浅谈不等式的证明

浅谈不等式的证明

不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。

证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。

一、比较法

比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。

（1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。

（2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。

（3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行

分析，以进一步加深对比较法的认识。

例1 若40πβα<

<<，则ββααcos sin cos sin +<+

证明 β

βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ

βααcos sin cos sin 02

sin 2cos 2sin 22

sin 222cos ,02sin 420,02840)2

sin 2(cos 2sin 22

cos 2sin 22sin 2cos 2)

cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为

二、放缩法

放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。

例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x

3333

13132)1()3(),2()1(3227

722772277222222222222222277227722772222772222772233522522773

322522577227

722772277≥++++++++=?≥++≥++++≥++++++++≥++≥++=++≥+++≤++≥++≤+?+?≤+≥++++++++++z x x z x z yz z y z y xy y x y x zx yz xy x z z y y x x z z y y x z

x x z x z yz z y z y xy y x y x x z z

x x z x z z y yz z y z y y x y

x y x y x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y x z

x x z x z yz z y z y xy y x y x 所以）（和右边分别相加，得）三个不等式式子左边）、（、（同理所以及证明：由于即的公式，，也可运用排序不等式运用不等式的基本性质但根本方法是的方法是多种多样的，分析：对一个式子放缩β

αβααββαβ

αβααββα

三、数形结合法

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合，作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。解决不等式的证明问题，可以运用数形结合的思想方法, 构造一些几何图形，这种解法别有新意。

例3：求证222)2

(2b a b a +≥+ 2

222

2222222222

222)()(2)(|)||(|,|)||(|)(2,)2()

()(22,22,

,,

,0

,0)1(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a CD BE b a c BE b a c AE AB b

DE CA a AD BC BCDE b a b a b a +≥++≥++≥++≥++≥+≥+==+=======+≥≥所以而同法可证

不全大于或等于零，则若所以原不等式成立

所以而则其中，为高的直角梯形为上、下底，

如图，作以证明：

四、综合法

从不等式的一边出发，借助有关性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论，证明不等式成立，其特点和思路是“由因导果”，利用综合法证明不等式时，要利用已经证明过的不等式作基础，运用不等式的性质，逐步推出所要证明的不等式。

c b a b ca a bc c ab c b a ++>++证：

为不全相等的正数，求：设例,,4

分析:证明这个不等式时，要从不等式的左端出发，利用基本不等式

c

b a c

ab b ca b ca a bc a bc c ab c

ab b ca b ca a bc a bc c ab b

ca a bc c ab b a

bc c ab xy y x ++=?+?+?>+++++=++=?≥+]222[21)]()()[(21,2证明：由基本不等式得

不等式很快就推导出所要证的，这样一步步推导，推导出

的公式

五、分析法

由已知条件推导出结论时，采用综合法为宜，但当证明不知如何下手时，往往采用分析法，分析法是从求证的不等式出发，寻求其成立的充分条件，直至与题设相同为止，从而断定所要证明的不等式成立。其特点是“执果索因” |1|||1|1|1|1|1|1|,1||,1||5ab b a ab b a ab

b a ab

b a b a +<+?<++<++<++<<证明：则变成多项式的比较

去绝对值符号，去分母，两边平方，除分析：先对求证：已知例

)1)(1(01)1()(2222222

2<--?<--+?+<+?b a b a b a ab b a

成立，于是不等式获证

所以

所以因为0)1)(1(,01,01,1||,1||2222<-->-<-<

六、反证法

反证法是一种间接证法，首先从假设结论不成立开始，推出矛盾，从而判定假设不成立，最后判定结论成立，当我们所要证明的不等式具有特点：1、直接证明比较困难；2、结论的反面比结论本身更具明确性。这时我们可考虑使用反证法。 用反证法明比较困难，可考虑使分析：本题如果直接证求证：设例2

,2633≤+=+q p q p 成立

所以原结论成立，即因此假设不成立

，这个不等式不成立，即即所以得因为于是有即证明：设20)1(,

012,261282

,6128,6128)2(,2,2222332333233≤+<-<+-<+-=++->+-+-=->->>+q p q q q q q q p q q q p q q q q p q p q p

七、数学归纳法

这是数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明不等式成立。

（1）证明当n 取第一个值0n 时不等式成立。

（2）假设当)(0为自然数n k k n ≥=时不等式成立（成为归纳假设），证明当1+=k n 时不等式也成立。

n x x x x x x x x n i x n n i ≥++++==>....1...),,...,3,2,1(07321321求证且：设例 成立数得，不等式对任何自然、综合时，不等式也成立

即于是知由归纳假设则令，不妨设有一个小于，大于时，则其中至少有一个不全为当显然成立

时，当且当时有时不等式成立，即当、假设时，不等式显然成立

、当证明：

n k n k x x k x x x x k x x x x x x x y x x x x x k x x x y k x x x x x x y x x y x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x x k

x x x x x x x x k n n k k k k k k k k k k k k k k k k n k k k k k n 211.1)1)(1()1(1

1)...(...,

......,1,...,,,,1,1111,,...,,)2(1...1...)1(1

...,0,,...,,...1 (21111111111113211)

321321321211111112113213211321121321321+=+>--++=--+++≥-++++++=+++++≥++++≥++++==<>+≥++++==>≥++++===++++++++++++