18版高中数学第一章统计章末复习课学案北师大版必修3

第一章 统计

学习目标 1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析,用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断,能用线性回归方程进行预测.

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1.抽样方法

(1)当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用______________. (2)当总体容量较大,样本容量较小时,可用__________________. (3)当总体容量较大,样本容量也较大时,可用____________________. (4)当总体由差异明显的几部分组成时,可用__________________. 2.用样本估计总体

用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据作频率________与频率____________.当样本只有两组数据且样本容量比较小时,用________刻画数据比较方便. 3.样本的数字特征

样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括________、________和________;另一类是反映样本波动大小的,包括________及________. 4.变量间的相关关系

(1) 两个变量之间的相关关系的研究,通常先作变量的________,根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系). (2)求线性回归方程的步骤:

①先把数据制成表,从表中计算出x ,y ,∑n

i =1x 2

i ,∑n

i =1

x i y i ;

②计算回归系数a ,b .公式为??

?

b =∑n

i =1

x i y i -n x y ∑n

i =1

x 2

i

-n x 2

a =y -

b x .

③写出线性回归方程y =bx +a

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.

类型一 抽样方法的应用

例1 某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,干事20人,上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,如何抽取?

反思与感悟 三种抽样方法并非截然分开,它们都能保证个体被抽到的机会相等. 跟踪训练1 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A .6 B .8 C .10 D .12

类型二 用样本的频率分布估计总体分布

例2 有1个容量为100的样本,数据(均为整数)的分组及各组的频数如下: [12.5,15.5),6;[15.5,18.5),16;[18.5,21.5),18; [21.5,24.5),22;[24.5,27.5),20;[27.5,30.5),10; [30.5,33.5),8.

(1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图;

(3)估计数据小于30的数据约占多大百分比.

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反思与感悟借助图表,可以把抽样获得的庞杂数据变得直观,凸显其中的规律,便于信息的提取和交流.

跟踪训练2 为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )

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A.64 B.54 C.48 D.27

类型三用样本的数字特征估计总体的数字特征

例3 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为

甲:99 100 98 100 100 103

乙:99 100 102 99 100 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差;

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

反思与感悟样本的数字特征就像盲人摸到的象的某一局部特征,只有把它们结合起来才能看到全貌.

跟踪训练3 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:

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问:甲、乙谁的平均成绩好?谁的各门功课发展较平衡?

类型四线性回归方程的应用

例4 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

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(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

反思与感悟 散点图经最小二乘法量化为线性回归方程后,更便于操作(估计、预测),但得到的值仍是估计值.

跟踪训练4 2017年元旦前夕,某市统计局统计了该市2016年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表:

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(1)如果已知y 与x 成线性相关关系,求线性回归方程; (2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.

(参考数据:∑10

i =1x i y i =117.7,∑10

i =1x 2

i =406)

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1.10个小球分别编有号码1,2,3,4,其中1号球4个,2号球2个,3号球3个,4号球1个,则数0.4是指1号球占总体分布的( ) A .频数 B .概率 C .频率

D .累积频率

2.为了了解全校1 320名高一学生的身高情况,从中抽取220名学生进行测量,下列说法正确的是( ) A .样本容量是220 B .个体是每一个学生 C .样本是220名学生 D .总体是1 320

3.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:

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则y 对x 的线性回归方程为( ) A .y =x -1 B .y =x +1 C .y =1

2

x +88

D .y =176 4.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图,则所给结论中错误的是( )

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A .甲的极差是29

B .乙的众数是21

C .甲罚球命中率比乙高

D .甲的中位数是24

5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( )

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A.45 B.50 C.55 D.60

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1.应用抽样方法抽取样本时,应注意根据总体特征和已知信息设计和选择合适的抽样方法,确保样本的代表性.

2.用样本的频率分布估计总体分布

利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计,有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计.直方图能够很容易地表示大量数据,非常直观地表明分布的形状.在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留原始信息,而且可以随时记录,这给数据的记录和表示都带来方便.

3.用样本的数字特征估计总体的数字特征

为了从整体上更好地把握总体的规律,我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计.虽然随着样本不同,样本数字特征也不同,但只要样本代表性好,样本数字特征还是能估计总体数字特征的.

4.线性回归方程的应用

分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘法求出线性回归方程,并利用线性回归方程进行估计和预测.

答案精析

知识梳理

1.(1)抽签法 (2)随机数法 (3)系统抽样法 (4)分层抽样法 2.分布表 分布直方图 茎叶图 3.众数 中位数 平均数 方差 标准差 4.(1)散点图 题型探究

例1 解 用分层抽样抽取.

∵20∶100=1∶5,∴105=2,705=14,20

5

=4,

即从副处级以上干部中抽取2人,一般干部中抽取14人,干事中抽取4人.

∵副处级以上干部与干事人数都较少,他们分别按1~10编号和1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人,对一般干部采用00,01,…,69编号,然后用随机数法抽取14人. 跟踪训练1 B [分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本,设从高二年级抽取的学生数为n ,则3040=6

n ,得n =8.]

例2 解 (1)样本的频率分布表如下:

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(2)频率分布直方图如图:

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(3)小于30的数据占0.06+0.16+0.18+0.22+0.20+0.10=0.92=92%.

跟踪训练2 B [[4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22.

∴a =(0.22+0.32)×100=54.]

例3 解 (1)x 甲=1

6

(99+100+98+100+100+103)=100,

x 乙=1

6

(99+100+102+99+100+100)=100.

s 2甲=16

[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2

]

=73

, s 2乙=1

6

[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2

]

=1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同, 又s 2

甲>s 2

乙,

所以乙机床加工零件的质量更稳定.

跟踪训练 3 解 甲的平均成绩为x 甲=74,乙的平均成绩为x 乙=73.所以甲的平均成绩好.

甲的方差是s 2甲=15[(-14)2+62+(-4)2+162+(-4)2]=104,乙的方差是s 2乙=15×[72

+(-

13)2

+(-3)2

+72

+22

]=56.

因为s 2

甲>s 2

乙,所以乙的各门功课发展较平衡. 例4 解 (1)散点图如图所示:

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(2)x =3+4+5+64=4.5,y =2.5+3+4+4.5

4

=3.5,

∑4

i =1x i y i =3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,

∑4

i =1

x 2

i =32

+42

+52

+62

=86, ∴b =

∑4

i =1

x i y i -4x y

∑4

i =1

x 2i -4x 2

=66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.5

2

=0.7, a =y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.

∴所求的线性回归方程为y =0.7x +0.35. (3)现在生产100吨甲产品用煤

y =0.7×100+0.35=70.35,∴90-70.35=19.65.

∴预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤. 跟踪训练4 解 (1)依题意可计算得:x =6,y =1.83,x 2

=36,

x y =10.98,又∵∑10

i =1x i y i =117.7,∑10

i =1

x 2

i =406, ∴b =

∑10

i =1

x i y i -10x y

∑10

i =1

x 2

i -10x

2

≈0.17,a =y -b x ≈0.81,

∴y =0.17x +0.81.

∴所求的线性回归方程为y =0.17x +0.81. (2)当x =9时,y =0.17×9+0.81=2.34(万元).

可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元. 当堂训练

1.C 2.A 3.C 4.D 5.B

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