2011北京市通州区2011年中考一模数学试题

通州区初三年级模拟考试

数学试卷

一、选择题（每题只有一个正确答案，共8个小题，每小题4分，共32分） 1．2-的绝对值是（ ） A ．±2

B ．2

C ．

12

D ．12

-

2．下列运算正确．．的是（ ） A ．4

3

x x x =?

B ．532)(x x =

C ．3

2

6

x x x =÷

D ．5

3

2

x x x =+

3．代数式2

21x x --的最小值是（ ） A ．1

B ．－1

C ．2

D ．2-

4．某种生物孢子的直径是0.00063m ，用科学记数法表示为（ ） A ．3

6.310-?

B ．4

6.310-?

C ．30.6310-?

D ．5

6310-?

5．在一个不透明的纸箱中放入m 个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在14

，因此可以推算出m 的值大约是（ ） A ．8

B ．12

C ．16

D ．20

6．如图，⊙O 的半径为2，直线P A 、PB 为⊙O 的切线， A 、B 为切点，若P A ⊥PB ，则OP 的长为（ ）

A ．

B ．4

C ．

D ．2

7．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个

几何体的侧面积为（ ） A ．6π B ．12π

C ．24π

D ．48π

8．如图，△ABC 的面积为1．第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A 1B ＝AB ，B 1C ＝BC ，C 1A ＝CA ，顺次连结

A 1，

B 1，

C 1，得到△A 1B 1C 1．第二次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1＝A 1B 1，B 2C 1＝B 1C 1，C 2A 1＝C 1A 1，顺次连结A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2．…按此规律，要使得到的

三角形的面积超过2011，最少经过（ ）次操作．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

二、填空题：（共4道小题，每题4分，共16分）

9．已知甲、乙两名同学5次数学检测成绩的平均分都是90.5分，老师又算得甲同学5次数学成绩的方差是2.06，乙同学5次数学成绩的方差是16.8，根据这些数据，说一说你可以从中得出怎样的结论： . 10．将3

82x x -分解因式得： .

11．若2a b -=，3b c --=，5c d -=，则()()a c b d --= . 12．已知ABC AB AC m ?==中，，72ABC ∠=?，

1BB 平分ABC ∠交

AC 于1B ，过1B 作12B B //BC 交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，

交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 . 三、解答题（4道小题，每题5分，共20分）

130

21(1cos 30)()tan 4512

---+-??.

14．解方程：5423

32x x x

+

=--.

15．先化简再求值：22

913

93

m m m m +

÷

--+，其中1=m .

16．已知：如图，90ACB ∠=?，AC BC =，CD 是经过点C 的一条

直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.

四、解答题（5道小题，每题5分，共25分）

17．如图，直线2y x =-+与反比例函数k y x

=

的图象只有一个交点，求反比例函数的解

析式.

18．某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政府补贴。农民田大伯到

该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

① （2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰

箱的数量不少于彩电数量的

56

. 若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰

箱、彩电各多少台？最大获利是多少？

19．某学校准备从甲、乙、丙、丁四位学生中选出一名学生做学生会干部，对四位学生进行了

德、智、体、美、劳的综合测试，四人成绩如下表.同时又请100位同学对四位同学做推荐选举投票，投票结果如扇形统计图所示（每票计1分），学校决定综合测试成绩与民主推荐的分数比是6∶4，即：综合测试成绩的60%和民主推荐成绩的40%计入总成绩. 最后分数最高的当选为学生会干部. 请你完成下列问题：

（1）已知四人综合测试成绩的平均分是72分，请你通过计算补全表格中的数据； （2）参加推荐选举投票的100人中，推荐丁的有 人，

（3）按要求应该由哪位同学担任学生会干部职务，请你计算出他的最后得分.

20．已知，如图，矩形ABCD 绕着它的对称中心O 按照顺时针方向旋

转60°后得到矩形DFBE ，连接AF ，CE . 请你判断四边形AFED

是我们学习过的哪种特殊四边形，并加以证明.

21．如图在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2，0)，以

点A 为圆心，2为半径的圆与x 轴交于O ，B 两点，C 为⊙A 上一点，P 是x 轴上的一点，连结CP ，将⊙A 向上平移1个单位长度，⊙A 与x 轴交于M 、N ，与y 轴相切于点G ，且CP 与⊙A 相切于点C ，60CAP ∠=?. 请你求出平移后MN 和PO 的长.

五、解答题（22题6分，23—25题每题7分，共27分） 22．问题背景

（1）如图22（1），△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，

过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：

四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ， △ADE 的面积2

S = ． 22（1）

探究发现

（2） 在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =． 拓展迁移

（3）如图22（2），□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若

△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．

（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积． 22（2）

23．已知：矩形纸片ABCD 中，AB ＝26厘米，BC ＝18.5厘米，点E 在AD 上，且AE ＝6厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图23（1）所示）； 步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图23（2）所示） （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“>”、“=”、“<”号）；

（2）如图23（3）所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点Q 1 ，Q 1点的坐标是（ ， ）； ②当P A =6厘米时，PT 与MN 交于点Q 2 ，Q 2点的坐标是（ ， ）； ③当P A =12厘米时，在图22（3）中画出MN ，PT （不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点Q 3的坐标；

B

C

D G F E

A

（3）点P 在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点Q 1 ，Q 2 ，Q 3 ，…观察、猜想：

众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

23（1） 23（2） 23（3）

24．已知如图，ABC ?中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在

x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y ax ax =-+经过ABC ? 的三个顶点，

（1）求出该抛物线的解析式；

（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.

（3）若直线b kx y +=将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定

b kx y +=中k 的取值范围.

P

N P

25．已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A =120°,E 是AB 的

中点，过E 点作射线EF//BC ，交CD 于点G ，AB 、AD 的长恰好是方程2

2

4250x x a a -+++=的两个相等实数根，动点P 、Q 分别从点A 、E 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿射线AB 由点A 向点B 运动，点

Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF 由E 向F 运动，设点P 、Q 运动的时间为t . （1）求线段AB 、AD 的长；

（2）如果t > 1，DP 与EF 相交于点N ，求DPQ ?的面积S 与时间t 之间的函数关系式. （3）当t >0时，是否存在DPQ ?是直角三角形的情况，如果存在请求出时间t ,如果不存

在，说明理由.

N

G

F

Q P

E D

C

B

A

2011年初三数学中考模拟试卷答案

2011．5

一、选择题：（每题4分，共32分）

1. B.

2. A.

3. D.

4. B.

5. C.

6. C.

7. B.

8. B. 二、填空题：（每题4分，共16分）

9.甲同学的学习成绩更稳定一些；10.)12)(12(2-+x x x ； 11.-2；

12. m 6

215???

?

??-.

三、解答题：（每题5分，4道小题，共20分） 13.解：145tan )

2

1

()30cos 1(82

-?+-?-+-

原式=04122+-+ ..... ............................................................(4分) =322- ....................................................................(5分)

14. 解：去分母得：()3245-=-x x .....................................(2分)

解之得：1=x . ............................................(3分) 检验：把1=x 代入32-x

0132≠-=-x ................................................(4分)

∴1=x 是原方程的解. ................................................(5分)

15. 解： 3

1

9932

2+÷-+-m m m m 原式=1

3

)3)(3(932+?

-+-+-m m m m m ....................................................(2分) =

)

3()

3)(3(-+-m m m ..........................................................................(3分)

3+=m . ..............................................................................(4分) 当m =1时

原式=4. ...........................................................................(5分) 16．证明：

CD AE ⊥，CD BF ⊥

∴?=∠=∠90BFC AEC

∴?=∠+∠90B BCF ...... .................................(1分)

F E D

C

B A

,90?=∠ACB

∴?=∠+∠90ACF BCF .........................................(2分) ∴B ACF ∠=∠

在BCF ?和CAE ?中

??

?

??=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC ............... ........................................(3分) ∴BCF ?≌CAE ?（AAS ）.....................................(4分) ∴BF CE = .................... .....................................(5分)

四、解答题：（每题5分，5道小题，共25分） 17．解： 直线2+-=x y 与x

k

y =

只有一个交点， ∴2+-=x x

k

且0=? .....................(2分)

解之得：1=k ......................(4分)

∴反比例函数的解析式为：x

y 1

=

...................(5分) 18．解：（1）（2420+1980）×13℅=572，...... .................................(1分) （2）①设冰箱采购x 台，则彩电采购（40-x ）台，根据题意得

??

?

?

?-≥≤-+)40(6585000)40(19002320x x x x 解不等式组得23

18

21117

x ≤≤，...... .................................(2分) 因为x 为整数，所以x = 19、20、21， 方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台， 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台， 方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台， 设商场获得总利润为y 元，则

y =（2420-2320）x +(1980-1900)(40- x )...... .................(3分)

=20 x + 3200 ∵20＞0，

∴y 随x 的增大而增大，

∴当x =21时，y 最大 = 20×21+3200 = 3620. ...... .......................(5分)

19．解：（1）

... .......................(1分)

（2）25人 ... .................. ... ............. ... ................(2分) （3）甲的得分：4.5284.44%4020%6074=+=?+?

乙的得分：8.53108.43%4025%6073=+=?+? 丙的得分：6.51126.39%4030%6066=+=?+?

丁的得分：551045%4025%6075=+=?+?... .......................(4分)

答：按照要求应该由丁来担任学生会职务，他的得分是55分.............(5分) 20.解：判断：等腰梯形 ... ................ .. ............ . ...... ................(1分) 证明：连结AO 、DO

依题意可知：?=∠=∠60DOE AOD , AO=OD=OE=OF ................(2分)

EF 是矩形的对角线

∴点F O E 、、在一条直线上， ∴?=∠60AOF

∴DOE AOD AOF ???、、都是等边三角形，

且AOF ?≌AOD ? ≌DOE ?()SAS

∴DE AF = …………………………….(3分)

ADO ∠=DOE ∠=?60

∴EF AD //,且EF AD ≠ …………………………….(4分) ∴四边形AFED 是等腰梯形 …………………………….(5分)

21．解：

（1）过点A 作x AH ⊥轴，垂足为H ，连结AM ……………….(1分)

AM =2,AH =1,根据勾股定理得：MH=

3,

∴MN=32

………………………………………………………….(2分)

（2）

CP 是⊙A 切线，且?=∠60CAP ∴满足要求的C 有两个：C 1

、C 2

如图，?=∠6011AP C 或?=∠6022AP C 当?=∠6011AP C 时，

CP 是⊙A 切线， ∴1

1P AC ∠=?90,21

=AC

∴41

=AP

在H AP Rt 1?中，AH =1, 41=AP

∴151

=

H P

∴2151

-=

OP …………………………………………….(3分)

同理可求152=H P

∴2152

+=

OP ………………………………(4分)

∴OP 的长是

215-或215+………………………………(5分)

五、解答题（22题6分，23、24、25每题7分，共27分） 22.

(1)四边形DBFE 的面积S =632=?，…………………(1分) △EFC 的面积1S =

9362

1

=??，…………………(2分) △ADE 的面积2S =1． …………………(3分) (2)根据题意可知：

ah S =，bh S 2

1

1=，

DE ∥BC ，EF ∥AB

∴四边形DEFB 是平行四边形，EFC ADE ∠=∠,C AED ∠=∠

∴DE=a ; ADE ?∽EFC ?

,

22（1）

A S

∴122

S S b a =??

? ??

∴b h

a S

b a S 221222== …………………(4分)

∴222212244h a b

h

a bh S S =??=

∴2

124S

S S =………………………………………………………(5分)

(3) 过点G 作GH//AB

∴由题意可知：四边形DGFE 和四边形DGHB 都是平行四边形 ∴DG=BH=EF ∴BE=HF

GHF DBE S S ??= 8=?GHC S

64824S 4S G H C A D G D G H B

2

=??=?=??四边形S

∴8DGHB

=四边形S

∴18882S

ABC

=++=?……………………………………(6分)

23.

(1)PQ = QE ……………………………(1分) ①1Q 点的坐标是（0，3）；……………………………(2分) ②2Q 点的坐标是（6，6）；……………………………(3分)

③依题意可知：5661222=+=EP

∴53

2

1==EP PH

PQ 与x 轴垂直， ∴?=∠90QPA

可证42∠=∠，

MN 是折痕

G

F

D

C

B

A

∴?=∠=∠90EAP QHP

QHP ?∽PAE ?………………..……………………………(4分)

∴AE

HP EP

PQ =

∴15=PQ

∴)15,12(3

Q ………………………………………………(5分)

（3）猜想：一系列的交点一系列的交点构成二次函数图象的一部分。……(6分)

∴解析式为：312

12

+=

x y ……………………………(7分) 24.解.（1）由题意可知，抛物线的对称轴为：2

5

25=--=a a x ， 与y 轴交点为)4,0(c

∴)4,5();0,3(B A -………………….…………………………(1分)

把)0,3(-A 代入452+-=ax ax y 得：

04159=++a a ……………………………(2分)

解之得：6

1

-

=a ∴46

5

6

12

++

-=x x

y ……………………………(3分)

（2）直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，则直线一定经过OB 的中点P . 根据题意可求P 点坐标为（2,2

5）……………………………(4分) 把P （2,2

5）代入7+=kx y 得：2-=k ，

∴直线的解析式为：72+-=x y ……………………………(5分)

（3）5

4

54≥-≤k k 或………………….…………………………(7分) 25.

解：根据题意可知，)52(442

2

++-=?a a

()0142

=+-=a …….……………………(1分)

∴1-=a

原方程可化为：0442

=+-x x

∴221

==x x

∴2==AB AD …………………..…….…………………………(2分)

(2) 过点P 作PM ⊥DA ，交DA 的延长线于M,过点D 作DK ⊥EF

?=∠120A ,AD//BC 且2==AB AD

∴?=∠60B ,3=

AH

E 是AB 中点，且EF//BC

2

3=

=DK AO t AP = ∴t PM 23= ∴2

3

23-

=

t PS , E 是AB 中点，AD//EF,AB =2, ∴PA PE

AD EN

=

∴t

t EN )1(2-=

∴t

t t QN )1(22--= …….…………………………(3分)

∴DPQ S ?)2

32323)(

)1(22(2

1+---=t t

t t =

2

3

23232+-t t S K

H

O P Q N

M

G

F

E D

C

B

A

2

3

23232+

-=

t t S ………….…….…………………………(4分) (3)根据题意可知：,2

1

t AM =

∴t DM 2

12+=

∴222

)()(PM DM DP

+=

222)23

()212(t t DP ++=

4222++=t t DP

根据勾股定理可得：222

)2

1

22()23(

--+=t DQ 7104)2

1

22()23(

2222+-=--+=t t t DQ 2

2222)2

)1(3()212(-+-+

=+=t t t PN QN PQ 14722+-=t t PQ

① 当?=∠90PDQ

222PD DQ PQ +=

1472+-t t =71042+-t t +422++t t

解之得：16-=t （舍负）…….…………………………(5分) ② 当?=∠90DPQ 2

2

2

PD PQ DQ +=

71042+-t t =1472+-t t +422++t t

解之得：12

6

-=

t （舍负）…….…….……………………(6分) ③ 当?=∠90DQP ,2

2

2

PQ DQ PD +=

422++t t =1472+-t t +71042+-t t

解之得：5

6

4±=

t …….…….…………………………(7分) 综上，当5

6

4±=

t ，126-=t ，16-=t 时DPQ ?是直角三角形.

[注]学生正确答案与本答案不同，请老师们酌情给分。