上海市第02届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛决赛试题(Word版,含答案)

上海市第02届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛

决赛试题

决赛试题共五题，其中一～三题，每题为32分，四、五题，每题为42分，满分共为180分．

一、某厂生产2mm厚钢带，由机械缠绕成卷状出厂．若每卷钢带的内半径为50 cm，外半径为80cm，试求每卷钢带的长度．(钢带卷是“紧密”的，不考虑空隙)

二、某种平面连杆摆动机构如图3—19所示，摆杆OQ绕O摆动，通过连杆PQ带动滑块P水平往复运动．

设摆杆长OQ＝r，连杆长PQ＝l，摆角中心O到滑轨O＇P的距离为h，且l＜h＜l＋r．试求：(1)P的位移x与摆角β的函数关系；

(2)摆角β的变化范围；

(3)滑块P的行程(即滑动的最大距离)．

三、将底面半径为a，母线为3a的铁皮圆锥，沿圆锥侧面的一条母线剪开、摊平，以它为材料剪一个长方形为圆柱侧面，使圆柱侧面积最大，试问如何剪法？并算出圆柱侧面积的最大值．

四、图3—20表示某小区的煤气管道网络系统，每一条边上所注的数字表示该段管道单位时间的最大通过能力(单位m3/小时)．

(1)试求从S到T单位时间的最大流通量．

(2)若有一笔资金可用于改造网络中一段管道，你认为应该投向哪一

段管道才能对提高整个网络的最大流通量最为有效．

五、要对n种化学试剂作分组试验，试验方案应满足下列条件：每一

组安排4种试剂，并且任意两种试剂都恰好有两次被安排在同组中进行试验．

(1)如果这样的试验方案存在，则共有多少个组？

(2)具体排出n＝7的试验方案．

(3)证明：当n＝9，这样的试验方案不存在．

【决赛试题解答要点与参考答案】

一、题中未说明钢带缠绕的具体情形和具体的测量位置，需分几种情

形加以讨论．设R，r分别表示测得的钢带卷的外径和内径，t表示钢带的厚度，L表示总长度．

(1)设钢带缠绕是首尾对齐的，测量采用量首不量尾的方式(见图3－

28)．设钢带共缠n圈，

＝nπ(R＋r)．

对本题的测量数据，r＝50cm，R＝80cm，n＝150，所以

L≈612.3m．

(导出钢带卷总长度公式还有一简便的方法．设S为钢带卷的截面积，S＝π(R2－r2)，L＝S/t＝nπ(R＋r))

(2)设钢带缠绕不规则，即首尾不一定对齐．仍从钢带首部所在位置测量内外径(见图3－29)．此时

(n－1)π(R＋r－t)≤L＜nπ(R＋r)

即607.28m≤L＜612.3m．

(3)设钢带缠绕不规则，随意选择测量点．此时，两种极端的情形分别如图3－30(a)和(b)所示．