2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题及答案

2016年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

（5月22日下午14：30——16：30）

考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.

2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.

3、计算器、通讯工具不准带入考场.

4、解题书写不要超过密封线.

一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、在ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c

命题p ：B+C=2A,且b+c=2a ；，命题q ：ABC 是正三角形，则命题p 是命题q 的 【 】

A 、充要条件

B 、充分不必要条件

C 、必要不充分条件6

D 、既不是充分条件也不是必要条件 2、若i

为虚数单位，复数1

2

z i =

+，则2016z 的值是 【 】 A 、-1

B 、-i

C 、 i

D 、1

3、已知函数2

()2,f x x tx t =-+当[1,1]x ∈-时，记()f x 的最小值为m ，则m 的最大值是

【 】

A 、-2

B 、0

C 、

14 D 、1 4、对任意正整数n 与k （k n ≤），(,)f nk

表示不超过[]n

k

，且与n 互质的正整数的个数，则(100,3)f = 【 】

A 、11

B 、13

C 、 14

D 、19

5、设数列｛n a

｝满足：*1156,[4n n a a a n N +==∈ 其中[x] 表示不超过实数x 的最大整数，n S 为｛n a ｝前n 项和，则2016S 的个位数字是 【 】

A 、1

B 、2

C 、 5

D 、5

6、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1260F PF ∠=

,则该椭圆和双曲线的

离心率之积的最小值是 【 】

A

B

C 、 1

D

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、在54

(4)x x

+

-的展开式中3x 的系数是 （用具体数字作答） 8、若实数,,αβγ构成以2为公比的等比数列，sin ,sin ,sin αβγ构成等比数列，则cos α的值为 9、已知正四棱锥S-ABCD 侧棱长为4，∠ASB=30

，过点A 作截面与侧棱SB 、SC 、SD 分别交于E 、F 、G ，则截面AEFG 周长的最小值是

10、已知ABC 的外心为O ，且234OA OB OC ++=

0,则cos BAC ∠的值是

11、实数,,,x y z w 满足1x y z w +++=，则23345M xw yw xy zw xz yz =+++++的最大值是 12、对于任何集合S ，用S 表示集合S 中的元素个数，用n(S)表示集合S 的子集个数.若A 、B 、C 是三个有限集，且满足条件：

①2016A B ==;②()()()()n A n B n C n A B C ++=??则A B C ??的最大值是 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S r =+（r 为常数）， 记22(1log )n n b a =+ *

()n ∈N ． （1）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ； （2）若对于任意的正整数n

，都有12

12111n n

b b b b b b +++???≥ 成立，

14、已知a 、b 、c 为正实数， 求证：2

22()()()111a b c

abc a b c b c a c a b a b c

++≥

≥+-+-+-++

15、已知抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，在抛物线上任取不同于点C 的一点A ，直线AC 与直线y =x +3交于点P ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B ．

（1）求证：直线AB 过定点； （2）求△ABC 面积的最小值．

16、已知a为实数，函数f(x)=|x2-ax|-ln x，请讨论函数f(x)的单调性．

2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题

参考答案及评分标准

说明：

1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.

2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、A

2、D

3、C

4、C

5、A

6、B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、180

8、12-

9

、 10、14 11、3

2

12、2015 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S r =+（r 为常数）， 记22(1log )n n b a =+ *

()n ∈N ． （1）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ； （2）若对于任意的正整数n

，都有12

12111n n

b b b b b b +++???≥ 成立， 求实数k 的最大值．

解：（1）由条件易知12213322,2,4a r a S S a S S =+=-==-=,

又由2

213a a a =得1r =-． ……5分

于是21n n S =-．故12n n a -=，22(1log )2n n b a n =+=，2n n n a b n =?． 因此 1211222(1)22n n n T n n -=?+?++-?+? ① 23121222(1)22n n n T n n +=?+?++-?+? ②

由①-②得：121122222n n n n T n -+-=++++-? ，故1(1)22n n T n +=-?+． 所以，数列{}n n a b 的前n 项和为1*(1)22()n n T n n +=-?+∈N ． ……10分 (2)

因为12121111214122

42n n b b b n

k b b b n ++++++≤

???=???

，

构造121412()242n

f n n +++=

??? ，

则

(1)12(1)

1

()2(1)

f n n

f n n

+++

==>

+

，……15分

于是{()}

f n严格单增，则()

f n

的最小值为(1)

f=

即实数k

……20分

14、已知a、b、c为正实数，

求证：

222

()()()

111

a b c

abc a b c b c a c a b

a b c

++

≥≥+-+-+-

++

．

证明：（1）先证：

222

111

a b c

abc

a b c

++

≥

++

等价于证明：222

()()()()

ab bc ca abc a b c

++≥++，

令,,

x ab y bc z ca

===，

由不等式222

x y z xy yz zx

++≥++知结论成立．……5分

（2）再证：

222

111

()()()

a b c a b c b c a c a b

a b c

??

++≥+-+-+-++

?

??

（*）由于不等式是轮换对称的，不妨设max{,,}

a a

b c

=，则0,0

a b c c a b

+->+->

①当0

b c a

+-≤时，结论显然成立；

②当0

b c a

+->时，令,,

a y z

b z x

c x y

=+=+=+，

则

1

()

2

x b c a

=+-，

1

()

2

y c a b

=+-，

1

()

2

z a b c

=+-，……10分

故,,

x y z均大于0.

不等式（*）变为：

222

111

2()8[]

()()()

x y z xyz

y z z x x y

++≥++

+++只需证：

111

yz zx xy

++≥

222

444

()()()

y z z x x y

++

+++

，……15分

注意到：2

()4

y z yz

+≥，则

2

41

()

y z yz

≤

+

,

同理：

2

41

()

z x zx

≤

+

，

2

41

()

x y xy

≤

+

．所以，原不等式成立．……20分

15、已知抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，在抛物线上任取不同于点C 的一点A ，直线AC 与直线y =x +3交于点P ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B ．

（1）求证：直线AB 过定点； （2）求△ABC 面积的最小值． 解：（1）由抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，

可得抛物线方程为y 2=4x ．

设点A 坐标为(2

4

y ,y 0)( y 0≠2)，

则直线AC 的方程为y -2=020

2

14

y y --(x -1)，

即y -2=04

2

y +(x -1)，

与y =x +3联立解得P 点坐标为(

0062y y ---,00212

2

y y --)． ……5分 所以B 点坐标为(202

0(6)(2)y y --,00212

2y y --)．

当2

0y =12时，A 坐标为(3,y 0)，B 点坐标为(3,

00212

2

y y --)，直线AB 过定点Q (3,2)． 当2

0y ≠12时，204y ≠2020(6)(2)y y --，直线AB 的方程为y - y 0=00022

002

0212

2(6)4(2)y y y y y y --

---

-(x -204y )，

化简得，y - y 0=020(2)12y y --(4x -2

0y )，（或：y - y 0=020

(2)34

y y --( x -204y )，）

易得，直线AB 也过定点Q (3,2)． ……10分

法2：由抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，可得抛物线方程为y 2=4x ． 设直线AB 的方程为x =my +a ，与抛物线方程联立得，y 2-4my -4a =0． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4a ， P 点坐标为B (y 2-3,y 2)，因为AP 过定点C ，

所以222

31y y ---=1121

y x --，又x 1=my 1+a ，

所以(m -1)y 1y 2-(2m -4)y 1+(a +1)y 2-2a -6=0． ……5分 将y 1y 2=-4a ，y 2=4m -y 1代入上式，得(-2m +3-a )y 1+(2a +4m -6)=0． 即(-2m +3-a )(y 1-2)=0．

因此式对任意y 1≠2都成立，所以-2m +3-a =0，即3=2m +a ，

因此直线x =my +a 过定点Q (3,2)． ……10分 （2）由（1）可设直线AB 的方程为x -3=m (y -2)，

与抛物线方程联立得y 2-4my +4(2m -3)=0．则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4(2m -3)， S △ABC =

1

2

|CQ |?|y 1-y 2|=|y 1-y 2|

． 所以当m =1时，△ABC 面积的最小值为

……20分

16、已知a 为实数，函数f (x )=|x 2-ax |-ln x ，请讨论函数f (x )的单调性． 解：由条件知函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1) 若a ≤0，则f (x )= x 2-ax -ln x ，

于是2121

()2x ax f x x a x x

--'=--=，令()0f x '=，得

104a x =<，204

a x =>．

所以，()f x 在(0)上单调递减，在+∞)上单调递增．……5分

（2）若a ＞0，则f (x )=22ln ,ln ,0x ax x x a x ax x x a ---??

?+-??当≥时当＜＜时 ，

① 先讨论g (x )=x 2

-ax -ln x (x ≥a )的单调性．

g ′ (x )=2x -a -1x =221

x ax x --．令g ′ (x )=0，得x ＞0，

a ，即a ＜1时，

g (x )在(a 上单调递减，在,+∞)上单调递增；

a ，即a ≥1时，g (x )在(a ,+∞)上单调递增． ……10分

② 再讨论当a ＞0时，h (x )=-x 2+ax -ln x (0＜x ＜a )的单调性．

h ′ (x )=-2x +a -1x =221

x ax x

-+-．

当?=a 2-8≤0，即0＜a ≤h ′ (x )≤0，h (x )在(0, a )上单调递减；

当?=a 2-8＞0，即a ＞

令h ′(x )= 0，得10x <=a ，20x a <=

<，

所以h (x )在(0，a )上单调递减，

在上单调递增． ……15分

综上可得：

① 当a ＜1时，f (x )在(0)上单调递减，在,+∞)上单调递增；

② 当1≤a ≤f (x )在(0, a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增；

③ 当a ＞f (x )在(0，a )上单调递减，

在，(a ,+∞)上单调递增． ……20分