2＋4， ∴c＝m2＋m＋4，由e＝c a ＝5得 m2＋m＋4 m ＝5， 解得m＝2. 答案：2 5．已知椭圆x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，离心率为e，若椭圆 上存在点P，使得PF 1 PF 2 ＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________． 解析：∵PF 1 PF 2 ＝e，∴PF 1 ＝ePF 2 ＝e(2a－PF 1 )，
圆锥曲线与方程导学案(整理版)
曲线与方程 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象． 复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？ 新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程； 曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？ 例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程． 变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？ 反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试 练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 22 2x y x x -=- (3) log a x y a = 练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？ ※ 当堂检测
[高考数学]08圆锥曲线训练学案
圆锥曲线 一、选择题： 1．已知抛物线)0(22 >=p px y 上一点),1(m M )0(>m 到其焦点的距离为5，双曲线122=-y a x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（ ） A ． 9 1 B ． 4 1 C ． 3 1 D ． 2 1 2．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ． 5 B ．5 C ．2 D ．2 3．若R k ∈，则方程12 322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是（ ） A ．23-<< -k B ．3-
高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用
高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用 1. 了解圆锥曲线的统一定义,能够运用定义求圆锥曲线的标准方程. 2. 理解圆锥曲线准线的意义,会利用准线进行相关的转化和计算. 1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义,并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程. 2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义,写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0,b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？ 3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 点P 在椭圆x 225＋y 2 9＝1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 到左准线 的距离为 25 3 . 解析：设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2,由题意知PF 1＋PF 2＝2a ＝10,PF 1＝2PF 2,所以PF 1＝203,PF 2＝103.因为椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为e ＝45,所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝20 345＝253. 2. 已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点的横坐标为2,则该点到左焦点的距离是 33 5 . 解析：椭圆x 225＋y 29＝1,则a ＝5,b ＝3,c ＝4,所以离心率e ＝c a ＝4 5.由焦半径公式可得该点到左 焦点的距离为a ＋ex ＝5＋45×2＝33 5. 3. 焦点在x 轴上,且一个焦点到渐近线的距离为3,到相应准线的距离为9 5的双曲线的标准 方程为 x 216－y 2 9＝1 . 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点为(－c,0),(c,0),渐近线方程为y ＝±b a x,准线方程为x ＝±a 2c ,由题意得焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋ b 2＝bc c ＝ b ＝3,所以b ＝3.因为焦点到相应准线的
圆锥曲线学案
2 .曲线x2+2xy-by=0 上有点 Q(1,2)则 b = ___ . 学习目标 . J ----- ■—■—■-Il1-I-、 1.理解曲线的方程、方程的曲线; 2.求曲线的方程. 学习过程 一、课前准备 (预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处) _Q 复习1:画出函数 y =2x (/
18届竞赛学案--神奇的圆锥曲线
18届竞赛学案--神奇的圆锥曲线 神奇的圆锥曲线 命题人：闫霄审题人：冯昀山 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双问题探究1 已知动点Q 在圆A ：(x +λ) 2+y 2=4上运动，定点B (λ,0) ，则（1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？ 02．距离定比，三线统一问题探究2 已知定点A (-1,0) ，定直线l 1：x =-3，动点N 在直线l 1上，过点N 且与l 1垂直的直线l 2上有一动点P ，满足 PA PN =λ，请讨论点P 的轨迹类型。 （2）若BM =tMQ ，直线l 过点M 与直线QA 的交于点P ，且BM ?MP =0，则点Q 的 轨迹又是什么？ 总结： 定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是。定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是。 定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是。 总结： 动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是。动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是。动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是。 1 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法问题探究3 已知两定点A (-1,0), B (1,0)，动点P 满足条件PA +PB =8，另一动点Q 满足 04．焦点切线，射影是圆问题探究4 ) , 已知两定点A (-2, 0B
P A P B Q 的轨迹方程。 Q B P B =0, Q 0+) =，求动点 P P (2, 动点P 满足条件P -P B ，=2，动点Q 满足 P A P B PA PB ，QP +λ(QB ?(+) =0+) =0，求动点Q 的轨迹方程。 PA PB PA PB 总结： 椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之。 双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为。 抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为。 2 总结： 焦点在椭圆切线上的射影轨迹是。焦点在双曲线切线上的射影轨迹是。 焦点在抛物线切线上的射影轨迹是（无穷大圆）。 05．焦半径圆，切于大圆问题探究5 06．焦三角形，内心轨迹问题探究6 x 2y 2 +=1上，1．已知动点P 在椭圆F 为椭圆之焦点，PM +FM =0，探究2OM +PF 43 是否为定值 x 2y 2 2．已知点P 在双曲线F 为双曲线之焦点，探究2OM -PF -=1上，PM +FM =0， 43 是否为定值 总结：
圆锥曲线导学案
2.1.1椭圆及其标准方程(第1课时) 高二?一部数学组文2017年4月3日 【学习目标】 1、能从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2、理解椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. 【学习重点】 1、理解椭圆的定义和标准方程； 2、认识椭圆标准方程的特征. 【学法指导】 1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材容，对概念、关键词进行梳理，作好 必要的标注和笔记。 2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自 主学习的知识及方法收获。 3、熟记基础知识梳理中的重点知识。 【自主学习】 一、问题导学 ................................ ....... .... 2 一 2 ........................................ 在椭圆的标准方程中，a和b能相等吗？ 二、知识梳理 1 .椭圆的定义：我们把与两个定点F1, F2的等于常数()的点的 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的，两间的距离叫做椭圆的 .用数学符号 可以把定义表示为. 2.椭圆的标准方程： (1) 当在X轴上时，标准方程为 (). 当在y轴上时，标准方程为 (). (2) 参数a,b,c之间的关系是：①等量关系；②不等关系 三、预习自测 1.已知A 3,0 , B 3,0 ,动点M分别满足下列关系，问：M的轨迹是否存在，若存在，是什么曲线？ (1)MA MB 10；(2)MA MB 6；(3)MA MB 4. 2. 已知椭圆的方程如下，写出a,b,c的值及焦点坐标:
2 2 x y 』 2 2 7 1 ; (3) x 2 2y 2 2 . 3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: a 4,c J T5,焦点在 y 轴上；(3) a 10,c 【合作探究】 【拓展延伸】 一 3 A 1,一 ，求它的标准万程. 2 【当堂检测】1.若F 1, F 2分别是椭圆3x 2 5y 2 30的左、右焦点，M 是椭圆上的任一点，且MF 1 2, 则 MF 2 . 2 .已知椭圆kx 2 y 2 1的焦点在x 轴上，贝U k 的取值围是 . 3 .写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，焦距等于 4,并且经过点 P 0, J3 ; (2) a c 9,a c 1 . :2.1.1椭圆及其标准方程(第 2课时) (1)——二 1； (2) 25 9 16 25 (1) a 4,b 1,焦点在x 轴上；(2) 判断下列方程是否表示椭圆，若是，写出 a, b, c 及焦点坐标 (1) 一 — 1 ； 4 4 (2) (3)一 3 1; (4) 2 1 ； ( 5) 2x 3 已知F 1 1,0后1,0 是椭圆的两个焦点，并且经过点
第二章圆锥曲线与方程复习学案(人教A版选修2-1)
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨 在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本 的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 第二章 圆锥曲线与方程（复习） 1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题． 7881，文P 66~ P 69找出疑惑之处） 复习2： ① 若椭圆22 1x my +=，则它的长 半轴长为__________； ②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 ； ③以椭圆22 12516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方 程为 ． 二、新课导学 ※ 典型例题 例1 当α从0到180变化时，方程 22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 变式：若曲线2211x y k k +=+表示椭圆，则k 的取值 范围是 ． 小结：掌握好每类标准方程的形式． 例2设1F ，2F 分别为椭圆C ：2222x y a b + =1 (0)a b >>的左、右两个焦点． ⑴若椭圆C 上的点A （1，3 2 ）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； ⑵设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．
变式：双曲线与椭圆 22 1 2736 x y +=有相同焦点，且经 过点4)，求双曲线的方程． ※动手试试 练1．已知ABC ?的两个顶点A，B坐标分别是(5,0) -，(5,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(0) m≠，试探求顶点C的轨迹． 练2．斜率为2的直线l与双曲线 22 1 32 x y -=交于 A，B两点，且4 AB=，求直线l的方程． 三、总结提升 ※学习小结1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．直线与圆锥曲线． ※知识拓展 圆锥曲线具有统一性： ⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线； ⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线； ⑶它们的方程都是关于x，y的二次方程． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．曲线 22 1 259 x y +=与曲线 22 1 259 x y k k += -- (9) k<的（）． A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等 2．与圆221 x y +=及圆228120 x y x +-+=都外切的圆的圆心在（）． A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上 3．过抛物线28 y x =的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB 等于（）． A．10B．8C．6D．4 4．直线1 y kx =-与双曲线224 x y -=没有公共点，则k的取值范围． 5．到直线3 y x =+的距离最短的抛物线24 y x =上的点的坐标是． 1．就m的不同取值，指出方程 22 (1)(3)(1)(3) m x m y m m -+-=--所表示的曲线的形状．
高二期末圆锥曲线复习学案
圆锥曲线复习学案（一） 一、基础知识 1、三种圆锥曲线的研究 （1）当0
圆锥曲线 教学案
§2.1圆锥曲线 教学目标 1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程， 掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。 2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。能用数学符号或自然语言 描述双曲线的定义。 教学重点、难点 重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。 难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义 教具 多媒体课件、实物投影仪 内容分析 本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭 圆、双曲线和抛物线的概念。这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从 整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。根据问题的难易度及学生的认知水平， 要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。这是建立在 学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数 学素养。 学法指导 教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理 解。对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出 放进双球后的图形，再引导学生发现"到两切点距离之和为定值"的特性，这一内 容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。 教学过程设计 1．问题情境 我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条 相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位 置，观察截得的图形的变化情况。 提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？ 2．学生活动 (1)古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球 外一点作球的切线长相等，所以 MF1 = MP，MF2 = MQ， （2）如图，两个球都与圆锥面相切，切点轨迹分别是 ⊙O1和⊙O2；同时两球分别与截面切于点F1 、F2． 设M是截线上任意一点，则MF1、MF2是由点M向两个
江苏省涟水一中高二数学(选修1-1)教学案 圆锥曲线复习课(2)
2.7圆锥曲线复习课（2） 班级：高二（ ）班 姓名：____________ 教学目标：1．掌握圆锥曲线的共同性质；2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 3．会求一些简单的曲线的轨迹方程． 教学重点：圆锥曲线的共同性质及曲线方程的求法． 教学难点：圆锥曲线的共同性质及曲线方程的求法． 教学方法：启发引导． 教学过程： 一．复习 1.已知椭圆22 12516 x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 点到另一个焦点的距离为 ； 2.如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为 3. 若椭圆()222210x y a b a b +=>> 22 221x y a b -=的 离心率是 ； 4.抛物线216 y x =-的准线方程为 ； 5. 抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点距离为5， 则抛物线方程为 三、例题讲解 例1. 已知点P 是椭圆22 1259 x y +=上一点，F 1和F 2是椭圆的焦点， ()()()01212012121212190,260,3,F PF F PF F PF F PF F PF F PF θ∠=?∠=?∠=?若求的面积； 若求的面积； 若求的面积.
变式：已知F 1，F 2是椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点， ∠F 1MF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F 1PF 2面积只与椭圆短轴长有关. 例3 已知圆C 1的方程为:()()2220213 x y -+-=,椭圆C 2的方程为: ()222210x y a b a b +=>>,C 2的离心率为2，若C 1与C 2相交于A ，B 两点， 且线段AB 恰好为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程. 2.7圆锥曲线复习课（2）
二轮复习 圆锥曲线的性质 学案(全国通用)
微专题67 圆锥曲线的性质 一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程： （1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中 12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距 （2）标准方程： ①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和 122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22 221x y a b +=，其中()2220,a b b a c >>=- ②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和 122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22 221y x a b +=，其中()2220,a b b a c >>=- 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()22 2210x y a b a b +=>> （1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 ② 过焦点且与长轴垂直的弦2 2b PQ a = 说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以
圆锥曲线学案.doc
锥曲线与方程学案 【专题要点】 1.考查圆锥Illi线的基本概念、标准方程及儿何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现. 2.宜线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度. 3.在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度. 4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的儿个热点问 题，但从最近儿年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势. 【考纲要求】 （1）圆锥曲线 %1了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. %1掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单性质. %1了解双Illi线的定义、儿何图形和标准方程，知道它的简单儿何性质. %1了解圆锥曲线的简单应用. %1理解数形结合的思想. （2）曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【复习指引】 高考试题中，解析儿何试题的分值一般占20%左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14%左右，选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热.解答题的题型设计主要有三类： （1）圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定； （2）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题； （3）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹. 近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降.随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加弦对于分析和解决问题能力的考查.因此，复习中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用. 【典例精析】 1.圆锥曲线概念、性质类问题