2013《运筹学》考试题及其答案

2012-2013学年第1学期《运筹学》考试题答案

要求:第一题必做（50分），二三四题任选两题（每题各25分）。 一、 考虑下面线性规划问题

???????≥≤+≥+=++=0

,3322634133..4min 212121

2121x x x x x x x x t s x x z ）

（）

（）

（ （1） 用图解法求解该问题； （2） 写出该问题的标准形式；

（3） 求出该问题的松弛变量和剩余变量的

值；

（4） 用单纯形法求解。 【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的

可行域,目标函数214x x z +=,即z x x +-=124是斜率为4-的一族平行直线,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线214x x z +=沿其法线方向逐渐向上平移,直至A

点,A 点的坐标为(56,53),所以5

1856534min =+?=z

此线性规划问题有唯一解5

6

5321==x x ，。

(2)给等式（2）左端添加剩余变量3x ，给等式（3）左端添加松弛变量4x ，则得到该问题的标

准型为：

??????

?≥=++=-+=+++--=0

,,,3,322,6341,

33..004max 4321421321214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z ）

（）（）（ （3）在上面标准型中令5

6

5321==x x ，，得到剩余变量3x =0，松弛变量4x =0。

（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（2）中分别加入人工变量5x ,6x ，得到如下数学模型，

??????

?≥=++=+-+=++--++--=0

,,,,,3,322,6341,

33..004max 6543214216321521654321x x x x x x x x x x x x x x x x t s Mx Mx x x x x z ）

（）（）（ 由此列出单纯形表逐步迭代，用大M 法求解计算结果如下表所示。

－4

－1

0 0 －M －M 1x 2x 3x 4x 5x 6x b θi －M

5x 【3】 1 0

0 1 0 3 1 －M

6x 4 3 －1

0 0 1 6 3/2 0

4x 1

2

1

3

3 r j

7 M －4

4M －1

－M

－9M

－4 1x

1 1/3

0 1/3

0 1 3 －M

6x 0 【5/3】

－1

－4/3 1 2 6/5

0 4x

0 5/3

0 1 －1/3

0 2

6/5

r j (-z)

0 (5M+1)/3

－M 0 (－7M+4)/3

－4-2M －4 1x 1 0 1/5 0 3/5

－1/5 3/5 1/3 －1

2x 0 1 －3/5 0 －4/5

3/5 6/5 － 0 4x

0 0 【1】 1 1

1 0 0 r j (-z)

0 0 1/5 0

－M+8/5

－M-1/5 －18/5 －4 1x 1 0 0

－1/5 2/5

0 3/5 －1

2x

0 1 0 3/5 －1/5

0 6/5

0 3x

0 0 1 1

1

－1

r j (-z)

－1/5

－M+7/5

－M

－

18/5

表中所有检验数r j ≤0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解T )0,0,0,0,5

6

,53(X =，目标函

数的最优值5

18

56534max =+?=z 。

二、 试用表上作业法求解下列运输问题的最优解。

产地 销地

B 1 B 2 B 3 B 4 产量 A 1 4 8 8 4 6 A 2

9

5

6

3

4

C j x j

X B

C B

A 3 3 11 4 2 12 销量 6 2 7 7

【解答】：显然该问题是一个供需平衡问题，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。

B1

B2

B3

B4

产量

A1 6 4 8 8 4 6 A2 9 2 5 6 2 3 4 A3

3

11

7

4

5 2

12 销量

6 2

7 7

用位势法求出各非基变量（即空格）的检验数，如下表所示。

B1

B2 B3

B4

i u

A1 6 4 (3) 8 (3) 8 (1) 4 1u =0 A2 (5) 9 2 5 (1) 6 2 3 2u =0

A3

3

(7)

11

7

4

5

2

3u =－1

j v 1v =4 2v =5 3v =5 4v 3

因为所有非基变量的检验数均为非负的，故表中的解为最优解。按照此种方案调运，最小费用为：6×4+2×5+2×3+0×3+7×4+5×2= 78

三、 用标号算法求解下图中从V 1到各点的最短路

【解答】：此为最短路问题，权数为正，用Dijksta 算法的计算步骤如下：

1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v

初始值

T( )

{0} ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

1 P( )+w ij 0+

2 0+8 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞ 0+∞

T( ) {2}

8 ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

2 P( )+w ij

2+6 2+∞ 2+1

2+∞ 2+∞ 2+∞ 2+∞ 2+∞ 2+∞

T( ) 8 ∞

{3} ∞ ∞ ∞ ∞

∞

∞

3 P( )+w ij 3+5 3+∞

3+∞ 3+∞ 3+∞ 3+1

3+∞

3+∞

T( ) 8

∞

∞

∞

∞

{4}

∞

∞

4 P( )+w ij 4+∞ 4+∞ 4+6 4+∞ 4+7 4+∞

4+∞

T( ) {8} ∞ 10 ∞

11 ∞

∞

5 P( )+w ij 8+7 8+∞ 8+∞ 8+∞ 8+∞

8+∞

T( ) 15

{10} ∞ 11 ∞

∞

6 P( )+w ij 10+∞ 10+4 10+∞ 10+∞

10+∞

T( ) 15

14 {11}

∞

∞

7 P( )+w ij 11+∞ 11+∞ 11+∞

11+9

T( ) 15

{14} ∞

20

8 P( )+w ij 14+∞ 14+1 14+∞

T( ) {15} {15} 11 9

P( )+w ij 15+4 T( )

{19}

由上表的迭代过程可得： q S {1v ， 2v ，5v ，9v ，3v ，6v ，8v ， 7v ，4v ， 10v ，11v } d(1v ,2v )=2,最短路：（1v ,2v ）； d(1v ,5v )=3,最短路：（1v ,2v ,5v ）； d(1v ,9v )=4,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ）；d(1v ,6v )=10,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ）； d(1v ,3v )=8,最短路：（1v ,3v ）或（1v ,2v ,3v ）或（1v ,2v ,5v ,3v ）；

d(1v ,8v )=11,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,8v ）；d(1v ,7v )=14最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ）； d(1v ,4v )=15,最短路：（1v ,3v ,4v ）或（1v ,2v ,3v ,4v ）或（1v ,2v ,5v ,3v ,4v ）； d(1v ,10v )=15,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ,10v ）； d(1v ,11v )=19,最短路：（1v ,2v ,5v ,9v ,6v ,7v ,10v ,11v ）；

四、 某公司面对四种自然状态的三种备选行动方案收益表如下，假定状态概率未知，

试分别用悲观准则、等可能性准则、后悔值准则和乐观系数准则（α=0.6）进行决策。

θ1 θ2 θ3 θ4

A 1 15 8 0 －6

A 2 4 14 8 3

A 3

1

4

10

12

【解答】：（1）应用悲观准则：

∵{}36,3,1-max ,12}min{1,4,10,3}min{4,14,8

,-6}min{15,8,0

max ==??

?

???????∴S 2为最佳方案。 (2)应用等可能性准则：∵4

17

)60815(41)(1=-++=

A E , 429)38144(41)(2=+++=A E , 427

)121041(41)(3=+++=A E ,

)(4

29}427,429,417max{2A E == ，∴S 2为最佳方案。

（3）应用后悔值准则：先求出后悔值矩阵

????

? ??=00101492011181060B ∵11}14,11,18{min }0,0,10,14max{}9,2,0,11max{}18,10,6,0max{min ==?????????? ∴S 2为最佳方案。

(4)应用乐观系数准则（α=0.6）：先计算各个方案的折中益损值：

6.664.0156.0)(1=-?+?=）（A E ， 6.934.0146.0)(2=?+?=A E ，

6.714.0126.0)(3=?+?=A E ，

∵)(6.9}6.7,6.9,6.6{m 2A E ax == ∴S 2为最佳方案

已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中5

4,x x 为松弛变量，问题的约束为 ? 形式（共8分）

1x 2x

3x

4x

5x

3x 5/2 0 1/2 1 1/2 ０ 1x

5/2

1

－1/2

－1/6

1/3

状 态

收

益

值

方

案

j

j z c -

0 －４ 0 －４ －２

(1)写出原线性规划问题；（4分）

(2)写出原问题的对偶问题；（3分）

(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）

3212max x x x Z +-=

s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1, x 2 , x 3 ≥0

五、求解下面运输问题。 （18分）

某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小?

销 地 产 地

1B 2B 3B 4B

产 量 1A 2A

3A

10 8 9 5 2 3 6 7 4 7 6 8 25 25 50 销 量

15

20

30

35

100

六、灵敏度分析（共8分）

线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3

s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 的最优单纯形表如下： 6 x 2 200/3 0 5/6 1 5/3 – 1/6 0 10 x 1 100/3 1 1/6 0 -2/3 1/6 0 0

x 6 100

0 4 0 -2 0 1 σj

–8/3

-10/3

– 2/3

(1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分)

(2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)

七、试建立一个动态规划模型。（共8分）

某工厂购进100台机器，准备生产p1 , p2 两种产品。若生产产品p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品p2 ，每台机器每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？

八、求解对策问题。（共10分）

某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。

要求：

（1）建立损益矩阵；（3分）

（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）

（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）

九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分）

工序代号工序

时间

最早开

工时间

最早完

工时间

最晚开

工时间

最晚完

工时间

机动

时间

1-2 8 1-3 7 1-4 6 2-4 3 2-5 5 3-4 2 3-6 3 4-5 3 4-6 7 4-7 4 5-7 9 6

8

1

2

3

4

5

7 5

6

3 7

9

3

4

2

7

8 3

十、用标号法求V 1 到 V 6 的最短路。（6分）

运筹学样卷（一）答案

一、 判断题。共计10分，每小题1分

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 10 X √

X

√

√

√

X

√

X

√

二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）

解：用321,,x x x 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；54,x x 分别表示奶牛和鸡的饲养数；7

6,x x 6-7 8 3 V 4

V 5

V 3 V 1 V 2 V 6

4 6

5

6 6

4

3

8

4

分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=

??

?

???

??

?

??=≥≤≤≤+++++≤+++++≤+≤+++)7,,2,1(0)(1500)(200)(40003.0504017550)(35006.010*******)(150003400)(1005.154754321654321544

321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j

鸡舍限制牛栏限制劳动力限制劳动力限制资金限制土地限制

三、对偶问题。共计8分

解：（１）原线性规划问题：3211026max x x x z

+-=

???

??

≥≤+-≤+0

,103522132122x x x x x x x ；……4分

（２）原问题的对偶规划问题为：

21105min y y w +=

?

?????

?

≥≥+-≥-≥0,1022632121212y y y y y y y ； ……3分

（３）对偶规划问题的最优解为：)2,4(=*

Y T 。……1分

四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x 4、 x 5、 x 6，标准化得，

3212max x x x Z +-=

s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3+ x 4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x 5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x 6 = 0

x 1, x 2 , x 3， x 4、 x 5、 x 6，≥0……………3分

建初始单纯形表，进行迭代运算： ……………………… …9分

C B X b b’ 2 -1 1 0 0 0 θ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0

x 4

60

3

1

1

1

20

0 x510 [1] -1 2 0 1 0 10*

0 x620 1 1 -1 0 0 1 20

σ10 2* -1 1 0 0 0

0 x430 0 4 -5 1 -3 0 7.5

2 x110 1 -1 2 0 1 0 ---

0 x610 0 [2] -3 0 -1 1 5*

σ220 0 1* -3 0 -2 0

0 x410 0 0 1 1 -1 -2

2 x115 1 0 0.5 0 0.5 0.5

-1 x2 5 0 1 -1.5 0 -0.5 0.5

σ325 0 0 -1.5 0 -1.5 -0.5

由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为：( 15 , 5 , 0 )T…2分

最优值为：z*=25。………2分

五、求解运输问题。共计18分

解：

（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分）

设x ij为由A i运往B j的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,

列表如下：

销地

产地1

B2B3B4B产量

1

2

3 15 20

30

25

5

5

25

25

50

销量15 20 30 35 100

……………3分所以，基本的初始可行解为：x14 =25；x22=20 ；x24 =5 ；

X31 =15；x33 =30；x34=5

其余的x ij=0。…………3分（2）求最优调运方案：

1会求检验数，检验解的最优性：σ11=2；σ12=2；σ13=3；

σ21=1；σ23=5；σ32= - 1…………3分2会求调整量进行调整：=5 …………2分销地

产地1

B2B3B4B产量

1 25 25

2 3 15 15 5 30 10 25 50 销 量

15

20

30

35

100

…3分

3再次检验 …………2分

4能够写出正确结论

解为：x 14=25 ； x 22 =15 ； x 24 =10 x 31 =15， x 32 =5 x 33=30

其余的x ij=0。 ……1分

最少运费为： 535 ………1分。

六、灵敏度分析。共计8分 （1）（4分）

（2）（4分）

10401=?≤-b

七、建动态规划模型。共计8分

解：(1)设阶段变量k 表示年度，因此，阶段总数n =3。

(2)状态变量sk 表示第k 年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k –1 年度末时的完好机床数量。 (3)决策变量uk ，表示第k 年度中分配于生产产品 p 1 的机器台数。于是sk – uk 便为该年度中分配于生产产品 p 1的机器台数．

（4） 状态转移方程为

（5）允许决策集合,在第 k 段为 （6）目标函数。设gk (sk ,uk )为第k 年度的产量，则

gk (sk ,uk ) = 45uk + 35(sk –uk ) ,

因此，目标函数为 （7）条件最优目标函数递推方程。

令fk (sk )表示由第k 年的状态sk 出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化

原理有以下递推关系： （8）.边界条件为

八、解决对策问题。共10分

??

?

???--≤?≤??????--3/23/10min 6/13/2,6/13/8max 1c 155104106,54111=+≤?+≤-=≤?≤-c c c ???

???----≤?≤??????-∞-2100,3/23/100min 3/53/200,max 1

b )

(65.035.01k k k k u s u s -+=+}{)(k k k k k s u u s U ≤≤=0∑

==3

),(k i k

k k k u s g R ))

((max )(k k U u k k s u s f k

k ∈=)]}

(65.035.0[)](3545{[1k k k k k k k u s u f u s u -++-++0)(1313=++s f

（1）益损矩阵如下表所示：……3分

销 售 订 购 S 1

500 S 2 1000 S 3 1500 S 4 2000 A 1 500 A 2 1000 A 3 1500 A 4 2000

1500 0 －1500 －3000

1500 3000 1500 0

1500 3000 4500 3000

1500 3000 4500 6000

（2）悲观法：A 1 ，订购500公斤。……2分 （3）后悔矩阵如下表所示：……3分

S 1 S 2 S 3 S 4

最大后悔值 A 1 0 1500 3000 4500 4500 A 2 1500 0 1500 3000 3000 A 3

3000

1500

1500

3000

A 4 4500 3000 1500 0 4500

按后悔值法商店应取决策为A 2或A 3 ，即订购1000公斤或1500公斤。……2分 九、求网络计划图的各时间参数。（8分）

工序 代号 工序 时间

最早开 工时间

最早完 工时间

最晚开 工时间

最晚完 工时间

机动 时间

1-2 8 0 8 0 8 0 1-3 7 0 7 2 9 2 1-4 6 0 6 5 11 6 2-4 3 8 11 8 11 0 2-5 5 8 13 9 14 1 3-4 2 7 9 9 11 2 3-6 3 7 10 15 18 8 4-5 3 11 14 11 14 0 4-6 7 11 18 11 18 0 4-7

4

11

15

22

26

11

6 8 1 2 3

4 5

7

5 6 3 7 9 3 4 2 7 8

3 0 0 8 0 7 11 1

4 18 0 26 0 26 14 18 11

9 8 0

关键问题是：①→②；2→④；④→⑤；④→6；6→⑦ 关键线路是：

评分标准：①能正确给各顶点标号并填表......................4分

②正确写出关键问题.............. 2分

③正确画出关键线路............. ２分

十、用标号法求v 1 到 v 6 的最短路。（6分）

最短路为：v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6 长度为：12

正确标号：4分；正确写出结论：2分

5-7 9 14 23 17 26 3 6-7 8

18

26

18

26

4 V 4

V 5 V 3 V 1

V 2 V 6

6 2 8

7 3 7 1

5

2

(0,0)

(4,v1) (6,v2) （8,v1） (9,v3) (10,v2)

(10,v4)

(11,v2) (13,v3)

(12,v5)

(14,v4)

1 2

4 1

6 7