三角形'五心'的向量表示

三角形"五心"的向量表示
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
让我们先来赏析一道颇有趣的向量题：
命题1：在ΔABC内任取一点O，证明： ...①（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。
解：记方向上的单位向量依次为，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α1、α2、α3，则
，
， （图1）
。
所以，①式等价于 ...②
如图1，在OA上取点D，使，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则
在ΔODE中，，∴，于是，、、恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。
评注：如果把②式放到力学背景中，将看作是大小为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力、、平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证明。根据图2可知，、在 反方向上的分量分别为和 （图2）
；在垂直于方向上的分量分别为和 。由于，故
，而=显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。
这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形"五心"用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形"五心"的一种向量表示。真是"踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫"啊！
命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC形外时，类似地还可以得到：
命题2：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论 ...②（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（证明略）
只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的"五心"，就可以得到三角形"五心"的向量表示。
命题3：设O是ΔABC所在平面内一点，则
（Ⅰ）O是ΔABC的重心 ；
（Ⅱ）O是ΔABC的外心 ；
（Ⅲ）O是ΔABC的内心 ；
（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心 ；
（Ⅴ）O是ΔABC的旁心或或 。
利用三角形面积公式和等式①、②，容易证明上面五个结论成立。由于ΔABC的外心可以在三角形内部，也可以在外部或一边上，情形较多，以下就选结论（Ⅱ）给出其证明，其余几个结论请读者自证。
证明：设O是ΔABC的外心，先证必要性，对ΔABC分两类情形讨论。
（1）若ΔABC是锐角三角形或直角三角形，则外心O在形内或周界上，此时，，，，根据命题1中的等式①易得结论成立；
（2）若ΔABC是钝角三角形

，不妨设A>900，则外心O在ΔABC形外且与A位于直线BC的两侧，此时，，，，代入命题2中的②得成立。
现在再来证明充分性。若ΔABC所在平面内一点满足，则由以上证明知，ΔABC的外心O一定满足等式。两式相减，得，而在ΔABC中，，故，即点与外心O重合，也就是说，点即为ΔABC的外心。从而，O是ΔABC的外心的充要条件是。