2015考研数学基础班线性代数辅导讲义_20140314131856

第一讲行列式 (1)

第二讲矩阵及其运算 (7)

第三讲n维向量 (19)

第四讲线性方程组 (30)

第五讲矩阵的特征值与特征向量 (35)

第六讲二次型 (42)

参考答案 (47)

2015考研数学基础班线性代数辅导讲义

第一讲行列式

考研大纲

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.

2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.

知识要点

一、行列式的概念 1．n 阶行列式的定义

n n n

a a a a a a a a a D 2122221

11211=

1111121211111==+++=∑ n n n j j j a A a A a A a A ，

其中111(1)+=?j

j j A M ，且212,12,12313,1

3,1311,1

,1?+?+?+=

j j n j j n

j n n j n j nn

a a a a a a a a M a a a a ，(1,2,,)= j n ．

二、行列式的性质

1．行列式与它的转置行列式相等．

T nn n n n n nn n n n n

D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ===

212

2212

21112

12222111211．

2．互换行列式的两行（列），行列式变号．

n n n jn j j j in i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a D

321321

1131211=nn

n n n in i i i jn

j j j n a a a a a a a a a a a a a a a a

321

3211131211?=．

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推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．

3．行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数λ，等于用数λ乘此行列式．

nn n n n in i i i n a a a a a a a a a a a a D

321

113

1211

λλλλ=nn

n n n in i i i n a a a a a a a a a a a a 32

3211131211?=λ．推论：（1）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．

（2）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．

4．如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，两

个行列式在该行（列）分别取第一个和第二个元素，其余各行（列）都不变．

nn n n n in in i i i i i i n a a a a b a b a b a b a a a a a

11131211++++ nn n n n in i i i n

a a a a a a a a a a a a 3

321

1131211=nn

n n n in i i i n a a a a b b b b a a a a

3211131211+． 5．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，

行列式的值不变．

n n n jn j j j in i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a D

321321

1131211

=nn

n n n in jn i j i j i j in i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

2113211131211λλλλ++++=．

6．行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．

in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（其中n i ≤≤1）．

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nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（其中n j ≤≤1）

．推论：行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应的元素的代数余子式乘积之和等

于

零．

02211=+++jn in j i j i A a A a A a （其中n j i ≤≠≤1）． 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （其中n j i ≤≠≤1）

． 7．拉普拉斯定理：行列式等于某几行的所有子式与其对应的代数余子式乘积的和．

三、克莱姆法则

设含有n 个未知数n x x x ,,,21 的n 个线性方程的方程组

??????

?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111)(Ι???????=+++=+++=+++0

00221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a )(ΙΙ 定理：如果线性方程组)(Ι的系数行列式不等于零，即02

2222111211

≠=

n n n

n a a a a a a a a a D ，那

么，方程组)(Ι有唯一解D

D x D D

x D D x n n ===

，，

， 2211，其中： nn

j n n

j n n n

j j j a a b a a a a b a a D

,111,111

,111+?+?=)21(n j ，，，

=．推论：

（1）如果线性方程组)(Ι无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零．（2）如果齐次线性方程组)(ΙΙ有非零解，则它的系数行列式必为零．

例1．设A 是n 阶矩阵，证明：存在非零的n 阶矩阵B 使0=AB 的充要条件是0=A ．

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四、重要公式

1．111112121222221122120000

00=

n n nn n n nn nn

a a a a a a a a D a a a a a a a ．

2．11(1)2

12221

0000

00(1)00

n n

n n n n n a a a a D a a a a a a a ?????????===?????

．

3．奇数阶反对称行列式等于0．

4．范德蒙德行列式∏≤<≤?????==n

j i i j n n

n n n n

n x x x x x x x x x x x x x x D 11

23222

321)(1

111

． 5．设A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵，则

B A B O A B O A ?=?=?；

B A O

B A B

A O

mn ??=?=?)1(．典型例题

一、填空题

例2．设12125376????

=??????

A a ，

B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则_____=a ．

例3．设A 为三阶矩阵，将A 的所有关于次对角线对称的元素对换得到的矩阵记为B ，已

知A a =，则______B =．

例4．设γβααα,,,,321都是4维列向量，且5,,,321=βααα，

4,,,123=+αααγβ，

则______,,,2321=αααγ．

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例5．设γβα,,是方程03

=++q px x 的三个互异实根，则行列式______=α

γββαγγ

βα．

二、n 阶行列式的计算 1．利用行列式定义计算

例6．计算n 阶行列式x

y y x y x y x D n 000000000

000

=．

2．各行（列）元素之和相等的行列式

例7．计算n 阶行列式x

a a a

x a a a x D n =

．

例8．计算n 阶行列式1

1111111

1111

n n n n D n ????=．

3．各行（列）加减同一行（列）的倍数

例9．计算n 阶行列式n

n D n 2222

22222322

222222

2221 ?=

．

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4．各行（列）依次加减上一行（列）的倍数

例10．计算n 阶行列式123121312

3112341

341n n n n n n n

D n n

???=

．

例11．计算行列式1

231111

001

0n n

a a D a a =

，其中021≠n a a a ． 5．加边法

例12．计算n 阶行列式n

n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D λλλλ++++=

32132

21321

1，其中： 12n λλλ 0≠．

6．拆分法

例13．计算n 阶行列式111212122212111111111n n

n n n n n

x y x y x y x y x y x y D x y x y x y ++++++=+++ ．

例14．设n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，12231(,,,)n B αααααα=+++ ，其中

12,,,n ααα 为n 维列向量，已知A a =(0)a ≠，则行列式B 的值．

7．递推法

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例15．计算n 阶行列式n

n n a a a a a x

x x D 1

10000010

0001????=

．

8．三对角行列式

例16．计算n 阶行列式2

211

2112????????=

n D ．

9．利用行列式展开定理

例17．设行列式3

14231315

0111253??????=

D ，D 中ij a 的余子式和代数余子式依次记为ij M 和ij A ，求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++．三、利用克莱姆法则求方程的解

例18．证明：如果n 次多项式n n x c x c c x f +++= 10)(对1+n 个不同的x 值都是0，则此多项式恒等于0．

第二讲矩阵及其运算

考研大纲

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式性质.

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.

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4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算方法.

知识要点

一、矩阵的概念

1.矩阵：由n m ×个数ij a )2121(n n m i ，；，==排成m 行n 列的数表，称为n m ×的矩阵，记作

???

????=×mn m m n n n

m a a a a a a a a a A 2

2222111211

．

2.几类特殊矩阵

（1）方阵：矩阵A 行数和列数相等的矩阵.

（2）零矩阵：若矩阵A 中所有元素都是0，记O A =．

（3）三角矩阵：主对角线下方的元素全为零的方阵为上三角矩阵；主对角线上方的元素全

为零的方阵为下三角矩阵．

（4）对角矩阵：主对角线上元素为任意常数，而主对角线外的元素都是零的矩阵，记作：

??????

????

???

?=Λn λλλ

．（5）数量矩阵：主对角线上元素均相等的对角矩阵，记作：?????????

??=Λλλλ

．（6）单位矩阵：主对角线上元素均为1的数量矩阵，记作：???

??????

?=111

E ．（7）同型矩阵：若矩阵A 与B 的行数和列数分别相等的矩阵.

（8）相等矩阵：若同型矩阵A 与B 对应元素也相等，记作A B =．

备注：若A B =，则A B =，反之不成立．

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二、矩阵的运算

1.矩阵的加法：设矩阵n m ij a A ×=)(，n m ij b B ×=)(，则n m ij ij b a B A ×+=+)(．

2.矩阵的减法：设矩阵n m ij a A ×=)(，n m ij b B ×=)(，则n m ij ij b a B A ×?=?)(．

3.数与矩阵相乘：设矩阵n m ij a A ×=)(，λ是一个常数，则n m ij a A ×?=?)(λλ．

4.矩阵与矩阵的乘法：设矩阵n m ij a A ×=)(，p n ij b B ×=)(，则p m ij c B A ×=×)(，其中

∑=?=n

k kj ik ij b a c 1

，m i 2,1=，p j 2,1=．

5.矩阵与矩阵乘法的运算律

（1）结合律：)()(BC A C AB =；)()()(B A B A AB λλλ==．（2）分配律：AC AB C B A +=+)(；CA BA A C B +=+)(．

备注：（1）一般情况下BA AB ≠，若BA AB =，则称B A ，为可交换矩阵，特殊地： n n n n A E ××?n n n n E A ××?=；

（2）设0=AB ，则B A ，不一定为零矩阵；（3）设AC AB =， 0≠A ，则C B ，不一定相等；但AC AB =,且0≠A ，则C B =．

（3）方阵的幂：n

A A A A =? ．

例1．判断下列命题是否正确，错误的命题举出反例．（1）若02=A ,则0=A .

（2）若A A =2

,则0=A 或E A =. （3）若AC AB =,且0≠A ，则C B =.

（4）若B A ，为n 阶矩阵，且0=AB ，则2

22)(B A B A +=+．（5）若T

A A =，T

B B =，则()T

AB AB =．

例2．证明下列命题．

（1）两个上（或下）三角矩阵的乘积仍是上（或下）三角矩阵.

（2）主对角元全为0的上（或下）三角矩阵的乘积，仍是主对角元为0的上（或下）三角

矩阵.

（3）主对角元全为1的上（或下）三角矩阵的乘积，仍是主对角元为1的上（或下）三角

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矩阵．

例3．设12n λλλ????

??Λ=????

? ，其中12,,,n

λλλ 两两不相等，证明：与Λ可交换的矩阵只能是对角矩阵．

三、矩阵的转置及其运算律

1.定义：把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为矩阵A 的转置，记作T

A . 2.矩阵转置的运算律

（1）A A T T =)(. （2）T T T B A B A +=+)(. （3）T

T A A ?=λλ)(. （4）T

A B AB ?=)(．（5）1

1()

()T T A A ??=. （6）**()()T T A A =.

3.对称矩阵：若A A T

=，则A 为对称矩阵. 4.反对称矩阵：若A A T

?=，则A 为反对称矩阵．

例4.对于任意的n 阶矩阵A ，证明：（1）T

A A +是对称矩阵，T

A A ?是反对称矩阵. （2）A 可表示为对称矩阵与反对称矩阵之和.

四、行列式的乘法定理

1.定理：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则乘积AB 的行列式等于A 和B 行列式的乘积，即

B A AB ?=.

备注：一般情况下，A B A B +≠+. 2.方阵行列式的性质

（1）A A n λλ=.（2）A A T

=.（3）1

n A A

?=.（4）1

A ??=.

（5）若~A B ，则A B =.

五、逆矩阵及其运算律

1.定义：对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==,则A 可逆，且

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B A =?1．

2.逆矩阵的运算律（1）A A =??1

(. （2）111

)(???=

A A λ

λ(0)λ≠.（3）111)(????=A B AB .

（4）11

()()T T A A ??=. （5）1

??=A A . （6）11()()A A ????=.

（7）n n A A )()

(11

??=. （8）???=

A A

A 1

1. 例5．求下列矩阵的的逆矩阵．（1）???

?=d c b a A ，其中0≠?bc ad ．（2）????

????

?=n a a a A

1，其中021≠?n a a a ．（3）?????

????????

=n a a a A

1，其中021≠?n a a a ．例6．设B A ，为n 阶矩阵，下面命题是否正确．（1）若B A ，皆可逆，则B A +也可逆．（2）若B A ，皆不可逆，则B A +也不可逆．（3）若AB 可逆，则B A ，都可逆．（4）若AB 不可逆，则B A ，都不可逆．

例7．证明下列命题．

（1）可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵．

（2）可逆上（或下）三角矩阵的逆矩阵仍是上（或下）三角矩阵．

（3）主对角元全为1的上（或下）三角矩阵的逆矩阵仍是主对角元为1的上（或下）三角矩阵．

六、转置伴随矩阵

1．定义：由行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵：

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???????=?nn n n

n n A A A A A A A A A A 2122212

12111 称为矩阵A 的转置伴随矩阵． 2．伴随矩阵的运算律

（1）**A A AA A E ==．（2）1

n A A ?=(2)n ≥．（3）2

**()n A A

A ?=．

（4）*

*()n kA k

A ?=．（5）*1A A A ?=．（6）*11

()A A A

．（7）*1

1*()

()A A ??=．（8）**()()T T A A =．（9）***()AB B A =?．

例8．设A 是3阶可逆矩阵，且A 的伴随矩阵*

A A =，证明：1=A ．

七、分块矩阵的运算法则

1．+??????2221

1211A A A A ??????22211211

B B B B ??

??++++=22222121121211

11B A B A B A B A ．

2．?????

??22211211A A A A ??????2221

1211

B B B B ??

???+??+??+??+?=2222122121

2211212212121121

121111B A B A B A B A B A B A B A B A ．

3．T

A A A A ???

???2221

1211???

????=T T

T T A A A A 2212

2111． 4．1

21S S A A A A A A ??????

???=???????????

，其中0≠i

A ，)2,1(s i =．

5．1

112

s s

A A A A A A ??????????

???=????

??????????

，其中0≠i

A ，)2,1(s i =．

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6．

12S S

A A A A A A =?

．

7．12

()()()????

?=+++?????

s S A A r r A r A r A A ．

八、矩阵的初等变换与初等矩阵

1．初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列），记作j i r r ?)(j i c c ?．

（2）以数k )0(≠k 乘某一行（列）的所有元素，记作i r k ?)(i c k ?．

（3）某一行（列）的所有元素的k )0(≠k 加到另一行（列）的对应元素上，记作

i j r k r ?+)(i j c k c ?+．

2．矩阵A 与B 等价：把矩阵A 经过初等变换变成矩阵B ，记作A B ～． 3．初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵．

101101ij E ??????????=???????????? ．11()11i E k k ????

??????

=??????

?????

．

11()11ij E k k ??

??????

=??????

????

．

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4．初等矩阵的运算性质

（1）T

ij ij E E =，()()T i i E k E k =，()()T

ij ji E k E k =．（2）1

ij E E ?=，11

()()i i E k E k

?=，1()()ij ij E k E k ?=?．

（3）对A 进行一次初等行变换相当于对A 左乘一个对应的初等矩阵；对A 进行一次初等列变换相当于对A 右乘一个对应的初等矩阵．

5．利用初等变换求逆矩阵

定理：方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵s P P P ,,,21 ，使得

s P P P A 21?=．

典型例题

一、选择题

例9．设???

????

??=3332

232221

131211

a a a a a a a a a A ， ???

?????+++=323132

3322212223

121112

a a a a a a a a a a a a B ， ??????????=1000110011P ，??????????=1000100112P ，???

?????=0010101003P ，则______=B ．

)(A 21P AP ．)(B 31P AP ．)(C 13P AP ．)(D 3

2P AP ．例10．设A ，P 均为3阶矩阵，T

P 为P 的转置矩阵，且????

?????=200010001AP P T ，若

),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则______=AQ Q T ．

)(A ??????????200011012．)(B ??????????200021011．)(C ??????????200010002．)(D ????

?????200020001．

例11．设A ，B ，B A +，11

??+B A

均为n 阶可逆矩阵，则______)(111=+???B A ．

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)(A B A +．)(B 11??+B A ．)(C B B A A 1)(?+．)(D 1)(?+B A ．

例12．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，?

B A ,分别为B A ,的伴随矩阵，则??

???=B A C 00的伴

随矩阵为______．

)(A ????

????B B A A 00．)(B ????

??????A A B B 00． )(C ????

???A B B A 00．)(D ???

????

???B A A B 00．二、填空题

例13．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则______2

=++C B A ．

例14．设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B ?+=，则1

______A B ?+=.

例15．设T

)321(，，?=α1

(11)2

β=?，T ,T

A αβ=，则______100=A ．

例16．设A 为3阶矩阵，2

=A ，则______5)2(1=???A A ．

例17．设4阶矩阵52002

10000120

11A ??

???

=???????

，则行列式A 的所有代数余子式的和为_____．

三.解答题

1．矩阵的运算

例18．设(c)α=，，T a b ,()β=，，T x y z ,246123123αβ??????=?????????

T ，求αβT

．

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例19．设????????????=111201111P ,????

???????=Λ321,Λ=P AP ,求A A A A 32)(2

3?+=?．

2．方阵的幂

例20．设????

??????=λλλ001001A ，求n

A ．

例21．设111222333A ????=??????

，求n

A ．

3．有关对称矩阵的证明

例22．设B A ，为n 阶对称矩阵，证明:AB 是对称矩阵的充要条件是BA AB =．

例23．设A 是实对称矩阵，且20A =，证明：0A =．

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4．行列式的乘法定理

例24．设A ，B 为4阶矩阵，且2?=A ，3=B ，求T

AB ?．

例25．设A 是n m ×矩阵，B 是m n ×矩阵，证明：BA E AB E n m ?=?．

5．逆矩阵的计算与证明

例26．设0=k A （k 为正整数），证明：121

)(??++++=?k A A A E A E ．

例27．解下列矩阵方程．

（1）???????????=??

????

???

???233141*********X ，求X ．

（2）?

????

????????=????????

????

???

?021102341010100001100001010X

，求X ．

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（3）设???

?????????=11111

1111A ，且满足X A X A 21+=??，求X ．

例28．

设T E A αα?=，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维非零列向量，证明：（1）A A =2

的充分必要条件是1=ααT ．（2）当1=ααT 时，A 不是可逆矩阵．

6．分块矩阵的运算

例29．???

?????????=?00

0000000

00121

n a a a a A ，其中021≠?n a a a ，求1?A ．

例30．设??

???=D C B A Q ,且A 可逆，证明：B A C D A Q ????=?1．

例31．设B A ,均为n 阶矩阵，证明：

B A B A A

B B

A ??+=．

2015考研数学基础班线性代数辅导讲义

7．初等矩阵

例32．计算 2013

2014

010123001100456010001789100????????????????????????????

????

．

例33．设1112

132122

233132

33a a a A a a a a

a a ???

?=??????，且3A =，12

11131122

21232132313331222a a a a B a a a a a a a a ???

=????????

，求*A B ．

第三讲 n 维向量

考研大纲

1.理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.

2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判

别法.

3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.

4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.

5.了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念（数学二、三不要求）.

6.了解基变换和坐标变换公式，会求过度矩阵（数学二、三不要求）.

7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法.

8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质（数学二、三不要求）.

知识要点

一、n 维向量的概念与运算

1.n 维向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组，记作

),,,(21n a a a =α或T n a a a ),,,(21 =α．

2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛，则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,) ，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在

2015年考研数学二真题与答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；；；，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续(B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点【答案】B 【解析】这是“ ”型极限，直接有 ,

在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数，().若在处连续，则 (A)(B) (C)(D) 【答案】A 【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，，因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B (A)(B)

(C)(D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则 (A)

2015年考研数学(二)真题及答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( ) (A) 2 +∞ ? (B) 2 ln x dx x +∞ ? (C)21 ln dx x x +∞?(D) 2 x x dx e +∞ ? 【答案】(D) 【解析】(1)x x x dx x e e -=-+? ，则222 2(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞ =-+=-+=?. (2) 函数()2 sin lim(1) x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B) 【解析】2 2 0sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x t t t f x e e x →→=+ ==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0 x x x f x x α β?>?=?? ≤?(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'= ()10 01 cos 010lim lim cos x x x x f x x x αβαβ + +-+→→-'== 0x >时，()()()11 111cos 1sin f x x x x x x αα βββαβ-+'=+-- 11 11cos sin x x x x ααβββαβ---=+

2015年考研数学真题(数二)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A ） 2 +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是（）（A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（）

（A ） 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? （C ） 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若 132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则（10）函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = （11）设函数()f x 连续，2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则(0,0)dz = （14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2 ()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，

数学二2015年考研真题及答案解析

Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列反常积分收敛的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛，所以（A ）是发散的；21p dx x +∞? 1p >2+∞?（B ）是发散的；22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? （C ）是发散的；221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上，对于（D ），应该选（D ）．22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2．函数在内（）2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点（D ）有无穷间断点【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义，而，所以应该选（B ）．0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3．设函数，若在处连续，则（）100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =（A ）（B ）（C ）（D ）1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时，，当时，，0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''===

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛区间还是(0,2)。因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x = ，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，

2015年考研数学三真题与答案详细讲解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 ()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则

2014-2015年考研数学二真题及答案解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α ，1 (1cos )x -α 均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1 (,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1 sin y x x =+ (D) 2 1sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ (4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（） (A) 50 (B) 100 (C) (D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2 2 l i m x x →=ξ （） (A)1 (B) 2 3 (C) 12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20 u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得

2015年考研数学二真题及答案解析

https://www.360docs.net/doc/bb18842909.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；；；，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A

https://www.360docs.net/doc/bb18842909.html,/ 【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，，因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出令于是因此

2015考研数学二真题与答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。；；；，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出

再有于是，存在此时. 当，， = 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出令于是

2015考研数学二真题及解析

2015年考研数学二真题及解析一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 (A) 2x +∞ ? (B) 2ln d x x x +∞ ? (C) 2 1 d ln x x x +∞ ? (D) 2 d x x x e +∞ ? 【答】应选(D). 【解】因 d (1)x x x x x e e -=-+?,则2 222 (1)3lim d (1)3x x x x x e e x e e x x e +∞----→++∞ ∞ =-+=-+=? ,故选(D). (2) 函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答】应选(B). 【解】显然0x =时, ()f x 无定义,故()f x 有间断点.又在0x ≠时,有 2 22000sin sin sin ln lim(1)lim ln(1)lim ()x t t t t t x t x t x x t x t x f x e e e e →→→++?====(0x ≠),因此0x =是() f x 的可去间断点,故选(B). 11,0p p a >>,1,1,1p p a >>收敛发散; ,0 ,0k λλ>收敛; 11p p <,10111d p p p x x

(3) 设函数1cos ,0()(0,0)0, 0x x f x x x α β αβ?>?=>>???,若()f x '在0x =处连续,则 (A) 1αβ-> (B) 01αβ<- (C) 2αβ-> (D) 02αβ<- 【答】应选(A). 【解】因()f x '在0x =处连续,故()f x 在0x =处可导,于是有(0)(0)f f +-''=,即 001cos 000lim lim x x x x x x αβ+ -→→--=,亦即101lim cos 0x x x αβ +-→=,因此10α->.又因为 ()f x '在0x =处连续,所以0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→'''==,即0 lim ()x f x + →'1 1 11lim(cos sin )0x x x x x ααβββαβ+ ---→=+=.由此可见10αβ-->.故选(A). (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,其中二阶导数() f x ''的图形如图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答】应选(C). 【解】拐点须出现在二阶导数为零的点处或二阶导数不存在的点处,且在该点的左右两侧二阶导数异号.于是由的图形可见,曲线存在两个拐点.故应选(C). (5) 设函数(,)f u v 满足22 (,)y f x y x y x +=-,则11 u v f u ==??与11u v f v ==??依次是 (A) 1,02 (B) 1 0,2 (C) 1,02- (D) 1 0,2- 【答】应选(D). 【解】方法一:(代入法) 令u x y =+,y v x = ,则1u x v =+,1uv y v =+,从而22 (,)y f x y x y x +=-变为 2 2 2 (1) (,)111u uv u v f u v v v v -????=-= ? ?+++???? .于是2(1)1f u v u v ?-=?+,22 2(1)f u v v ?=-?+ ,

2015年考研数学(一)真题及答案详解(统编)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，21 2x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）

考研数学二答案

2016年考研数学二答案【篇一：2016考研数学数学二试题(完整版)】 ss=txt>一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1）设a1x 1)，a2 ，a31.当x0时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（a）a1,a2,a3.（b）a2,a3,a1. （c）a2,a1,a3.（d）a3,a2,a1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 lnx,x1, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. 1+111 exdx的敛散性为（3）反常积分①2exdx，②2x0x0 （a）①收敛，②收敛.（b）①收敛，②发散. （c）①收敛，②收敛.（d）①收敛，②发散. （4）设函数f(x)在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则（a）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点.

（b）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点. （c）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点. （d）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （5）设函数fi(x)(i1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)0(i1,2) 线，若两条曲 yfi(x)(i1,2)在点(x0,y0)处具有公切线yg(x)，且在该点处曲线yf1(x)的曲率大于曲线yf2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有（a）f1(x)f2(x)g(x) （b）f2(x)f1(x)g(x) （c）f1(x)g(x)f2(x) （d）f2(x)g(x)f1(x) ex （6）已知函数f(x,y)，则 xy （a）fxfy0 （b）fxfy0 （c）fxfyf （d）fxfyf （7）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是（a）at与bt相似（b）a1与b1相似（c）aat与bbt相似（d）aa1与bb1相似

2015年考研数一真题及答案解析(完整版)

2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点

2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-（A ）321,,a b c =-==-（B ）a =（C ）321,,a b c =-==（D ）3a =【 21=即得 a x xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） 3 =依次为级数1 1()n n n na x ∞ =-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =??（）

数学二2015年考研真题及答案解析

Page 1 of 10 2015年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列反常积分收敛的是（）（A ）2+∞ ? （B ）2ln x dx x +∞ ? （C ）21ln dx x x +∞? （D ）2x x dx e +∞? 【详解】21p dx x +∞ ?当且仅当1p >时才收敛，所以（A ）2+∞?是发散的；（B ）22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? 是发散的；（C ）22 1ln ln ln dx x x x +∞ +∞==+∞?是发散的；事实上，对于（D ）22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?，应该选（D ）． 2．函数201sin ()lim x t t t f x x →? ?=+ ??? 在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点（D ）有无穷间断点【详解】2 2 0010sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ??? 函数在0x =处没有定义，而00 1lim ()lim x x x f x e →→==，所以应该选（B ）． 3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> （B ）01αβ<-≤ （C ）2αβ-> （D ）02αβ<-≤ 【详解】当0x >时，1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+，当0x <时，0()f x '=， 1001 1000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ++--+→→''=== 要使函数在0x =处可导，必须满足101αα->?>；

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而

()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的：（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点【答案】(B) 【考点】级数的敛散性【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，故2x =为幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ==

2000-2017考研数学二历年真题word版

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数1cos ,0(),0x x f x ax b x ?->? =??≤? 在x=0连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 1 1()0f x dx ->? (B) 1 2()0f x dx -?? (D) 1 1 1 ()()f x dx f x dx -??则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <